Файл: Конспект лекций для студентов, обучающихся по программе прикладного бакалавриата по направлению подготовки 13. 03. 03 (141100) Энергетическое машиностроение.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 89
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
S полный дифференциал – является равенство перекрёстных производных:
,
V
T
T
V
p
T
V
T
U
U
p
V
T
T
V
H
H
V
p
T
T
p
Вычисление частных производных с учётом независимости порядка диффе- ренцирования приводит к дифференциальным уравнениям внутренней энер-
гии и энтальпии:
,
T
V
T
p
U
p
H
V
T
p
T
V
V
T
p
T
Полные дифференциалы внутренней энергии, энтальпии и энтропии прини- мают вид
21
d d
d ,
d d
d ,
d d
d .
V
V
p
p
p
p
p
U
C T
T
p
V
T
V
H
C T
T
V
p
T
T
V
S
C
p
T
T
Дифференциальное уравнение теплоемкостей
По определению теплоёмкости процесса
δ
d d
d d
d d
d d
d
x
v
p
T
T
Q
U
V
U
H
C
p
C
p
C
v
T
T
T
T
V
T
p
или, учитывая дифференциальные уравнения внутренней энергии и энталь- пии, d
d d
d d
d
x
v
p
x
p
V
x
p
v
v
p
C
C
T
C
T
T
dT
dT
T
Рассматривая изобарный процесс const
p
. (x = p), найдем разность теплоёмкостей при постоянном давлении и при постоянном объёме:
p
V
V
p
p
V
C
C
T
T
T
Из этих формул м уравнения состояния идеального газа следует соотноше-
ние Майера для разности теплоёмкостей идеального газа: или
p
V
p
v
C
C
MR
c
c
R
3. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Термодинамический процесс – это изменение состояния и параметров состояния термодинамической системы в результате обмена энергией между системой и средой.
22
Политропный процесс
Запишем выражения для I закона термодинамики
;
q
du
l
q
d h
l
Из равенства правых частей с учетом выражений для работы и внешней ра- боты следует
u
d
q
v
d
p
l
dh
q
p
d
v
l
,
Разделив одно уравнение на другое, получим
u
d
q
dh
q
v
d
p
p
d
v
l
l
Обозначив
n
u
d
q
dh
q
, получим связь между параметрами p и v:
n
v
d
p
p
d
v
или
0
v
d
np
p
d
v
Интегрирование этого уравнения приводит к уравнению, которое на- зывается уравнением политропного процесса:
const
v
p
n
Величина n носит название показателя политропы. Ее значение определяет- ся соотношением между количеством теплоты и работы, которое может быть произвольным, поэтому показатель политропы может принимать любое зна- чение, – ∞ < n < ∞.
При интегрировании уравнения предполагалось, что значение n посто- янно. Можно показать, что это соответствует постоянной теплоемкости про- цесса и неизменному соотношению между количествами теплоты и работы в данном процессе. Таким образом, политропным называется процесс с посто- янным значением показателя политропы n и теплоемкости процесса
x
c
23
Расчет политропных процессов идеального газа
Порядок расчета:
1. вычисление термодинамических параметров
, ,
, , ,
p v T u h s
системы в начальном и конечном состояниях;
2. вычисление теплоемкости процесса
x
c
и количества теплоты q;
3. вычисление количеств работы изменения объема l и полезной внеш- ней работы
l
в процессе;
4. вычисление изменения внутренней энергии
u
, энтальпии
h
и эн- тропии
s
в процессе;
5. графическое изображение процесса на диаграммах и
p
v
T
s
6. проверка выполнения 1 закона термодинамики.
1. Из уравнений политропного процесса и состояния идеального газа по- лучим соотношения между параметрами в политропном процессе:
1 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
,
,
n
n
n
n
p
v
T
v
T
p
p
v
T
v
T
p
2. Из уравнений изменения внутренней энергии и энтальпии для идеаль- ного газа и определения показателя политропы найдем теплоемкость про-
цесса:
dT
c
u
d
dT
c
dh
v
p
,
1
,
n
k
n
c
c
n
dT
c
dT
c
dT
c
dT
c
u
d
q
dh
q
v
x
v
x
p
x
По известной теплоемкости рассчитывается количество теплоты про-
цесса:
1 2
1 2
1
T
T
n
k
n
c
T
T
c
q
v
x
3. Работу найдем интегрированием выражения при известной зависимо- сти
:
const
v
p
v
p
n
24 2
2 2
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
d d
1
v
v
n
n
v
n
n
n
n
v
v
v
p v
v
p v
l
v
p v
v
v
v
n
Подстановка пределов и использование соотношений между параметра- ми в политропном процессе позволяет записать выражение для удельной ра- боты изменения объёма в трёх эквивалентных формах:
1 1 2 2 1
1 2
1 1
2 1
,
1 1
,
1 1
n
n
p v
p v
n
RT
p
l
n
p
R
T
T
n
Из определения показателя политропы следует, что внешняя работа мо- жет быть вычислена просто умножением показателя политропы на работу изменения объема,
l
n
l
Лекция 5
Частные случаи политропных процессов
Известные термодинамические процессы – изохорный, изобарный, изо- термический и адиабатный – являются частными случаями политропного процесса, которым соответствуют определенные значения показателя полит- ропы n.
Изохорный процесс – процесс в котором объём системы остается по- стоянным: const или d
0
v
v
Уравнение политропного процесса можно записать в виде
1
const
v
p
n
, откуда видно, что показатель политропы изохорного процесса должен быть равен n .
25
Подстановка этого значения в расчетные уравнения политропного процес- са дает
1. v
1
= v
2
= v = const.,
1 2
1 2
p
p
T
T
;
2.
v
v
x
c
n
k
n
c
c
1
,
1 2
T
T
c
q
v
;
3.
;
,
0 2
1 2
1
T
T
R
p
p
v
l
l
4.
1 2
1 2
,
T
T
c
u
T
T
c
h
v
p
,
1 2
ln
T
T
c
s
v
;
5. Изображение изохорного процесса на диаграммах и
p
v
T
s
:
Изобарный процесс
–
процесс при постоянном давлении, const, d
0
p
p
Показатель политропы изобарного процесса
0
n
Подстановка этого значения в расчетные уравнения политропного процес- са дает
1. p
1
= p
2
= p = const.,
1 2
1 2
v
v
T
T
;
2.
p
v
x
c
n
k
n
c
c
1
,
1 2
T
T
c
q
p
;
3.
;
0
,
1 2
1 2
l
T
T
R
v
v
p
l
26 4.
1 2
1 2
,
T
T
c
u
T
T
c
h
v
p
,
1 2
ln
T
T
c
s
p
;
5. Изображение изобарного процесса на диаграммах и
p
v
T
s
:
Изобарный процесс (пунктирная линия) на диаграмме
T
s
изображает- ся менее крутой экспонентой, чем изохорный:
, т.к.
p
v
v
p
v
p
T
T
T
T
c
c
s
c
c
s
Изотермический процесс – процесс, при постоянной температуре сис- темы: const,
d
0
T
T
Показатель политропы изотермического процесса идеального газа n = 1.
1. T
1
= T
2
= T = const.,
2 1
1 2
v
v
p
p
2. Теплоёмкость изотермического процесса равна бесконечности,
T
c
, что приводит к неопределённости типа
0
при вычислении количества теп- лоты.
3. Работа изменения объёма и полезная внешняя работа в изотермическом процессе одинаковы и вычисляются по определению работы:
27 2
1 2
2 1
1 1 1 1 1
1 1
1 2
d ln ln ln
v
T
T
T
v
v
v
v
p
l
l
q
p v
p v
RT
RT
v
v
v
p
4.
0
,
0 1
2 1
2
T
T
c
u
T
T
c
h
v
p
,
2 1
1 2
ln ln
p
p
RT
v
v
RT
s
;
Поскольку внутренняя энергия и энтальпия в изотермическом процессе иде- ального газа не изменяются, то из первого закона термодинамики следует, что теплота, работа и внешняя работа одинаковы: или
T
T
T
T
T
T
q
l
l
q
l
l
На диаграмме p - v изотермический процесс изображается равнобочной гиперболой, а на T - s – прямой T=const (рис.3.3).
Адиабатный процесс – процесс без теплообмена со средой, ад ад
0 и δ
0
q
q
.
Теплоёмкость адиабатного процесса равна нулю (с
ад
=0).
Подставляя в выражение для теплоемкости политропного процесса ее нулевое значение, определим показатель политропы для адиабатного процес- са:
2 1
p
v
c
n
k
c
f
Тогда уравнение адиабатного процесса примет вид
1 1 2 2
const
k
k
k
pv
p v
p v
28
Таким образом, адиабатный процесс можно рассчитывать по формулам политропного процесса с заменой n→k:
1 1 2 2 1
1 2
ад
1 1
2 1
,
1 1
,
1 1
k
k
p v
p v
k
RT
p
l
k
p
R
T
T
k
Более простые выражения для работы можно получить из I закона тер- модинамики: работа совершается внутренней энергии системы, а внешняя работа – за счет уменьшения энтальпии:
àä
1 2
àä
àä
1 2
=
,
=
v
p
l
u
c T
T
l
k l
h
c T
T
Из II закона термодинамики следует, что в обратимом адиабатном про- цессе энтропия остаётся постоянной, const
s
., поэтому обратимый адиабатный процесс называют еще изоэнтропным.
Изображение обратимого адиабатического процесса (неравнобочная ги- пербола) на диаграммах состояния приводится на рис.3.4.
Изотермический процесс (пунктирная линия на диаграмме p – v) изо- бражается более пологой гиперболой, чем адиабатный. Это следует из срав- нения соответствующих производных:
29 1 1 1 1 1
ад
1 1 1 1 2
ад d
,
d d
,
d т.е.
, так как
1.
k
k
k
k
T
T
p v
p v
p
p
k
k
v
v
v
v
v
p v
p v
p
p
v
v
v
v
v
p
p
k
v
v
Обобщающее значение политропного процесса
На диаграммах состояния и
p
v
T
s
политропные процессы описы- ваются степенной и экспоненциальной функциями:
const.
n
p v
v
и
const e
x
s
c
T s
(рис.3.5), где показатель политропы n и теплоёмкость про- цесса c
x для частных случаев приведены в таблице 3.1.
Таблица3.1
Значения показателей политропы и теплоемкостей для частных случаев политропного процесса
Процесс
Уравнение про- цесса
Показатель по- литропы
Теплоёмкость процесса
Изохорный
,
V
T
T
V
p
T
V
T
U
U
p
V
T
T
V
H
H
V
p
T
T
p
Вычисление частных производных с учётом независимости порядка диффе- ренцирования приводит к дифференциальным уравнениям внутренней энер-
гии и энтальпии:
,
T
V
T
p
U
p
H
V
T
p
T
V
V
T
p
T
Полные дифференциалы внутренней энергии, энтальпии и энтропии прини- мают вид
21
d d
d ,
d d
d ,
d d
d .
V
V
p
p
p
p
p
U
C T
T
p
V
T
V
H
C T
T
V
p
T
T
V
S
C
p
T
T
Дифференциальное уравнение теплоемкостей
По определению теплоёмкости процесса
δ
d d
d d
d d
d d
d
x
v
p
T
T
Q
U
V
U
H
C
p
C
p
C
v
T
T
T
T
V
T
p
или, учитывая дифференциальные уравнения внутренней энергии и энталь- пии, d
d d
d d
d
x
v
p
x
p
V
x
p
v
v
p
C
C
T
C
T
T
dT
dT
T
Рассматривая изобарный процесс const
p
. (x = p), найдем разность теплоёмкостей при постоянном давлении и при постоянном объёме:
p
V
V
p
p
V
C
C
T
T
T
Из этих формул м уравнения состояния идеального газа следует соотноше-
ние Майера для разности теплоёмкостей идеального газа: или
p
V
p
v
C
C
MR
c
c
R
3. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Термодинамический процесс – это изменение состояния и параметров состояния термодинамической системы в результате обмена энергией между системой и средой.
22
Политропный процесс
Запишем выражения для I закона термодинамики
;
q
du
l
q
d h
l
Из равенства правых частей с учетом выражений для работы и внешней ра- боты следует
u
d
q
v
d
p
l
dh
q
p
d
v
l
,
Разделив одно уравнение на другое, получим
u
d
q
dh
q
v
d
p
p
d
v
l
l
Обозначив
n
u
d
q
dh
q
, получим связь между параметрами p и v:
n
v
d
p
p
d
v
или
0
v
d
np
p
d
v
Интегрирование этого уравнения приводит к уравнению, которое на- зывается уравнением политропного процесса:
const
v
p
n
Величина n носит название показателя политропы. Ее значение определяет- ся соотношением между количеством теплоты и работы, которое может быть произвольным, поэтому показатель политропы может принимать любое зна- чение, – ∞ < n < ∞.
При интегрировании уравнения предполагалось, что значение n посто- янно. Можно показать, что это соответствует постоянной теплоемкости про- цесса и неизменному соотношению между количествами теплоты и работы в данном процессе. Таким образом, политропным называется процесс с посто- янным значением показателя политропы n и теплоемкости процесса
x
c
23
Расчет политропных процессов идеального газа
Порядок расчета:
1. вычисление термодинамических параметров
, ,
, , ,
p v T u h s
системы в начальном и конечном состояниях;
2. вычисление теплоемкости процесса
x
c
и количества теплоты q;
3. вычисление количеств работы изменения объема l и полезной внеш- ней работы
l
в процессе;
4. вычисление изменения внутренней энергии
u
, энтальпии
h
и эн- тропии
s
в процессе;
5. графическое изображение процесса на диаграммах и
p
v
T
s
6. проверка выполнения 1 закона термодинамики.
1. Из уравнений политропного процесса и состояния идеального газа по- лучим соотношения между параметрами в политропном процессе:
1 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
,
,
n
n
n
n
p
v
T
v
T
p
p
v
T
v
T
p
2. Из уравнений изменения внутренней энергии и энтальпии для идеаль- ного газа и определения показателя политропы найдем теплоемкость про-
цесса:
dT
c
u
d
dT
c
dh
v
p
,
1
,
n
k
n
c
c
n
dT
c
dT
c
dT
c
dT
c
u
d
q
dh
q
v
x
v
x
p
x
По известной теплоемкости рассчитывается количество теплоты про-
цесса:
1 2
1 2
1
T
T
n
k
n
c
T
T
c
q
v
x
3. Работу найдем интегрированием выражения при известной зависимо- сти
:
const
v
p
v
p
n
24 2
2 2
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
d d
1
v
v
n
n
v
n
n
n
n
v
v
v
p v
v
p v
l
v
p v
v
v
v
n
Подстановка пределов и использование соотношений между параметра- ми в политропном процессе позволяет записать выражение для удельной ра- боты изменения объёма в трёх эквивалентных формах:
1 1 2 2 1
1 2
1 1
2 1
,
1 1
,
1 1
n
n
p v
p v
n
RT
p
l
n
p
R
T
T
n
Из определения показателя политропы следует, что внешняя работа мо- жет быть вычислена просто умножением показателя политропы на работу изменения объема,
l
n
l
Лекция 5
Частные случаи политропных процессов
Известные термодинамические процессы – изохорный, изобарный, изо- термический и адиабатный – являются частными случаями политропного процесса, которым соответствуют определенные значения показателя полит- ропы n.
Изохорный процесс – процесс в котором объём системы остается по- стоянным: const или d
0
v
v
Уравнение политропного процесса можно записать в виде
1
const
v
p
n
, откуда видно, что показатель политропы изохорного процесса должен быть равен n .
25
Подстановка этого значения в расчетные уравнения политропного процес- са дает
1. v
1
= v
2
= v = const.,
1 2
1 2
p
p
T
T
;
2.
v
v
x
c
n
k
n
c
c
1
,
1 2
T
T
c
q
v
;
3.
;
,
0 2
1 2
1
T
T
R
p
p
v
l
l
4.
1 2
1 2
,
T
T
c
u
T
T
c
h
v
p
,
1 2
ln
T
T
c
s
v
;
5. Изображение изохорного процесса на диаграммах и
p
v
T
s
:
Изобарный процесс
–
процесс при постоянном давлении, const, d
0
p
p
Показатель политропы изобарного процесса
0
n
Подстановка этого значения в расчетные уравнения политропного процес- са дает
1. p
1
= p
2
= p = const.,
1 2
1 2
v
v
T
T
;
2.
p
v
x
c
n
k
n
c
c
1
,
1 2
T
T
c
q
p
;
3.
;
0
,
1 2
1 2
l
T
T
R
v
v
p
l
26 4.
1 2
1 2
,
T
T
c
u
T
T
c
h
v
p
,
1 2
ln
T
T
c
s
p
;
5. Изображение изобарного процесса на диаграммах и
p
v
T
s
:
Изобарный процесс (пунктирная линия) на диаграмме
T
s
изображает- ся менее крутой экспонентой, чем изохорный:
, т.к.
p
v
v
p
v
p
T
T
T
T
c
c
s
c
c
s
Изотермический процесс – процесс, при постоянной температуре сис- темы: const,
d
0
T
T
Показатель политропы изотермического процесса идеального газа n = 1.
1. T
1
= T
2
= T = const.,
2 1
1 2
v
v
p
p
2. Теплоёмкость изотермического процесса равна бесконечности,
T
c
, что приводит к неопределённости типа
0
при вычислении количества теп- лоты.
3. Работа изменения объёма и полезная внешняя работа в изотермическом процессе одинаковы и вычисляются по определению работы:
27 2
1 2
2 1
1 1 1 1 1
1 1
1 2
d ln ln ln
v
T
T
T
v
v
v
v
p
l
l
q
p v
p v
RT
RT
v
v
v
p
4.
0
,
0 1
2 1
2
T
T
c
u
T
T
c
h
v
p
,
2 1
1 2
ln ln
p
p
RT
v
v
RT
s
;
Поскольку внутренняя энергия и энтальпия в изотермическом процессе иде- ального газа не изменяются, то из первого закона термодинамики следует, что теплота, работа и внешняя работа одинаковы: или
T
T
T
T
T
T
q
l
l
q
l
l
На диаграмме p - v изотермический процесс изображается равнобочной гиперболой, а на T - s – прямой T=const (рис.3.3).
Адиабатный процесс – процесс без теплообмена со средой, ад ад
0 и δ
0
q
q
.
Теплоёмкость адиабатного процесса равна нулю (с
ад
=0).
Подставляя в выражение для теплоемкости политропного процесса ее нулевое значение, определим показатель политропы для адиабатного процес- са:
2 1
p
v
c
n
k
c
f
Тогда уравнение адиабатного процесса примет вид
1 1 2 2
const
k
k
k
pv
p v
p v
28
Таким образом, адиабатный процесс можно рассчитывать по формулам политропного процесса с заменой n→k:
1 1 2 2 1
1 2
ад
1 1
2 1
,
1 1
,
1 1
k
k
p v
p v
k
RT
p
l
k
p
R
T
T
k
Более простые выражения для работы можно получить из I закона тер- модинамики: работа совершается внутренней энергии системы, а внешняя работа – за счет уменьшения энтальпии:
àä
1 2
àä
àä
1 2
=
,
=
v
p
l
u
c T
T
l
k l
h
c T
T
Из II закона термодинамики следует, что в обратимом адиабатном про- цессе энтропия остаётся постоянной, const
s
., поэтому обратимый адиабатный процесс называют еще изоэнтропным.
Изображение обратимого адиабатического процесса (неравнобочная ги- пербола) на диаграммах состояния приводится на рис.3.4.
Изотермический процесс (пунктирная линия на диаграмме p – v) изо- бражается более пологой гиперболой, чем адиабатный. Это следует из срав- нения соответствующих производных:
29 1 1 1 1 1
ад
1 1 1 1 2
ад d
,
d d
,
d т.е.
, так как
1.
k
k
k
k
T
T
p v
p v
p
p
k
k
v
v
v
v
v
p v
p v
p
p
v
v
v
v
v
p
p
k
v
v
Обобщающее значение политропного процесса
На диаграммах состояния и
p
v
T
s
политропные процессы описы- ваются степенной и экспоненциальной функциями:
const.
n
p v
v
и
const e
x
s
c
T s
(рис.3.5), где показатель политропы n и теплоёмкость про- цесса c
x для частных случаев приведены в таблице 3.1.
Таблица3.1
Значения показателей политропы и теплоемкостей для частных случаев политропного процесса
Процесс
Уравнение про- цесса
Показатель по- литропы
Теплоёмкость процесса
Изохорный
1 2 3 4 5 6 7 8 9