Файл: Эконометрика.pdf

Министерство образования и науки Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)
И. В. Потахова
ЭКОНОМЕТРИКА
Учебное пособие
Томск
2016

УДК
330.43(075.8)
ББК
65в631я73
П 640
Рецензенты:
Тарасенко В. Ф.
, докт. техн. наук, профессор кафедры теоретической кибернетики Томского государственного университета;
Лепихина З. П.
, канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации обработки информации ТУСУРа.
Потахова И. В.
П 640
Эконометрика : учебное пособие / И. В. Потахова. — Томск : факультет дистанционного обучения ТУСУРа, 2016. — 110 с.
Эконометрика как учебная дисциплина включена в основную образо- вательную программу подготовки экономистов, определяемую Федераль- ным государственным образовательным стандартом. Это определено тем,
что современные экономические теории и исследования, требуют от эко- номистов свободного владения математическим аппаратом изучения стати- стических данных.
Целью изучения учебной дисциплины «Эконометрика» является овла- дение современными эконометрическими методами анализа конкретных экономических данных.
Данное пособие рассчитано в первую очередь на студентов экономиче- ских специальностей, которые изучают эконометрику. В пособии рассмот- рены вопросы по основным разделам эконометрики: парная и множествен- ная регрессия, системы эконометрических уравнений и временные ряды.
Для изучения эконометрики необходимо знание статистики и матема- тики. Особенно важно владение корреляционным, регрессионным и дис- персионным анализом, а также методами проверки статистических гипотез.
Пособие предназначено для самостоятельного изучения дисциплины
«Эконометрика» студентами заочной формы обучения, а также студентами,
обучающимися с применением дистанционных образовательных технологий.
УДК
330.43(075.8)
ББК
65в631я73
©
Потахова И. В., 2016
©
Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
5
1
Парная регрессия
8
1.1
Понятие парной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 1.2
Линейная модель парной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 1.2.1
Вычисление коэффициентов уравнения линейной регрессии .
11 1.2.2
Исследование уравнения линейной регрессии . . . . . . . . . .
12 1.3
Нелинейные модели регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2
Множественная линейная регрессия
27
2.1
Понятие множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 2.2
Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 2.3
Оценка параметров уравнения множественной линейной регрессии .
31 2.4
Регрессионная модель в стандартизованном масштабе . . . . . . . . .
34 2.5
Частные уравнения регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 2.6
Анализ качества эмпирического уравнения регрессии . . . . . . . . .
40 2.6.1
Оценка статистической значимости параметров модели множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 2.6.2
Оценка статистической значимости уравнения множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3
Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
46
3.1
Предпосылки МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46 3.2
Гетероскедастичность. Обнаружение гетероскедастичности . . . . . .
49 3.2.1
Графический анализ остатков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49 3.2.2
Тест ранговой корреляции Спирмена . . . . . . . . . . . . . . .
50 3.2.3
Тест Парка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 3.2.4
Тест Голдфелда—Квандта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 3.3
Методы устранения гетероскедастичности . . . . . . . . . . . . . . . .
54 3.4
Автокорреляция в остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4
Регрессионные модели с переменной структурой
60
4.1
Понятие фиктивных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60 4.2
Модели регрессии с фиктивными переменными сдвига . . . . . . . .
61 4.3
Модели регрессии с фиктивными переменными наклона . . . . . . .
64 4.4
Общий вид модели регрессии с фиктивными переменными . . . . . .
65 4.5
Исследование структурных изменений с помощью теста Чоу . . . . .
67

4
Оглавление
5
Системы эконометрических уравнений
70
5.1
Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 5.2
Составляющие систем одновременных уравнений . . . . . . . . . . . .
72 5.3
Идентификация структурной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74 5.4
Оценивание параметров системы одновременных уравнений . . . . .
78 5.4.1
Косвенный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . .
78 5.4.2
Двухшаговый метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . .
80
6
Временные ряды
86
6.1
Составляющие временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86 6.2
Автокорреляция уровней временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . .
89 6.3
Моделирование тенденции временного ряда . . . . . . . . . . . . . . .
94 6.4
Моделирование сезонных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Заключение
102
Литература
103
Приложение А Математико-статистические таблицы
104
Глоссарий
108

ВВЕДЕНИЕ
Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономи- ческие взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и мо- делей.
Эконометрика как научная дисциплина зародилась и получила развитие на ос- нове слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики.
В настоящее время эконометрические методы широко применяются в количест- венном анализе фирм, фондового и товарного рынков, макроэкономических моде- лей. Применение эконометрики поднимает получаемые результаты на качественно новый уровень, поскольку в этом случае каждый вывод подтверждается точными количественными расчетами и конкретным значением критерия, который оценива- ет справедливость выдвинутой гипотезы.
Мощным инструментом эконометрических исследований является аппарат ма- тематической статистики. Как следствие, эконометрические методы — это, прежде всего, методы статистического анализа конкретных экономических данных.
Центральной проблемой любого эконометрического исследования является по- строение эконометрической модели.
В общем случае процедуру построения эконометрической модели можно раз- делить на несколько взаимосвязанных между собой этапов. Основные среди них имеют следующее содержание [3].
1. Анализ специфических свойств рассматриваемых явлений и процессов и обоснование класса моделей, наиболее подходящих для их описания.
Целями этого этапа являются:
1.1 Выбор рационального состава включаемых в модель переменных и определение количественных характеристик, отражающих их уров- ни в прошлые периоды времени (на однородных объектах некоторой совокупности — территориях, предприятиях и т. п.).
1.2 Обоснование типа и формы модели, выражаемой математическим уравнением (системой уравнений), связывающим включенные в мо- дель переменные.
2. Оценка параметров выбранного варианта модели на основании исходных данных, выражающих уровни показателей (переменных) в различные мо- менты времени или на совокупности однородных объектов.

6
Введение
3. Проверка качества построенной модели и обоснование вывода о целесооб- разности ее использования в ходе дальнейшего эконометрического иссле- дования.
4. При выводе о нецелесообразности использования построенной экономет- рической модели в дальнейших исследованиях следует вернуться к перво- му (или какому-либо другому этапу) и попытаться построить более каче- ственную модификацию модели (другой вариант модели).
В данном пособии рассматриваются базовые эконометрические методы и мо- дели. Пособие состоит из введения, основного учебного материала (гл. 1–6), при- ложений.
Во введении дается определение эконометрики, показано ее место в образова- тельной программе подготовки бакалавра.
В первой главе рассматриваются классические модели парной регрессии. На примере парной линейной регрессии показывается фундаментальный метод оцен- ки параметров регрессии — метод наименьших квадратов. Вводятся понятия точ- ности оценок коэффициентов регрессии, качества уравнения регрессии.
Во второй главе рассматриваются модели линейной множественной регрессии.
Описывается применение метода наименьших квадратов для нахождения парамет- ров уравнения множественной линейной регрессии. Рассматривается схема выпол- нения анализа уравнения множественной регрессии: оценка качества уравнения регрессии, оценка значимости коэффициентов регрессии и уравнения в целом.
В третьей главе исследуются причины и последствия невыполнимости предпо- сылок применения метода наименьших остатков: постоянство дисперсии остатков,
отсутствие зависимости между случайными отклонениями (автокорреляция остат- ков). Приводятся способы обнаружения нарушений данных предпосылок. Рассмат- ривается схема нахождения оценок регрессионной модели с помощью обобщенно- го метода наименьших квадратов.
В четвертой главе разбираются вопросы построения регрессионных моделей,
в которых используются неколичественные факторы.
В пятой главе анализируются системы эконометрических уравнений. Рассмат- риваются методы оценки параметров систем эконометрических уравнений. При- водится схема исследования систем уравнений на возможность идентификации.
В шестой главе вводится понятие эконометрических моделей, построенных на основе временных рядов. Выделяются основные составляющие временного ряда.
Приводится пример построения модели временного ряда.
Для изучения и освоения материала, изложенного в пособии, студенту доста- точно знаний курсов математики, теории вероятностей и математической стати- стики. При изложении материала приводятся задачи с решениями. В заключении каждой главы имеются вопросы для самопроверки. В приложениях приводятся таблицы, необходимые для выполнения практических расчетов.
Соглашения, принятые в книге
Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пикто- граммы и специальное выделение важной информации.

Соглашения, принятые в книге
7
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная ин- формация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поде- литься с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых ошибок.
Пример
Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести прак- тический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в тео- ретическом материале.
Контрольные вопросы по главе

Глава 1
ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ
1.1 Понятие парной регрессии
В эконометрике широко используется регрессионный анализ как метод выяв- ления уравнения связи между зависимыми и независимыми переменными, наилуч- шим способом дающий оценку истинного соотношения между этими переменными.
Если переменные обозначить X и Y , то зависимость вида:
f
(x) = M(Y/X)
называется функцией регрессии X на Y , где X — независимые (объясняющие) пе- ременные (регрессоры, факторы); Y — зависимая (объясняемая) переменная.
Регрессия — зависимость между независимыми (объясняющими)
переменными и условным математическим ожиданием зависимой
(объясняемой) переменной.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
При рассмотрении двух случайных величин говорят о парной регрессии. Зави- симость такого типа в общем случае выражается уравнением:
y = f
(x) + ε.
В уравнении можно выделить две части:
ˆ систематическую
̂y
x
=
f
(x), где ̂y
x
характеризует некоторое среднее значе- ние y для данного значения x;
ˆ случайную ε, характеризующую отклонение реального значения результа- тивного признака y от теоретического
̂y
x
, найденного по уравнению регрес- сии для данного значения x.

1.1 Понятие парной регрессии
9
Среди причин обязательного присутствия в регрессионных моделях случайно- го фактора (отклонения) можно выделить следующие.
1. Невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая регрессион- ная (в частности, эконометрическая) модель является упрощением реальной ситу- ации. Последняя всегда представляет собой сложнейшее переплетение различных факторов, многие из которых в модели не учитываются, что порождает отклонение реальных значений зависимой переменной от ее модельных значений. Например,
спрос (Q) на товар определяется его ценой (P), ценой на товары-заменители (P
s
),
ценой на дополняющие товары (P
c
), доходом (I) потребителей, их количеством (N ),
вкусами (T ), ожиданиями (W ) и т. д. Безусловно, перечислить все объясняющие переменные здесь практически невозможно. К примеру, не учтены такие факторы,
как традиции, национальные или религиозные особенности, географическое поло- жение региона, погода и многие другие, влияние которых приведет к некоторым отклонениям реальных наблюдений от модельных. Эти влияния выражаются через случайный член
ε. Тогда модель спроса можно записать в виде функции:
Q = f
(P, P
s
, P
c
, I, N , T , W ,
ε
).
Проблема еще и в том, что никогда заранее неизвестно, какие факторы при создавшихся условиях действительно являются определяющими, а какими можно пренебречь. Например, в ряде случаев учесть непосредственно какой-то фактор нельзя в силу невозможности получения по нему статистических данных.
2. Неправильный выбор функциональной формы модели. Из-за слабой изучен- ности исследуемого процесса либо из-за его переменчивости может быть неверно подобрана функция, его моделирующая. Это, безусловно, скажется на отклонении модели от реальности, что отразится на величине случайного члена. Кроме того,
неверным может быть подбор объясняющих переменных.
3. Агрегирование переменных. Во многих моделях рассматриваются зависимо- сти между факторами, которые сами представляют сложную комбинацию других,
более простых переменных. Например, при рассмотрении в качестве зависимой переменной совокупного спроса проводится анализ зависимости, в которой объяс- няемая переменная является сложной композицией индивидуальных спросов, ока- зывающих на нее определенное влияние помимо факторов, учитываемых в модели.
Это может оказаться причиной отклонения реальных значений от модельных.
4. Ошибки измерений. Какой бы качественной ни была модель, ошибки из- мерений переменных отразятся на несоответствии модельных значений эмпириче- ским данным, что также отразится на величине случайного члена.
5. Ограниченность статистических данных. Зачастую строятся модели, выра- жаемые непрерывными функциями. Но для этого используется набор данных, име- ющих дискретную структуру. Это несоответствие находит свое выражение в слу- чайном отклонении.
6. Непредсказуемость человеческого фактора. Эта причина может «испортить»
самую качественную модель. Действительно, при правильном выборе формы мо- дели, скрупулезном подборе объясняющих переменных все равно невозможно спрогнозировать поведение каждого индивидуума.
Решение задачи построения качественного уравнения регрессии, соответству- ющего эмпирическим данным и целям исследования, является сложным и много- ступенчатым процессом. Его можно разбить на три этапа:

10
Глава 1. Парная регрессия
1) выбор формулы уравнения регрессии;
2) определение параметров выбранного уравнения;
3) анализ качества уравнения и проверка адекватности уравнения эмпириче- ским данным, совершенствование уравнения.
Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения ре- грессии. В парной регрессии выбор вида математической функции
̂y
x
=
f
(x) может быть осуществлен тремя методами:
1) графическим;
2) аналитическим, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
3) экспериментальным.
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод под- бора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на визуальном анализе поля корреляции (рис. 1.1).
Рис. 1.1 – Поле корреляции
Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа уравне- ния регрессии. Он основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.
При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом, т. е. путем сравнения вели- чины остаточной дисперсии
σ
2
ocт
, рассчитанной при разных моделях.
Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля,
что возможно только при функциональной связи, когда все точки лежат на линии регрессии
̂y
x
=
f
(x), то фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими y =
̂y
x
, т. е. они полностью обусловлены влиянием фактора x.
В этом случае остаточная дисперсия
σ
2
ocт
=
0.
В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих, не учи- тываемых в уравнении регрессии факторов. Иными словами, наблюдаются откло- нения фактических данных от теоретических
(y −̂y
x
). Величина этих отклонений лежит в основе расчета остаточной дисперсии:
σ
2
ocт
=
1
n
⋅
n
∑
i=1
(y
i
−
̂y
i
)
2
.

1.2 Линейная модель парной регрессии
11
Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитыва- емых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным.
Считается, что число наблюдений должно в 7–8 раз превышать число рассчи- тываемых параметров при переменной x. Это означает, что искать линейную ре- грессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, ибо каждый параметр при x должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Следовательно, если мы выбираем параболу второй степени
̂y
x
=
a + b ⋅ x + c ⋅ x
2
, то требуется объем инфор- мации уже не менее 14 наблюдений.
1.2 Линейная модель парной регрессии
Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду чет- кой экономической интерпретации ее параметров. Кроме того, построенное линей- ное уравнение может служить начальной точкой эконометрического анализа.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:
y = a + b ⋅ x + ε.
На практике построение линейной регрессии сводится к оценке параметров уравнения
̂y
x
=
a + b ⋅ x.
1.2.1 Вычисление коэффициентов уравнения линейной регрессии
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических
̂y
x
минимальна:
n
∑
i=1
(y
i
−
̂y
x
i
)
2
=
n
∑
i=1
ε
2
i
→ min.
То есть из всего множества линий на графике линия регрессии выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками наблюдений и линией регрессии была бы минимальной (рис. 1.2).
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функ- ции, необходимо вычислить частные производные по каждому из параметров (в на- шем случае это a и b) и приравнять их к нулю. Если обозначить
∑
i
ε
2
i
через S
(a, b),
то можно записать:
S
(a, b) = ∑(y − a − b ⋅ x)
2
;
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩
∂S
∂a
= −2 ⋅ ∑
(y − a − b ⋅ x) = 0,
∂S
∂b
= −2 ⋅ ∑ x ⋅
(y − a − b ⋅ x) = 0.