Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

Çàâèñèìîñòü

H

Â

(

r

) èçîáðàæåíà íà ðèñ. 27.2,

á

.

Ïóñòü òîê íàïðàâëåí òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âåêòîðà

H

â

ñîâïàäàåò ñ òàêîâûì äëÿ îñè

z

. Ïðè ýòîì

H

â

ñêà÷êîîáðàçíî ìåíÿåòñÿ íà âåëè-

÷èíó

H

â

íà ïîâåðõíîñòè

z

=

0 è íà âåëè÷èíó –

H

â

íà ïîâåðõíîñòè

z

=

h

. Â ñîîòâåò-

ñòâèè ñ óñëîâèåì div

m

H

â

= m ¶

¶

=

H

z

z

â

-r

ì

íà ýòèõ ïîâåðõíîñòÿõ ïîÿâÿòñÿ ìàãíèò-

íûå çàðÿäû:

–m

íà íèæíåé ïîâåðõíîñòè è

+m

íà âåðõíåé, òîãäà êàê âî âñåõ

îñòàëüíûõ òî÷êàõ îáëàñòè ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ íå áóäåò. Õîòÿ îáúåìíàÿ ïëîò-
íîñòü ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ íà óêàçàííûõ ïîâåðõíîñòÿõ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷-
íîñòü, èõ ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü êîíå÷íà è ðàâíà

s

ì

(

r

)

=

–

m

H

â

(

r

)

<

0 íà íèæ-

íåé è

s

ì

(

r

)

= =

+

m

H

â

(

r

) > 0 íà âåðõíåé ïîâåðõíîñòè.

Íàéäåííûå ìàãíèòíûå çàðÿäû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ìàãíèòíîå ïîëå âî âñåõ
òî÷êàõ îáëàñòè, ãäå

H

â

=

0, ò. å. òàì, ãäå åãî ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî

ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà. Â òîé æå ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóåò
âèõðåâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

H

â

, ñîñòàâëÿþùèå íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâ-

íû

H

r

= - ¶

¶

U

r

ì

,

H

a

=

–

¶

¶

U

r

ì

a

,

H

z

=

H

â

–

¶

¶

U

z

ì

.

27.4. Âûðàæåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà è ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

÷åðåç âåêòîðíûé ïîòåíöèàë

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó ìàãíèòíûì ïîòîêîì

F

ñêâîçü íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü

s

è âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì

A

ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èìååì

F =

=

ò

ò

B s

A s

d

d

s

s

rot

.

Ñîãëàñíî òåîðåìå Ñòîêñà, rot

A s

d

s

ò

=

A l

d

l

ò

. Ñëåäîâàòåëüíî,

F =

ò

A l

d

l

.

Òàêèì îáðàçîì,

ìàãíèòíûé ïîòîê ñêâîçü ïîâåðõíîñòü s ðàâåí ëèíåéíîìó èíòå-

ãðàëó âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó

,

îãðàíè÷èâàþùåìó ýòó ïî-

âåðõíîñòü

.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïðè

ïîìîùè èíòåãðàëà

B s

d

s

ò

íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü âåêòîð

B

âî âñåõ òî÷êàõ ïî-

âåðõíîñòè

s

. Ïðè âû÷èñëåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç âåêòîðíûé ïîòåíöèàë

A

äîñòàòî÷íî çíàòü ïîñëåäíèé òîëüêî íà êîíòóðå, îãðàíè÷èâàþùåì ýòó ïîâåðõ-
íîñòü. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ïîâåðõíîñòè çàìåíÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî êîíòó-
ðó, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì.

Âû÷èñëåíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáúåìå íà îñíîâå âûðàæåíèÿ

W

dV

V

ì

=

ò

1

2

H B

ñîïðÿæåíî ñ áîëüøèìè çàòðóäíåíèÿìè, òàê êàê íåîáõîäèìî

ðàññ÷èòàòü íàïðÿæåííîñòü

Í

è èíäóêöèþ

Â

ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âñåõ òî÷êàõ áåñ-

êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà. Âû÷èñëåíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

W

ì

ìîæíî óïðî-

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

141

ñòèòü, åñëè ïðåîáðàçîâàòü èíòåãðàë ïî íåîãðàíè÷åííîìó îáúåìó

V

â èíòåãðàë ïî

îáúåìó

V

J

, â êîòîðîì ñóùåñòâóåò ñîçäàþùèé ìàãíèòíîå ïîëå ýëåêòðè÷åñêèé òîê

ïëîòíîñòüþ

J

.

Äëÿ òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì

Â

=

rot

A

è èçâåñòíûì

èç âåêòîðíîé àëãåáðû âûðàæåíèåì div [

AH

]

=

H

rot

A

–

A

rot

H

, èëè

H

rot

A

=

=

A

rot

H

+ div [

AH

]. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ôîðìóëó äëÿ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî

ïîëÿ âûðàæåíèÿ

A

rot

H

+

div [

AH

] âìåñòî

H

rot

A

èìååì

W

dV

dV

V

V

ì

rot

div

=

+

ò

ò

1

2

1

2

A

H

AH

[

]

.

(*)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (*) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ïîýòîìó

W

dV

V

ì

=

ò

1

2

A

J

J

J

,

÷òî ïîçâîëÿåò îãðàíè÷èòü âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ëèøü â òîé ÷àñòè îáúåìà, â êî-
òîðîé ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà íå ðàâíà íóëþ.

Îïåðèðîâàíèå âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì îáëåã÷àåò ðàññìîòðåíèå ðÿäà âàæíûõ

ïîëîæåíèé òåîðèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàê æå êàê ïîëüçîâàíèå ñêàëÿðíûì ïîòåí-
öèàëîì óïðîùàåò ðàññìîòðåíèå ìíîãèõ âîïðîñîâ ýëåêòðîñòàòèêè.

27.5. Îáùàÿ çàäà÷à ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ

Îáùåé çàäà÷åé ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ ÿâëÿåòñÿ íàõîæäå-
íèå âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè èëè âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ òîêà â ïðîñòðàíñòâå.
Ýòà çàäà÷à ïîëíîñòüþ ðåøàåòñÿ íàõîæäåíèåì âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà

À

êàê

ôóíêöèè êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøå-
íèÿ

Â

=

rot

A

. Â îáùåì ñëó÷àå àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè ýòó çàäà÷ó óäàåòñÿ ðå-

øèòü â îãðàíè÷åííîì ÷èñëå ñëó÷àåâ.

Ðåøåíèå çàäà÷è ðàñ÷åòà òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåîäíîðîäíûõ ñðå-

äàõ ïðè èñïîëüçîâàíèè âåêòîðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàíî
ñ áîëüøèìè òðóäíîñòÿìè. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ, âî-ïåðâûõ, òåì, ÷òî äëÿ òðåõìåð-
íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ çà ðåäêèì èñêëþ÷åíèåì íåâîçìîæ-
íî íàéòè àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå è ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ðàçëè÷íûì
÷èñëåííûì ìåòîäàì. Âî-âòîðûõ, ïðè èñïîëüçîâàíèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ íàëè-
÷èå òðåõ ñêàëÿðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà è íåîáõî-
äèìîñòü óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñèñòåìû êîíå÷-
íî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé îêàçûâàþòñÿ ãðîìîçäêèìè è ïëîõîîáóñëîâëåííûìè.

Èíòåðåñóÿñü ìàãíèòíûì ïîëåì âíå ïðîâîäíèêîâ ñ òîêîì, ò. å. òîëüêî â îáëàñ-

òè ïðîñòðàíñòâà, ãäå ïëîòíîñòü òîêà ðàâíà íóëþ, èìååòñÿ âîçìîæíîñòü âîñïîëü-
çîâàòüñÿ òàêæå äðóãèì ìåòîäîì. Â ýòîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ìàãíèòíîå ïîëå
ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ñêàëÿðíûì ìàãíèòíûì ïîòåíöèàëîì

U

ì

. Âåêòîð íàïðÿ-

æåííîñòè ïîëÿ ïðè ýòîì îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ

H

=

–grad

U

ì

.

Ìåòîäû ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà îñíîâå ñêàëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèà-

ëà àíàëîãè÷íû ïðèìåíåííûì ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, è â ýòîì èõ

142

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

áîëüøîå äîñòîèíñòâî. Òàêàÿ àíàëîãèÿ äàåò âîçìîæíîñòü ðåøèòü ðÿä çàäà÷, îòíî-
ñÿùèõñÿ ê ðàñ÷åòó ìàãíèòíûõ ïîëåé, ïóòåì ñîïîñòàâëåíèÿ èõ ñ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè ðåøåíèÿìè çàäà÷ ýëåêòðîñòàòèêè. Îäíàêî ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì ìå-
òîäà ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîñòü ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòÿõ ñ òîêàìè.

Ðàñ÷åò ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòÿõ ñ òîêàìè íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ ñêà-

ëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ïðè óñëîâèè ïðèâå-
äåíèÿ âèõðåâîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ê áåçâèõðåâîìó. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ìîæíî
èñïîëüçîâàòü âñå ÷èñëåííûå ìåòîäû, èçëîæåííûå â ãëàâå 24 äëÿ ðàñ÷åòà ýëåê-
òðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé.

27.6. Ïëîñêîïàðàëëåëüíîå ïîëå

Ðàññìîòðèì ìàãíèòíîå ïîëå ñèñòåìû áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïàðàëëåëüíûõ öè-
ëèíäðè÷åñêèõ ïðîâîäíèêîâ ñ òîêàìè â îäíîðîäíîé ñðåäå. Îñü

OZ

íàïðàâèì ïà-

ðàëëåëüíî îñÿì ïðîâîäíèêîâ. Â òàêîì ñëó÷àå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ öåëè-
êîì ëåæàò â ïëîñêîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè

XOY

, è êàðòèíà ïîëÿ âî âñåõ

ýòèõ ïëîñêîñòÿõ îäèíàêîâà, ò. å. ïîëå òàêîé ñèñòåìû òîêîâ ïëîñêîïàðàëëåëüíîå.
Ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà

U

ì

ñóòü öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõ-

íîñòè ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè îñè

OZ

. Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà â

ïëîñêîñòè

XOY

îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì

U

x y

ì

const

( , )

.

=

Èíòåðâàëû ìåæäó ñîñåäíèìè ëèíèÿìè ðàâíîãî

ïîòåíöèàëà áóäåì âûáèðàòü òàê, ÷òîáû ïðè ïåðåõî-
äå îò îäíîé ëèíèè ê äðóãîé ñîáëþäàëîñü óñëîâèå

D

U

ì

=

const.

Óðàâíåíèå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ìîæíî

ïîëó÷èòü íà îñíîâå ñîîáðàæåíèé, àíàëîãè÷íûõ
òåì, êîòîðûå áûëè èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîëó÷åíèÿ
óðàâíåíèÿ ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè òîêè,
íàïðàâëåííûå ê íàáëþäàòåëþ. Âûáåðåì îäíó ëè-
íèþ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé.
Íà ðèñ. 27.3 îíà îòìå÷åíà æèðíîé ëèíèåé.

Ñîåäèíèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó

M

(

x

,

y

) ñ íåêîòîðîé òî÷êîé

A

íà÷àëüíîé ëèíèè

îòðåçêîì

MmA

. Ïóñòü

Y

H

åñòü ïîòîê âåêòîðà

H

ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, êîòîðóþ îïèñàë

áû îòðåçîê

MmA

, ïåðåìåùàÿñü ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå â íàïðàâëåíèè îñè

OZ

è

ïðîõîäÿ ïóòü

l

. Óñëîâèìñÿ ðàññìàòðèâàòü ïîòîê íà åäèíèöó äëèíû ïðîâîäîâ. Ââå-

äåì îáîçíà÷åíèå

V

ì

= Y

H

/

l

. Âåëè÷èíà

V

ì

, íàçûâàåìàÿ ô ó í ê ö è å é ï î ò î ê à, çàâè-

ñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè

M

è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò ýòîé

òî÷êè. Äëÿ âñåõ òî÷åê, ëåæàùèõ íà îäíîé è òîé æå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ,
ôóíêöèÿ

V

ì

(

x

,

y

) èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå

V

x y

ì

const

( , )

=

,

îïðåäåëÿþùåå ñîâîêóïíîñòü òàêèõ òî÷åê, è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ëèíèè íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ.

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

143

Ðèñ. 27.3

Óñëîâèìñÿ ðàñïîëàãàòü íà ÷åðòåæå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ òàê, ÷òîáû

ïðè ïåðåõîäå îò ëþáîé ëèíèè ê ñîñåäíåé âñåãäà ïîëó÷àòü îäíî è òî æå ïðèðàùå-
íèå

D

V

ì

ôóíêöèè ïîòîêà.

Îáîçíà÷èâ ÷åðåç

dn

ýëåìåíò äëèíû ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ÷åðåç

da

ýëåìåíò äëèíû ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, áóäåì èìåòü âñþäó

dn

^

da

. Êîîðäè-

íàòó

n

óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü âîçðàñòàþùåé â íàïðàâëåíèè âåêòîðà

H

. Êîîðäèíàòó

a

áóäåì ñ÷èòàòü âîçðàñòàþùåé âëåâî îò âåêòîðà

H

äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ðàñïîëîæèâ-

øåãîñÿ òàê, ÷òî âåêòîð

H

êàæåòñÿ åìó íàïðàâëåííûì ñíèçó ââåðõ (ñì. ðèñ. 27.3).

Ôóíêöèþ ïîòîêà áóäåì ñ÷èòàòü âîçðàñòàþùåé â òîì æå íàïðàâëåíèè, â êîòîðîì
óâåëè÷èâàåòñÿ

a

.

Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

U

ì

è

V

ì

â âèäå

H

U

n

V

a

= -

= +

¶

¶

¶

¶

ì

ì

.

(*)

Ïåðâîå ðàâåíñòâî óæå áûëî ïðèâåäåíî ðàíåå. Âòîðîå âûðàæåíèå ñëåäóåò èç

òîãî, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ÷èñëåííî ðàâíà ïîòîêó âåêòîðà

H

ñêâîçü åäèíèöó

ïîâåðõíîñòè, íîðìàëüíîé ê ëèíèÿì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ïóñòü

d

a

Y

H

— ïðèðà-

ùåíèå ïîòîêà âåêòîðà

H

, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ òîëüêî îäíîé êîîðäèíà-

òû

a

. Ïîòîê

d

a

Y

H

ïðîõîäèò ÷åðåç ïîâåðõíîñòü

l da

, íîðìàëüíóþ ê ëèíèÿì íàïðÿ-

æåííîñòè ïîëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,

H

d

l da

d V

l da

V

a

a

H

a

=

=

=

Y

ì

ì

¶

¶

.

Âûðàæåíèÿ (*) ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèÿì â

§ 24.8, îïðåäåëÿþùèì íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.

Ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà

H

â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ âûðàæàþòñÿ â âèäå

H

U

x

V

y

H

U

y

V

x

x

y

= -

= +

= -

= -

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

ì

ì

;

.

ì

ì

(**)

Ýòè ðàâåíñòâà ïèøóòñÿ íà îñíîâàíèè òåõ æå ñîîáðàæåíèé, ÷òî è ñîîòâåòñò-

âóþùèå ðàâåíñòâà (**) â § 24.8. Èç íèõ ïóòåì ïîâòîðíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ:

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

U

x

U

y

V

x

V

y

ì

ì

ì

ì

+

=

+

=

;

,

ò. å. îáå ôóíêöèè,

U

ì

è

V

ì

, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà. Íåîáõîäèìî, îäíà-

êî, ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòî èìååò ìåñòî òîëüêî â îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, íå çàíÿòîé
ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì. Òîëüêî â ýòîé îáëàñòè âîçìîæíî âûðàçèòü íàïðÿæåííîñòü
ïîëÿ â âèäå ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà

U

ì

. Òàêàÿ îãîâîðêà íå îòíîñèòñÿ ê

âûðàæåíèÿì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ïîòîêà:

H

V

a

H

V

y

H

V

x

x

y

=

=

= -

¶

¶

¶

¶

¶

¶

ì

ì

ì

;

;

,

êîòîðûå ïî ñàìîìó èõ ñìûñëó äîëæíû áûòü

ñïðàâåäëèâû òàêæå è âíóòðè ïðî-

âîäíèêîâ ñ òîêîì

.

144

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ïîòîêà

V

ì

, ââåäåííàÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè

ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ, âåñüìà ïðîñòî ñâÿçàíà ñ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì. Â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âåêòîðíûé ïîòåíöèàë íàïðàâëåí âñþäó ïàðàëëåëüíî îñè

OZ

,

ò. å.

A

x

=

A

y

=

0;

A

z

¹

0, òàê êàê âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà âñþäó ïàðàëëåëåí ýòîé îñè.

Ïîýòîìó èìååì

B

A

y

A

z

A

y

B

A

z

A

x

A

x

B

A

x

z

y

z

y

x

z

z

z

y

=

-

=

=

-

= -

=

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

;

;

x

A

y

x

-

=

¶

¶

0.

Óìíîæàÿ ðàâåíñòâà (**) íà

m

è ñîïîñòàâëÿÿ èõ ñ ïîñëåäíèìè ðàâåíñòâàìè, ïî-

ëó÷àåì

A

V

C

z

=

+

m

ì

,

ïðè÷åì ïîñòîÿííàÿ

C

ìîæåò áûòü îòáðîøåíà êàê íå èìåþùàÿ ñóùåñòâåííîãî

çíà÷åíèÿ.

27.7. Ïðèìåíåíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî

Ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë

U

ì

è ôóíêöèÿ ïîòîêà

V

ì

â îáëàñòè, íå çàíÿòîé òîêà-

ìè, ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè (**), ñîâïàäàþùèìè ñ óðàâíåíèÿìè
Êîøè–Ðèìàíà, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèè

x

(

x

,

y

) è

h

(

x

,

y

), îïðå-

äåëÿþùèå âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè

z = x

+

j

h =

=

f

(

z

) êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî

z

=

x

+

jy

. Ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ ïëîñêîïàðàë-

ëåëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé âíå òîêîâ, òàê æå êàê è ïðè îïèñàíèè ïëîñêîïàðàë-
ëåëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé, ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíê-
öèÿìè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, ïîëîæèâ

x =

V

ì

è

h =

U

ì

, ò. å. ïðèíèìàÿ

z x

h

= +

=

+

=

j

V

jU

f z

ì

ì

( ).

Ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà

H

ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç óðàâíåíèé:

H

U

x

x

H

U

y

y

x

y

= -

= -

= -

= -

¶

¶

¶h
¶

¶

¶

¶h
¶

ì

ì

;

.

Ìîäóëü âåêòîðà

H

ðàâåí

H

H

H

d
d z

x

y

=

+

=

2

2

z

.

27.8. Ïîëå ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ. Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ

ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

z =

K

ln

z

+

C

, ãäå

K

— âåùåñòâåííàÿ âåëè÷èíà è

C

=

=

C

1

+

j C

2

. Âûðàæàÿ ïåðåìåííóþ

z

â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, áóäåì èìåòü

z

=

re

j

q

è

z

q

=

+

=

+

+

+

V

jU

K

r

jK

C

jC

ì

ì

ln

.

1

2

Óðàâíåíèå ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ìîæíî íàïèñàòü â âèäå

V

K

r C

r

ì

const

ò. å.

const

=

+

=

=

ln

,

.

1

Óðàâíåíèå ëèíèé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà èìååò âèä

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

145