Файл: Конспект лекций для студентов, обучающихся по программе прикладного бакалавриата по направлению подготовки 13. 03. 03 (141100) Энергетическое машиностроение.pdf

11
x = v соответствует теплоемкости изохорного процесса c
vm
;
– от давления и температуры.
Зависимость от давления проявляется лишь при достаточно низких (ко- гда в системе реализуется свободномолекулярный режим движения частиц) и достаточно высоких (соответствующих «слипанию» молекул) давлениях.
Поскольку теплоемкость зависит от температуры, то вышеопределенная теплоемкость представляет собой среднюю теплоёмкость в интервале темпе- ратур T
2
…T
1
. Истинная (зависящая от температуры) теплоемкость должна определяться как отношение бесконечно малого количества теплоты к беско- нечно малому изменению температуры:
 
 
δ
и d
d
x
x
Q
q
C T
c T
T
T



Тогда количество теплоты
 
 
 
 
2 1
2 1
12 12
δ
d
,
d ,
δ
d
,
d
T
x
x
T
T
x
x
T
Q
C T
T
Q
C T
T
q
c T
T
q
c T
T













При использовании табличных данных в инженерных расчётах выраже- ние для количества теплоты записывается в виде


2 1
12 2
1
,
T
xm T
q
c
T
T



где
2 1
T
m T
c
есть средняя удельная теплоёмкость в интервале температур
1 2
T
T
 .
Классическая теория теплоемкости
Классическая теория теплоемкости основана на теореме о равнораспре-
делении энергии по степеням свободы, в соответствии с которой на каждую степень свободы молекулы (каждое из возможных движений тела) приходит- ся энергия, равная
Б
1 2
k T
, где k
Б
– постоянная Больцмана. Тогда для внут- ренней энергии 1 киломоля идеального газа можно записать

12
Б
1 2
A
U
N f
k T

, где f. – число степеней свободы молекулы; N
A
– число Авогадро.
Учитывая, что
A
Б
Дж
8314.4 кмоль К
N k
R




, получим или
2 2
f
f
U
M
RT
u
RT


В изохорном процессе все количество теплоты расходуется на измене- ние внутренней энергии и производная по температуре от внутренней энер- гии приводит к выражению для мольной изохорной теплоемкости:
,
1 2
2
v
p
f
f
c
R
c
R









Используя известную формулу Майера
p
v
c
c
R


, можно получить вы- ражения для мольной теплоемкости при постоянном давлении и отношения этих теплоемкостей для идеального газа
,
1 2
2
v
p
f
f
c
R
c
R









2 1
p
v
c
k
c
f

 
В соответствии с классической теорией значения мольных теплоемко- стей для различных газов зависят только от числа степеней свободы (количе- ства атомов в молекуле газа) и не зависят от температуры, что хорошо совпа- дает с экспериментальными данными в области комнатных температур. В других интервалах температур зависимость от температуры необходимо учи- тывать.
Зависимость теплоемкости от температуры дает квантовая теория теп-
лоемкости, в которой количество вращательных и колебательных степеней свободы молекул зависит от температуры.

13
Лекция 3 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Первый закон (первое начало) термодинамики
Первый закон термодинамики – закон сохранения энергии, для термоди- намической системы.
Обмен энергией в форме теплоты и работы приводит к изменению внут- ренней энергии системы:
Q
U
L
 

, где учитывается правило знаков для теплоты и работы: работа, совершаемая системой над внешними телами, и теплота, подводимая от окружающей сре- ды к системе, положительны.
Обычно этот закон формулируется следующим образом:
теплота, подведённая к системе, затрачивается на изменение ее внут-
ренней энергии и на совершение работы.
Для элементарного процесса
δ
d
δ
Q
U
L


где и
Q
L


есть бесконечно малые количества теплоты и работы в процессе, а dU
- дифференциально малое изменение внутренней энергии.
Различное обозначение бесконечно малых величин связано с тем, что внутренняя энергия U зависит от состояния системы и ее дифференциал яв- ляется полным, а теплота и работа – функции процесса – неполные диффе- ренциалы. Таким образом, следствием первого закона термодинамики явля-
ется существование у термодинамической системы функции состояния, на-
зываемой внутренняя энергия.
Закон сохранения энергии может быть также сформулирован в виде ут- верждения о невозможности построения вечного двигателя I рода, т.е., тако- го, в котором полезная работа производилась бы без затраты энергии.
Для удельных величин первый закон термодинамики имеет вид

14
d
q
u
l




, d
d


q
u
p v

Полный дифференциал внутренней энергиив переменных T и v будет записываться в виде d
d d
v
T
u
u
u
T
v
T
v


















Тогда для изохорного процесса
δ
d d
d
v
v
v
u
q
u
T
c T
T











и первый закон термодинамики будет иметь вид
δ
d d
v
T
u
q
c T
p
v
v

















Для идеального газа, в котором нет взаимодействия между частицами и равна 0 зависящая от объема потенциальная энергия, справедлив закон Джо-
уля:
внутренняя энергия не зависит от объема,
0
T
u
v









Тогда I закон термодинамики для идеального газа можно записать в виде
δ
d d
v
q
c T
p v


Энтальпия и внешняя работа
Систему, состоящую из газа в цилиндре под поршнем, поршня и груза, помещенного на поршень, назовем расширенной термоди-
намической системой (рис.2.1). Энергию этой системы, складывающуюся из внутренней энергии газа U и потенциальной энергии груза
П (поршень считаем невесомым), обозначим буквой H:
П
U
H


,

15
где потенциальная энергия груза в поле сил тяжести равна гр
M gh
. На непод- вижный поршень со стороны газа действует давление p. Сила давления урав- новешивается силой тяжести: гр
p f
M g

, где f – площадь поверхности поршня. Тогда
V
p
U
h
g
M
U
H




Функция состояния, представляющая собой энергию расширенной сис-
темы, называется энтальпией,
V
p
U
H


Произведение pV представляет собой потенциальную энергию поршня с гру- зом. В общем случае pV – потенциальная энергия оболочки, удерживающей газ в цилиндре.
Выразив внутреннюю энергию через энтальпию,
dp
V
dV
p
dH
dU



, можно записать I закон термодинамики через энтальпию:
δ
d d или δ
d d
Q
H
V p
q
h
v p




, где d
L
V p

  
. Величина
 
2 1
d
p
p
L
V p
p
  

называется полезной внешней работой.
Работу
2 1
( )d
V
V
L
p V
V


называют работой изменения объёма. Часть этой рабо- ты, (работа проталкивания L
пр
), затрачивается на изменение потенциальной энергии оболочки:


пр
2 2 1 1
пр пр или d
d
L
p V
p V
L
L
pV





Тогда пр
L
L
L
 

,

16
т.е. полезная внешняя работа – это разность между работой термодинамиче- ской системы и работой проталкива- ния.
Графически полезная внешняя работа L
'
, определяемая интегралом
(14), изображается площадью слева от кривой зависимости p(V) в коор- динатах p – V (.рис.2.2).
В независимых переменных T и p d
d d
p
T
h
h
h
T
p
T
p


















Полный дифференциал энтальпиив переменных T и p будет записывать- ся в виде d
d d
p
T
h
h
h
T
p
T
p


















Тогда для изобарного процесса
δ
d d
d
p
p
p
h
q
h
T
c
T
T











и первый закон термодинамики будет иметь вид
δ
d d
p
T
h
q
c T
v
p
p

















Для идеального газа энтальпия не зависит от давления,
0
T
h
p









и I закон термодинамики для идеального газа можно записать в виде
δ
d d
p
q
c T
v p


Второй закон (начало) термодинамики
Одна из формулировок второго закона термодинамики так же, как и первого, запрещает существование вечного двигателя:

17
Формулировка Томсона: невозможен вечный двигатель второго рода, то есть такая периодически действующая тепловая машина, которая полно- стью превращала бы теплоту источника в работу.
Еще одна формулировка устанавливает направление самопроизвольных про- цессов теплообмена:
Формулировка Клаузиуса: невозможен самопроизвольный переход
теплоты от тел с меньшей температурой к телам с температурой бо-
лее высокой; такой переход невозможен без компенсации, т.е. без затраты
работы. Эти формулировки эквивалентны, т.е. если нарушается формули- ровка Томсона, то теплоту можно передать от менее нагретых к более нагре- тым телам самопроизвольно и наоборот.
В соответствии с первым и вторым началами термодинамики любой в состав любого теплового двигателя должны входить:
– верхний источник теплоты с, температурой
1
T от которого к рабочему телу подводится количество теплоты
1
Q ;
– рабочее тело, совершающее в цикле работу
0
L ;
– нижний источник теплоты с темпе- ратурой
2 1
T
T

, к которому подводится количество теплоты Q
2
Принципиальная схема теплового двига- теля представлена на рис.4.1.
Энтропия идеального газа
Бесконечно малое количество теплоты не является полным дифференциалом и выражения для I закона термодина- мики представляют собой дифференциальную форму
 
v
d
p
v
u
T
d
T
c
q
T
v





















18
Уравнение
 
v
d
p
v
u
T
d
T
c
q
T
v



















 0

(уравнение адиабатных процес- сов) называется уравнением характеристик дифференциальной формы, а графическое изображение его решений в координатах T – v – интегральными кривыми уравнения характеристик. В математике доказывается, что если ин- тегральные кривые не пересекаются, то существует интегрирующий множи- тель, умножение которого на неполный дифференциал превращает его в пол- ный (теорема Пфаффа). Но если адиабаты пересекаются, то можно построить вечный двигатель II рода, в котором цикл с подводом теплоты замыкается двумя пересекающимися адиабатами. Таким образом, II закон термодинами- ки можно сформулировать как принцип непересекаемости адиабат. Интег- рирующим множителем для количества теплоты является обратная абсолют- ная температура а функция состояния s, полный дифференциал которой за- писывается как
δ
d
q
s
T

называется энтропией,
δ
const
q
s
T



Таким образом, существование у термодинамической системы функции состояния, называемой энтропией, является следствием второго закона тер- модинамики.
Изменение энтропии в необратимых процессах
Первый закон термодинамики справедлив и для обратимых, и для необ- ратимых процессов:
н
н
н
l
u
d
q
l
u
d
q









Выше было показано, что работа обратимого процесса больше, чем необра-
тимого,
н
l
l



, а изменение внутренней энергии от процесса не зависит,

19
н
u
d
u
d 
. Отсюда следует, что теплота обратимого процесса всегда боль-
ше, чем необратимого:
н
q
q



Наиболее распространёнными необратимыми процессами являются процессы теплообмена при конечной разности температур, трение, большин- ство химических реакций, диффузия и т.д. Все эти необратимые процессы сопровождаются рассеянием энергии, (её диссипацией).
Объединяя выражения для изменения энтропии в обратимых и необра- тимых процессах, можно записать
δ
d
q
s
T

, где знак больше относится к необратимым процессам, а знак равенства – к процессам необратимым. Это выражение является математической форму-
лировкой II закона термодинамики, а изменение энтропии характеризует сте- пень необратимости процесса.
Принцип возрастания энтропии. Для адиабатического процесса d
0,
S 
т.е. в адиабатически изолированных системах энтропия не уменьшается.
В изолированной системе возможны только необратимые процессы релакса- ции (установления равновесия). Поэтому в изолированных системах энтро-
пия увеличивается в процессах релаксации, достигая максимального значе-
ния в состоянии равновесия, max
s
s 
Заменив в первом законе термодинамики количество теплоты из второ- го закона, получим выражение, которое называют тождеством Гиббса:
p
d
v
h
d
v
d
p
u
d
s
d
T





20
Лекция 4
Дифференциальные уравнения термодинамики
Дифференциальные уравнения внутренней энергии и энтальпии
Запишем полные дифференциалы внутренней энергии U и энтальпии H сис- темы как функций переменных


,
T V
и


,
T p
соответственно: d
d d ,
d d
d .
V
T
p
T
U
U
U
T
V
T
V
H
H
H
T
p
T
p











































Из уравнений Гиббса
1 1
1
d d
d d
d ,
1 1
1
d d
d d
d .
V
T
p
T
p
U
U
S
U
V
T
p
V
T
T
T
T
T
V
V
H
H
S
H
p
T
V
p
T
T
T
T
T
p





























































Условием того, что энтропия