Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

U

K

C

ì

=

+

=

=

q

q

2

const

ò. å.

const

,

.

Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñóòü îêðóæíîñòè ñ îáùèì öåíòðîì â íà÷àëå êî-

îðäèíàò. Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà — ðàäèàëüíûå ëó÷è. Òàêîé õàðàêòåð èìååò
ìàãíèòíîå ïîëå ëèíåéíîãî ïðîâîäà ñ òîêîì, ïðîõîäÿùåãî ïåðïåíäèêóëÿðíî ê
ïëîñêîñòè

XOY

÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïîñòîÿííàÿ

K

îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ,

÷òî ïðè îáõîäå âîêðóã òîêà

i

â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè óãîë

q

èçìåíÿåòñÿ

íà 2

p

, à ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå, ðàâíîå

D

U

ì

=

–

i

. Ñòàëî

áûòü,

i

=

–

K

2

p

, è

K

=

–

i

/(2

p

). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ

V

ì

è

U

ì

:

V

i

r C

U

i

C

ì

ì

= -

+

= -

+

2

2

1

2

p

p

q

ln

;

.

×òîáû èíòåðâàë ìåæäó äâóìÿ ëèíèÿìè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ñîîòâåòñòâîâàë

îïðåäåëåííîìó ïðèðàùåíèþ

D

U

ì

ïîòåíöèàëà, ýòè ëèíèè äîëæíû îòñòîÿòü äðóã

îò äðóãà íà ðàâíûå óãëû

Dq

.

Äëÿ òîãî ÷òîáû ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ äåëèëè ïîëå íà òðóáêè ðàâíîãî

ïîòîêà, íåîáõîäèìî ñîáëþñòè äëÿ äâóõ ñîñåäíèõ,

n

-é è (

n

+ 1)-é, ëèíèé óñëîâèå

V

i

r

r

i

r

r

ì

const

= -

-

= -

=

+

+

2

2

1

1

p

p

n

n

n

n

(ln

ln )

ln

,

ò. å.

r

r

N

n

n

+

=

=

1

const.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñû ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ äîëæíû âîçðàñòàòü â ãåî-

ìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, çíàìåíàòåëü êîòîðîé ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî.

Íà ðèñ. 27.4 èçîáðàæåíî ìàãíèòíîå ïîëå óåäèíåííîãî ïðîâîäà, ïðè÷åì ïðè-

íÿòî

N

=

1,5 è

Dq = p

/4.

 òîì ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ

n

ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ

ñ òîêàìè, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì íàëîæå-
íèÿ è íàõîäèòü êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë èç âûðàæå-
íèÿ

z

p

=

+

= -

-

+

=

=

å

V

jU

i

z

z

C

k

k

k

k n

ì

ì

1

2

1

ln(

)

,

ãäå

z

k

îïðåäåëÿåò òî÷êó, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ïðî-

âîä ñ òîêîì

i

k

.

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöèà-

ëà è ôóíêöèè ïîòîêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ëèíåéíûõ

ïðîâîäîâ ñ òîêàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âûðàæåíèÿìè äëÿ ïîòåíöèàëà è ôóíê-
öèè ïîòîêà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ëèíåéíûõ çàðÿæåííûõ ïðîâîäîâ (ñì. § 24.10)
è ñîïîñòàâëÿÿ êàðòèíó ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ðèñ. 27.4 ñ êàðòèíîé ýëåêòðè÷åñêî-
ãî ïîëÿ íà ðèñ. 24.10, çàìå÷àåì èõ ñîîòâåòñòâèå ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî

U

è

V

ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè. Îòñþäà ñëåäóåò çàìå÷àòåëüíûé âûâîä:

146

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.4

Êàðòèíà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ëèíåéíûõ òîêîâ ñîâïàäàåò ñ êàðòèíîé ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ ëèíåéíûõ çàðÿäîâ

,

åñëè òîêè è çàðÿäû ðàñïðåäåëåíû â ïðîñòðàíñòâå îäèíà-

êîâî

.

Ðàçëè÷èå ìåæäó ýòèìè êàðòèíàìè çàêëþ÷àåòñÿ ëèøü â òîì

,

÷òî íà ìåñòå

ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàñïîëàãàþòñÿ ëèíèè ðàâíîãî ìàã-
íèòíîãî ïîòåíöèàëà è íà ìåñòå ëèíèé ðàâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ðàñïî-
ëàãàþòñÿ ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

.

Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü òîëüêî êàðòèíó îäíîãî ïîëÿ, ýëåêòðè÷åñêîãî

èëè ìàãíèòíîãî, âòîðîå æå ïîëó÷àåòñÿ íà îñíîâå òîëüêî ÷òî âûñêàçàííîãî ïîëî-
æåíèÿ, êîòîðîå ìîæíî íàçâàòü ï ð è í ö è ï î ì ñ î î ò â å ò ñ ò â è ÿ ïëîñêîïàðàë-
ëåëüíûõ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé.

27.9. Ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîä ñ òîêîì

âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ïîëå

Ôóíêöèÿ

z =

Dz

+

C

îïðåäåëÿåò ñîáîé îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå. Äåéñòâèòåëü-

íî, èìååì

z =

+

=

+

+

+

V

jU

D x

jDy C

jC

ì

ì

1

2

.

Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñóòü ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè

OY

. Îíè âûðà-

æàþòñÿ óðàâíåíèåì

V

Dx C

ì

const

=

+

=

1

èëè

x

=

const

.

Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íàïðàâëåí ïàðàëëåëüíî îñè

OY

. Íàïðÿæåííîñòü

ïîëÿ ðàâíà

H

V

x

D

H

y

= -

= - = -

¶

¶

ì

0

.

Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ôóíêöèÿ

z

p

= -

+

+

i

z

H z C

2

0

ln

îïðåäåëÿåò ñîáîé ïîëå ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäà ñ
òîêîì

i

âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ïîëå, íàïðÿæåííîñòü

êîòîðîãî

H

y

=

–

H

0

. Òàê êàê

ln

ln

ln(

)

,

z

r

j

x

y

j

y
x

=

+

=

+

+

q

1

2

2

2

arctg

òî óðàâíåíèå ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ìîæåò áûòü
íàïèñàíî â âèäå

V

i

x

y

H x C

ì

= -

+

+

+

=

2

2

2

0

1

p

ln (

)

,

const

à óðàâíåíèå ëèíèé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî â âèäå

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

147

Ðèñ. 27.5

U

i

y
x

H y C

ì

= -

+

+

=

2

0

2

p

arctg

const.

Òàêîå ïîëå èçîáðàæåíî íà ðèñ. 27.5. Â òî÷êå

b

íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà

íóëþ. Ëèíèþ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó òî÷êó è ïîìå÷åííóþ
öèôðîé 2, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíó ëèíèþ

abfdbc

. Â ýòîì ñëó÷àå îíà ïî-

äîáíà ëèíèÿì 3, 4 è 5, ðàñïîëîæåííûì âïðàâî îò ïðîâîäà ñ òîêîì. Åå ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü è êàê äâå ëèíèè: ëèíèþ

abc

è çàìêíóòóþ ëèíèþ

bfdb

. Â òàêîì ñëó÷àå

îíà ïîäîáíà äâóì ëèíèÿì, îòìå÷åííûì öèôðîé 1, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò
ñëåâà îò ïðîâîäà, à äðóãàÿ îõâàòûâàåò ïðîâîä.

27.10. Ïîëå ïðîâîäîâ, èìåþùèõ êîíå÷íîå ñå÷åíèå

ïðîèçâîëüíîé ôîðìû

Ïðè èññëåäîâàíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçè ìàññèâíûõ ïðîâîäîâ, èìåþùèõ ñå-
÷åíèå ñëîæíîé ôîðìû, ýòè ïðîâîäà óæå íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûå. Ðà-
çîáüåì ïðîâîä íà áåñêîíå÷íî òîíêèå ïàðàëëåëüíûå íèòè. Êîîðäèíàòû öåíòðà ñå-
÷åíèÿ íèòè â ïëîñêîñòè

XOY

îáîçíà÷èì ÷åðåç

x

¢

è

y

¢

(ðèñ. 27.6). Ïîâåðõíîñòü

ñå÷åíèÿ íèòè ðàâíà

ds

=

dx

¢

dy

¢

. Êàæäàÿ òàêàÿ íèòü ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîâîäîì

ñ òîêîì

di

=

J

ds

, ãäå

J

— ïëîòíîñòü òîêà, è ïî îòíîøåíèþ ê íåé ñïðàâåäëèâû ïî-

ëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ïîòîêà è ïîòåíöèàëà. Ôóíêöèÿ ïîòîêà

è ïîòåíöèàë, îïðåäåëÿåìûå â òî÷êå

M

(

õ

,

y

) òîêîì

i

,

ïðîòåêàþùèì âî âñåì ïðîâîäå, ïîëó÷àþòñÿ ñóììèðî-
âàíèåì ôóíêöèé ïîòîêà è ïîòåíöèàëîâ, îïðåäåëÿå-
ìûõ â ýòîé òî÷êå òîêàìè, ïðîòåêàþùèìè â îòäåëüíûõ
íèòÿõ. Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèÿ äëÿ âåëè÷èí

V

ì

è

U

ì

â òî÷êå

M

(

x

,

y

) äîëæíû áûòü ïîëó÷åíû èíòåãðèðî-

âàíèåì ïî ñå÷åíèþ

s

ïðîâîäà âûðàæåíèé äëÿ ôóíê-

öèè ïîòîêà è ïîòåíöèàëà, îïðåäåëÿåìûõ â òî÷êå

M

(

x

,

y

) òîêàìè â íèòÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî íàïè-

ñàòü

V

r ds C

U

ds C

s

s

ì

ì

= -

+

= -

+

ò

ò

J

J

2

2

1

2

p

p

q

ln

;

,

ãäå

r

— ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ñå÷åíèÿ íèòè òîêà äî òî÷êè

M

(

x

,

y

) è

q

— óãîë, ñî-

ñòàâëÿåìûé îñüþ

ÎÕ

ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì

r

.

Ôîðìóëîé äëÿ

U

ì

ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ëèøü ïðè ðàññìîòðåíèè ïîëÿ âíå ïðî-

âîäà ñ òîêîì, òàê êàê ïîíÿòèå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà òîëüêî çäåñü èìååò ñìûñë.
Ôîðìóëà æå äëÿ

V

ì

ïðèãîäíà ïðè ðàññìîòðåíèè ïîëÿ êàê âíå ïðîâîäà ñ òîêîì,

òàê è âíóòðè íåãî.

Ïîëó÷åííîå îáùåå âûðàæåíèå ôóíêöèè ïîòîêà â ñëó÷àå

J

=

const ìîæåò áûòü

íàïèñàíî â âèäå

V

s

s

r ds C

i

s

r ds C

s

s

ì

= -

+

= -

+

ò

ò

J

2

1

2

1

1

1

p

p

ln

ln

,

148

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.6

ãäå

s

— ïîâåðõíîñòü ñå÷åíèÿ ïðîâîäà. Âåëè÷èíó

1

s

r ds

s

ln

ò

, âõîäÿùóþ â ýòî âûðà-

æåíèå, îáîçíà÷àþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1

s

r ds

g

s

ln

ln .

ò

=

Çäåñü

r

— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

M

äî ýëåìåíòà

ds

ïîâåðõíîñòè. Âåëè÷èíó

g

íà-

çûâàþò ñ ð å ä í è ì ã å î ì å ò ð è ÷ å ñ ê è ì ð à ñ ñ ò î ÿ í è -
å ì îò òî÷êè

M

äî ïîâåðõíîñòè

s

. Ïîÿñíèì ýòîò òåðìèí.

Ðàçîáüåì ïëîùàäü

s

íà

n

ðàâíûõ ÷àñòåé

D

s

(ðèñ. 27.7) òàê,

÷òî

s

=

n

D

s

. Ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå âñåõ

n

ðàññòîÿíèé îò

òî÷êè

M

äî öåíòðîâ âñåõ ïëîùàäîê

D

s

ðàâíî

g

=

r r

r

n

n

1 2

K

èëè

ln

ln

ln

.

g

n

r

s

r

s

k

k

k n

k

k

k n

=

=

=

=

=

=

å

å

1

1

1

1

D

Óâåëè÷èâàÿ ÷èñëî ïëîùàäîê, ïîëó÷àåì â ïðåäåëå ïðè

n

® ¥

ln

ln

.

g

s

r ds

s

=

ò

1

Òàêèì îáðàçîì, èìååì

V

i

g C

ì

= -

+

2

1

p

ln

.

ßñíî, ÷òî ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîé ïîâåðõíî-

ñòè çàâèñèò òîëüêî îò ôîðìû êîíòóðà, îãðàíè÷èâàþùåãî ýòó ïîâåðõíîñòü, è îò
ïîëîæåíèÿ òî÷êè ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ïîâåðõíîñòè.

27.11. Ïîëå ïðîâîäîâ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ

Ïîëå âíå ïðîâîäà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ òàêîå æå, êàê åñëè áû âåñü òîê

i

ïðîõîäèë ïî

îñè ïðîâîäà. Ïîýòîìó âíå ïðîâîäà, ñîãëàñíî èçëîæåííîìó â § 27.8, èìååì

V

i

r

C

ì

= -

+

2

0

1

p

ln

,

ãäå

r

0

— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

M

, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ

V

ì

, äî öåíòðà ñå÷åíèÿ.

Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ïîòîêà âíóòðè ïðîâîäà. Íàïðÿæåííîñòü

ïîëÿ íà ðàññòîÿíèè

r

0

îò îñè ïðîâîäà îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè çàêîíà ïîëíîãî

òîêà è ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè:

H l

d

H

r

r

i

r

R

ò

=

=

=

2

0

0

2

0

2

2

p

p

J

,

ãäå

R

— ðàäèóñ ñå÷åíèÿ ïðîâîäà (

r

0

<

R

). Èìååì

H

i

r

R

=

0

2

2

p

.

Ïîòîê âåêòîðà

H

ñêâîçü ïëîùàäêó, èìåþùóþ äëèíó â íàïðàâëåíèè îñè ïðî-

âîäà, ðàâíóþ åäèíèöå, è øèðèíó

dr

0

, ðàâåí

H dr

0

. Ñëåäîâàòåëüíî,

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

149

Ðèñ. 27.7

dV

H dr

ir

R

dr

ì

= -

= -

0

0

2

0

2

p

.

Çíàê ìèíóñ íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü, òàê êàê

V

ì

è

r

0

âîçðàñòàþò ïðè

i

> 0 â ïðî-

òèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.

Èíòåãðèðóÿ, íàõîäèì

V

i

r

R

C

ì

= -

+

0

2

2

1

4

p

.

Ïîäðàçäåëÿÿ ïîëå íà òðóáêè ðàâíîãî ïîòîêà

D

V

ì

, ïîëó÷àåì

D

V

i

R

r

r

ì

const

= -

-

=

+

4

2

0

1

2

0

2

p

n

n

(

)

,

,

èëè

r

r

K

0

1

2

0

2

,

,

.

n

n

+

=

+

Òàê êàê âíóòðåííèé ðàäèóñ âíóòðåííåé òðóáêè ðàâåí íóëþ, òî

èìååì ñâÿçü ìåæäó ðàäèóñàìè ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè:

r

K

r

r

K

K

r

K

0 1

2

0 2

2

0 1

2

0

2

2

,

,

,

,

;

;

;

.

=

=

+

=

=

K

n

n

Íà ðèñ. 27.8 èçîáðàæåíî ïîëå âíóòðè ïðîâîäà, ïðè÷åì ïîòîê

ïîäðàçäåëåí íà ïÿòü òðóáîê ðàâíîãî ïîòîêà.

27.12. Ïîëå äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ïåðåäà÷è

Ìàãíèòíîå ïîëå íåñêîëüêèõ ïîñòîÿííûõ òîêîâ, ïðîòåêàþùèõ â ïðÿìîëèíåéíûõ
ïðîâîäàõ, èìåþùèõ êðóãëûå ñå÷åíèÿ ëþáûõ ðàçìåðîâ, âíå ïðîâîäîâ òàêîå æå,
êàê åñëè áû ýòè òîêè ïðîòåêàëè ïî ëèíåéíûì ïðîâîäàì, ñîâìåùåííûì ñ îñÿìè
äåéñòâèòåëüíûõ ïðîâîäîâ. Â ñàìîì äåëå, ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå ñîñåäíèõ
ïðîâîäîâ íå èíäóöèðóåò â òåëå äàííîãî ïðîâîäà ýëåêòðîäâèæóùèõ ñèë. Ïîýòîìó
ðàñïðåäåëåíèå òîêà â òåëå êàæäîãî ïðîâîäà îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàê è â òîì ñëó-
÷àå, êîãäà ýòîò ïðîâîä óåäèíåí. Òàê êàê ìàãíèòíîå ïîëå òîêà, ïðîòåêàþùåãî â óå-
äèíåííîì ïðîâîäå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, âíå ïðîâîäà òàêîå æå, êàê åñëè áû âåñü òîê
áûë ñîñðåäîòî÷åí íà îñè ïðîâîäà, òî è ïðè ëþáîì ÷èñëå ïðîâîäîâ êðóãëîãî ñå÷å-
íèÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ïîëÿ âíå ïðîâîäîâ ìîæíî èõ çàìåíèòü ëèíåéíûìè ïðîâî-
äàìè, ñîâìåùåííûìè ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îñÿìè äåéñòâèòåëüíûõ ïðîâîäîâ. Íå-
îáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòî ïðàâèëî ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïî îòíîøåíèþ
ê ïðîñòðàíñòâó âíå ïðîâîäîâ, òîëüêî ïðè ïîñòîÿííîì òîêå è òîëüêî â òîì ñëó÷àå,
åñëè ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà ïðîâîäîâ ðàâíà ìàãíèòíîé ïðîíèöàå-
ìîñòè îêðóæàþùåé ñðåäû, íàïðèìåð äëÿ ìåäíûõ èëè àëþìèíèåâûõ ïðîâîäîâ
â âîçäóõå.

Òàêîå ïðàâèëî íåâåðíî ïî îòíîøåíèþ ê ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ íåñêîëüêèõ

ìàññèâíûõ ïðîâîäîâ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, òàê êàê áëèçîñòü ñîñåäíèõ ïðîâîäîâ âû-
çûâàåò ïåðåðàñïðåäåëåíèå çàðÿäà íà ïîâåðõíîñòè äàííîãî ïðîâîäà.

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàðòèíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêîâ, ïðîòåêàþùèõ â äâóõ ëèíåé-

íûõ ïðîâîäàõ, îáðàçóþùèõ äâóõïðîâîäíóþ ëèíèþ ïåðåäà÷è, âîñïîëüçóåìñÿ ðà-
íåå ðàññ÷èòàííîé êàðòèíîé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äâóõ çàðÿæåííûõ ëèíåéíûõ

150

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.8