Файл: Эконометрика.pdf

6.2 Автокорреляция уровней временного ряда
93
Таблица 6.4 – Таблица для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка
t
y
t
y
t−2
y
t
− y
3
y
t−2
− y
4
(y
t
− y
3
)×
×
(y
t−2
− y
4
) (
y
t
− y
3
)
2
(y
t−2
− y
4
)
2 1
15
—
—
—
—
—
—
2 21
—
—
—
—
—
—
3 9
15
−8,214
−2,500 20,536 67,474 6,250 4
18 21 0,786 3,500 2,750 0,617 12,250 5
17 9
−0,214
−8,500 1,821 0,046 72,250 6
20 18 2,786 0,500 1,393 7,760 0,250 7
10 17
−7,214
−0,500 3,607 52,046 0,250 8
18 20 0,786 2,500 1,964 0,617 6,250 9
17 10
−0,214
−7,500 1,607 0,046 56,250 10 24 18 6,786 0,500 3,393 46,046 0,250 11 13 17
−4,214
−0,500 2,107 17,760 0,250 12 22 24 4,786 6,500 31,107 22,903 42,250 13 16 13
−1,214
−4,500 5,464 1,474 20,250 14 25 22 7,786 4,500 35,036 60,617 20,250 15 11 16
−6,214
−1,500 9,321 38,617 2,250 16 21 25 3,786 7,500 28,393 14,332 56,250
Сумма
241 245 −1,4E − 14 0
148,5 330,357 295,5
Среднее значение
17,214 17,5
—
—
—
—
—
Таблица 6.5 – Автокорреляционная функция временного ряда
Лаг
Коэффициент
автокорреляции
уровней
1
−0,617 2
0,475 3
−0,643 4
0,908
5
−0,622 6
0,380 7
−0,709 8
0,931
9
−0,647 10 0,487 11
−0,749 12
0,988

94
Глава 6. Временные ряды
Рис. 6.5 – Коррелограмма
6.3 Моделирование тенденции временного ряда
Важнейшей задачей анализа временных рядов является моделирование тен- денции временного ряда. Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда. Этот способ называют анали-
тическим выравниванием временного ряда.
Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому для ее фор- мализации используют различные виды функций:
ˆ линейная:
̂y
t
=
a + b ⋅ t;
ˆ гипербола:
̂y
t
=
a + b
/t;
ˆ экспонента:
̂y
t
=
e
a+b ⋅ t
;
ˆ степенная функция:
̂y
t
=
a ⋅ t
b
;
ˆ полином:
̂y
t
=
a + b
1
⋅ t + b
2
⋅ t
2
+ . . . + b
k
⋅ t
k
Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обыч- ным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, . . ., n,
а в качестве зависимой переменной — фактические уровни временного ряда y
t
. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеа- ризации.

6.4 Моделирование сезонных колебаний
95
Определение типа тенденции можно выполнить различными способами.
1. Построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорре- ляции уровней ряда.
2. Сравнительный анализ коэффициентов автокорреляции первого порядка,
рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если вре- менной ряд имеет линейную тенденцию, то коэффициент автокорреляции первого порядка уровней y
t
и y
t−1
исходного ряда должен быть высоким.
Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логариф- мам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффи- циент, рассчитанный по уровням исходного ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степе- ни будут различаться значения указанных коэффициентов.
3. Перебор основных форм тренда с расчетом по каждому уравнению скор- ректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппрокси- мации. Выбор наилучшего уравнения посредством анализа вычисленных показателей. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.
6.4 Моделирование сезонных колебаний
Простейший прием моделирования периодической компоненты основан на ис- пользовании сглаживания временного ряда по методу простой скользящей средней.
Предварительно следует определиться с видом модели временного ряда — адди- тивной или мультипликативной. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний при- близительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда Y = S + T + E,
в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для раз- личных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается,
строят мультипликативную модель временного ряда Y = S ⋅ T ⋅ E.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету зна- чений T , S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T +E) или в мультипликативной (T ⋅E)
модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T ⋅ E) и расчет значений
T с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T ⋅ E).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значе- ния ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные

96
Глава 6. Временные ряды
уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.
Пример 6.2
Построение аддитивной модели временного ряда.
Обратимся к данным, представленным в таблице 6.2.
Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания пе- риодичностью 4. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1 Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 6.6).
1.2 Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4
табл. 6.6). Полученные таким образом выровненные значения уже не со- держат сезонной компоненты.
1.3 Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами време- ни, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользя- щих средних — центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 6.6).
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактически- ми уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 6.6). Ис- пользуем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 6.7). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компо- ненты S
i
. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты равна:
−0,83 + 5,29 − 6,38 + 2,08 = 0,16.
Эта сумма оказалась не равной нулю, поэтому каждую оценку уменьшим на величину поправки, равной одной четверти полученного значения:
∆ =
0,16 4
=
0,04.
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты (S
i
=
S
i
− ∆)
и заносим полученные данные в таблицу 6.7.
Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
−0,87 + 5,25 − 6,42 + 2,04 = 0.

6.4 Моделирование сезонных колебаний
97
Таблица 6.6 – Выравнивание исходных уровней ряда
t
y
t
Итого за
4 квартала
Скользящая
средняя
за четыре
квартала
Центрированная
скользящая
средняя
Оценка
сезонной
компоненты
1
2
3
4
5
6
1 15
—
—
—
—
2 21 63 15,75
—
—
3 9
65 16,25 16,00
−7,00 4
18 64 16,00 16,13 1,88 5
17 65 16,25 16,13 0,88 6
20 65 16,25 16,25 3,75 7
10 65 16,25 16,25
−6,25 8
18 69 17,25 16,75 1,25 9
17 72 18,00 17,63
−0,63 10 24 76 19,00 18,50 5,50 11 13 75 18,75 18,88
−5,88 12 22 76 19,00 18,88 3,13 13 16 74 18,50 18,75
−2,75 14 25 73 18,25 18,38 6,63 15 11
—
—
—
—
16 21
—
—
—
—
Таблица 6.7 – Оценка сезонной компоненты
Показатели
Год
№ квартала, i
I
II
III
IV
2002
—
—
−7,00 1,88 2003 0,88 3,75
−6,25 1,25 2004
−0,63 5,50
−5,88 3,13 2005
−2,75 6,63
—
—
Всего за i-й квартал
−2,50 15,88
−19,13 6,25
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, S
i
−0,83 5,29
−6,38 2,08
Скорректированная сезонная компонента, S
i
−0,87 5,25
−6,42 2,04
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каж- дого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y − S (гр. 4
табл. 6.8). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем ана- литическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 0,251 ⋅ t + 15,179.

98
Глава 6. Временные ряды
Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, 3, . . ., 16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл. 6.8).
Таблица 6.8 – Выделение тенденции ряда
t
y
t
S
i
y
t
− S
i
T
T + S
E = y
t
−
(T + S) E
2
1
2
3
4
5
6
7
8
1 15
−0,88 15,88 15,43 14,56 0,45 0,20 2
21 5,25 15,75 15,68 20,93 0,07 0,00 3
9
−6,42 15,42 15,93 9,52
−0,52 0,27 4
18 2,04 15,96 16,18 18,22
−0,22 0,05 5
17
−0,88 17,88 16,43 15,56 1,44 2,08 6
20 5,25 14,75 16,69 21,94
−1,94 3,74 7
10
−6,42 16,42 16,94 10,52
−0,52 0,27 8
18 2,04 15,96 17,19 19,23
−1,23 1,51 9
17
−0,88 17,88 17,44 16,56 0,44 0,19 10 24 5,25 18,75 17,69 22,94 1,06 1,13 11 13
−6,42 19,42 17,94 11,52 1,48 2,18 12 22 2,04 19,96 18,19 20,23 1,77 3,12 13 16
−0,88 16,88 18,44 17,57
−1,57 2,46 14 25 5,25 19,75 18,69 23,94 1,06 1,12 15 11
−6,42 17,42 18,94 12,53
−1,53 2,33 16 21 2,04 18,96 19,20 21,24
−0,24 0,06
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели.
Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответству- ющих кварталов (гр. 6 табл. 6.8).
Для оценки качества построенной модели вычислим коэффициент детерминации.
R
2
=
1 −
∑ E
2
∑
(y
t
− y
)
2
=
1 −
20,70 349,44
=
0,94.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 94% общей вариации уровней временного ряда, отражающего изменения фактического объема выпуска продукции по кварталам за 4 года.
Пример 6.3
Построение мультипликативной модели.
Данные возьмем из таблицы 6.2.
Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методи- кой построения аддитивной модели.
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления факти- ческих уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 6.9). Эти

6.4 Моделирование сезонных колебаний
99
оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 6.10). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S
i
. Так же, как и в аддитивной модели, считается, что сезонные воздействия за период взаимопо- гашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значе- ний сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.
Таблица 6.9 – Выравнивание исходных уровней ряда
t
y
t
Итого за
4 квартала
Скользящая
средняя
за четыре
квартала
Центрированная
скользящая
средняя
Оценка
сезонной
компоненты
1
2
3
4
5
6
1 15
—
—
—
—
2 21 63 15,75
—
—
3 9
65 16,25 16,00 0,56 4
18 64 16,00 16,13 1,12 5
17 65 16,25 16,13 1,05 6
20 65 16,25 16,25 1,23 7
10 65 16,25 16,25 0,62 8
18 69 17,25 16,75 1,07 9
17 72 18,00 17,63 0,96 10 24 76 19,00 18,50 1,30 11 13 75 18,75 18,88 0,69 12 22 76 19,00 18,88 1,17 13 16 74 18,50 18,75 0,85 14 25 73 18,25 18,38 1,36 15 11
—
—
—
—
16 21
—
—
—
—
Таблица 6.10 – Оценка сезонной компоненты
Показатели
Год
№ квартала, i
I
II
III
IV
2002
—
—
0,563 1,116 2003 1,054 1,231 0,615 1,075 2004 0,965 1,297 0,689 1,166 2005 0,853 1,361
—
—
Всего за i-й квартал
2,872 3,889 1,867 3,356
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, S
i
0,957 1,296 0,622 1,119
Скорректированная сезонная компонента, S
i
0,959 1,298 0,623 1,120
Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты равна:
0,957 + 1,296 + 0,622 + 1,119 = 3,994.

100