ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 256
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
6.1 Составляющие временного ряда
87
формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
1) факторы, формирующие тенденцию ряда (T );
2) факторы, формирующие периодические колебания ряда (S);
3) случайные факторы (E).
Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию,
характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, мо- гут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию
(рис. 6.1).
Рис. 6.1 – Временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию
Также изучаемый показатель может быть подвержен периодическим колеба- ниям. В экономике периодические колебания принято подразделять на сезонные,
у которых период колебаний не превышает одного года, и циклические с периодом колебаний несколько лет, связанные с циклами деловой активности. Сезонный ха- рактер колебаний характерен для ряда отраслей экономики, деятельность которых зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колеба- ния. На рисунке 6.2 показан временной ряд, который помимо тенденции содержит сезонную компоненту.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компонен- ты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты (рис. 6.3).
Очевидно, что на практике каждый уровень временного ряда формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты. Объеди- няя различным образом эти компоненты, можно получить различные модели вре- менного ряда (Y ):
88
Глава 6. Временные ряды
аддитивную — модель, в которой временной ряд представлен как сумма пе- речисленных компонент:
Y
t
=
T
t
+ S
t
+ E
t
;
мультипликативную — модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент:
Y
t
=
T
t
⋅ S
t
⋅ E
t
;
смешанную:
Y
t
=
T
t
⋅ S
t
+ E
t
.
Рис. 6.2 – Временной ряд, содержащий убывающую тенденцию и циклическую компоненту
Рис. 6.3 – Временной ряд, содержащий случайную компоненту
6.2 Автокорреляция уровней временного ряда
89
Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ря- да — выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно- зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.
Перед построением модели исходные данные проверяются на сопоставимость
(применение одинаковой методики получения или расчета данных), однородность
(отсутствие случайных выбросов), устойчивость (наличие закономерности в изме- нении уровней ряда) и достаточность (число наблюдений должно в 7–10 превос- ходить число параметров модели).
6.2 Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значе- ния каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют ав- токорреляцией уровней ряда.
Степень тесноты автокорреляционной связи между уровнями ряда может быть определена с помощью коэффициентов автокорреляции, т. е. коэффициентов ли- нейной корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями ряда,
сдвинутыми на несколько шагов назад во времени.
r
τ
=
n
∑
t=τ+1
(y
t
− y
1
τ
) ⋅ (y
t−τ
− y
2
τ
)
√
n
∑
t=τ+1
(y
t
− y
1
τ
)
2
⋅
n
∑
t=τ+1
(y
t−τ
− y
2
τ
)
2
,
где
τ — величина сдвига, называемая лагом, определяет порядок коэффициента ав- токорреляции,
y
1
τ
=
n
∑
t=τ+1
y
t
n − τ
;
y
2
τ
=
n
∑
t=τ+1
y
t−τ
n − τ
.
При
τ = 1 эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ря- да первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда y
t
и y
t−1
r
1
=
n
∑
t=2
(y
t
− y
1
) ⋅ (y
t−1
− y
2
)
√
n
∑
t=2
(y
t
− y
1
)
2
⋅
n
∑
t=2
(y
t−1
− y
2
)
2
.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характери- зует тесноту связи между уровнями y
t
и y
t−2
и определяется по формуле:
90
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Глава 6. Временные ряды
r
2
=
n
∑
t=3
(y
t
− y
3
) ⋅ (y
t−2
− y
4
)
√
n
∑
t=3
(y
t
− y
3
)
2
⋅
n
∑
t=3
(y
t−2
− y
4
)
2
,
где
y
3
=
n
∑
t=3
y
t
n − 2
,
y
4
=
n
∑
t=3
y
t−2
n − 2
.
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффи- циент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать пра- вило — максимальный лаг должен быть не больше n
/4.
Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффици- ентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для про- верки ряда на наличие нелинейной тенденции рекомендуется вычислить линейные коэффициенты автокорреляции для временного ряда, состоящего из логарифмов исходных уровней. Отличные от нуля значения коэффициентов автокорреляции будут свидетельствовать о наличии нелинейной тенденции.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов эконо- мических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреля- ции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, и лаг, при ко- тором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная. Та- ким образом, при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого поряд- ка, исследуемый ряд содержит только тенденцию.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка
τ, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в
τ моментов времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, мож- но сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит силь- ную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополни- тельный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляци- онную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компо- ненты.
6.2 Автокорреляция уровней временного ряда
91
Пример 6.1
Допустим, за указанный период (2002–2004 гг.) необходимо выявить основную тенденцию изменения фактического объема выпуска продукции и характер сезон- ных колебаний этого показателя. Данные для примера представлены в таблице 6.2.
Таблица 6.2 – Динамика выпуска продукции
Год
Квартал
t
Объем выпуска
продукции (тыс. руб.), y
t
2002
I
1 15
II
2 21
III
3 9
IV
4 18 2003
I
5 17
II
6 20
III
7 10
IV
8 18 2004
I
9 17
II
10 24
III
11 13
IV
12 22 2005
I
13 16
II
14 25
III
15 11
IV
16 21
Построим поле корреляции.
Рис. 6.4 – Поле корреляции
Уже исходя из графика (рис. 6.4) видно, что значения y
t
образуют пилообраз- ную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорре- ляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу 6.3.
92
Глава 6. Временные ряды
Таблица 6.3 – Вспомогательная таблица
t
y
t
y
t−1
y
t
− y
1
y
t−1
− y
2
(y
t
− y
1
)×
×
(y
t−1
− y
2
) (
y
t
− y
1
)
2
(y
t−1
− y
2
)
2 1
15
—
—
—
—
—
—
2 21 15 3,533
−2,067
−7,302 12,484 4,271 3
9 21
−8,467 3,933
−33,302 71,684 15,471 4
18 9
0,533
−8,067
−4,302 0,284 65,071 5
17 18
−0,467 0,933
−0,436 0,218 0,871 6
20 17 2,533
−0,067
−0,169 6,418 0,004 7
10 20
−7,467 2,933
−21,902 55,751 8,604 8
18 10 0,533
−7,067
−3,769 0,284 49,938 9
17 18
−0,467 0,933
−0,436 0,218 0,871 10 24 17 6,533
−0,067
−0,436 42,684 0,004 11 13 24
−4,467 6,933
−30,969 19,951 48,071 12 22 13 4,533
−4,067
−18,436 20,551 16,538 13 16 22
−1,467 4,933
−7,236 2,151 24,338 14 25 16 7,533
−1,067
−8,036 56,751 1,138 15 11 25
−6,467 7,933
−51,302 41,818 62,938 16 21 11 3,533
−6,067
−21,436 12,484 36,804
Сумма
262 256 2,5E−14 0
−209,467 343,733 334,933
Среднее значение
17,467 17,067
—
—
—
—
—
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16,
а на 15, т. к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле:
r
1
=
−209,467
√
343,733 ⋅ 334,933
= −0,617.
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреля- ции второго порядка (табл. 6.4).
Вычислим коэффициент автокорреляции второго порядка:
r
2
=
148,5
√
330,357 ⋅ 295,5
=
0,475.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков,
а все полученные значения заносим в сводную таблицу (табл. 6.5).
Построим график зависимости значений коэффициентов автокорреляции уров- ней ряда от величины лага.
Анализ коррелограммы (рис. 6.5) и графика исходных уровней временного ря- да позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных ко- лебаний периодичностью в четыре квартала.