Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

×ÀÑÒÜ ×ÅÒÂÅÐÒÀß

ÒÅÎÐÈß ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃΠÏÎËß

Ãëàâà äâàäöàòü òðåòüÿ

Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

23.1. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå è åãî óðàâíåíèÿ

â èíòåãðàëüíîé ôîðìå

 ãë. 1, ò. 1 áûëè ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ïðè-
âåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, õàðàêòåðèçóþùèå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå

ÿâëÿåòñÿ îñîáûì âèäîì ìàòåðèè. Âñÿêàÿ ýëåêòðè÷å-

ñêè çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà îêðóæåíà ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, ñîñòàâëÿþùèì ñ
íåé åäèíîå öåëîå. Íî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è â ñâîáîä-
íîì, îòäåëåííîì îò çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñîñòîÿíèè â âèäå äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðî-
ñòüþ, áëèçêîé ê 3

×

10

8

ì/ñ, ôîòîíîâ èëè âîîáùå â âèäå èçëó÷åííîãî äâèæóùåãîñÿ

ñ ýòîé ñêîðîñòüþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí).

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå õàðàêòåðèçóåòñÿ íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì â

ïðîñòðàíñòâå, è âìåñòå ñ òåì îíî îáíàðóæèâàåò äèñêðåòíóþ ñòðóêòóðó â âèäå
êâàíòîâ èçëó÷åííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, íàïðèìåð ôîòîíîâ.

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì îïðåäåëåííîãî êîëè÷åñòâà ýíåð-

ãèè, êîòîðàÿ ñïîñîáíà ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ â äðóãèå âèäû ýíåðãèè — õèìè÷åñêóþ,
òåïëîâóþ, ýíåðãèþ ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ è ò. ï.

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ÿâëÿÿñü íîñèòåëåì îïðåäåëåííîãî êîëè÷åñòâà ýíåð-

ãèè, îáëàäàåò òàêæå è îïðåäåëåííîé ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîé ýíåðãèè ìàññîé, êî-
òîðàÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç îáùåé ñâÿçè

W

=

mc

2

ìåæäó ïîëíîé ýíåðãèåé

W

è ïîëíîé ìàññîé

m

, ïðè÷åì

c

åñòü ñêîðîñòü ñâåòà â ïóñòîòå. Îäíàêî ïëîòíîñòü

ìàññû â èñïîëüçóåìûõ îáû÷íî ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ âåñüìà ìàëà. Ïóñòü ìàã-
íèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíà 1 Òë è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà
10

8

Â/ì

=

10

6

Â/ñì. Ïîñëåäíåå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî òîëüêî ïðè âåñüìà âûñî-

êîì âàêóóìå. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíî-
ãî ïîëÿ, ðàâíàÿ ñóììå îáúåìíûõ ïëîòíîñòåé ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèò-
íîãî ïîëåé, èìååò çíà÷åíèå

W

W

V

E

B

'

=

=

+

=

×

× ×

+

×

×

=

×

-

e

m

p

p

0

2

2

0

16

9

7

2

2

10

2 4

9 10

1

2 4

10

4 42 1

,

0

5

3

Äæ ì

.

Ñîîòâåòñòâåííî îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ìàññû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè ýòîì

ðàâíà

m

V

W

=

=

×

×

=

×

-

'

c

2

5

8

2

12

3

4 42 10

3 10

4 91 10

,

(

)

,

,

êã ì

ò. å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåñüìà ìàëóþ âåëè÷èíó.

Íàëè÷èå ìàññû ïîëÿ èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå. Â ÷àñòíîñòè, ðàñïî-

ëàãàÿ çíà÷åíèåì ìàññû ïîëÿ, âåñüìà ëåãêî ïîäñ÷èòàòü äàâëåíèå ñâåòà íà ïîâåðõ-
íîñòü òåëà, íà êîòîðóþ îí ïàäàåò. Äàâëåíèå ñâåòà áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòà-
íîâëåíî è êîëè÷åñòâåííî èçìåðåíî â áëåñòÿùèõ îïûòàõ Ï. Í. Ëåáåäåâà,
ïîäòâåðäèâøèõ âûâîäû òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Íè÷òîæíàÿ ïëîòíîñòü ìàññû èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå ýëåêòðîìàãíèòíûõ

ïîëåé äàåò îñíîâàíèå îáû÷íî íå èíòåðåñîâàòüñÿ ýòîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ è
îáðàùàòü âíèìàíèå â îñíîâíîì íà ýíåðãåòè÷åñêóþ ñòîðîíó ðàññìàòðèâàåìûõ
ÿâëåíèé.

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íàðÿäó ñ âûøåïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè õàðàêòå-

ðèçóåòñÿ

îñîáûìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè

, íå ðàññìàòðèâàåìûìè â ìå-

õàíèêå, à èìåííî ñïîñîáíîñòüþ îêàçûâàòü ñèëîâîå âîçäåéñòâèå íà çàðÿæåííûå
÷àñòèöû. Ýòî âîçäåéñòâèå çàâèñèò îò ñêîðîñòè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö.

 ïåðâîé ÷àñòè êóðñà áûëî óêàçàíî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ ÿâ-

ëÿþòñÿ ëèøü äâóìÿ ñòîðîíàìè âñåãäà åäèíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äåëåíèå
îáúåêòèâíî ñóùåñòâóþùåãî íåçàâèñèìîãî îò íàøèõ íàáëþäåíèé ýëåêòðîìàã-
íèòíîãî ïîëÿ íà äâå åãî ñîñòàâëÿþùèå — ïîëå ýëåêòðè÷åñêîå è ïîëå ìàãíèò-
íîå — ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíûì, ò. å. çàâèñèò îò óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ïðîèçâî-
äèòñÿ íàáëþäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïîìîùüþ òåõ èëè èíûõ óñòðîéñòâ.
 ïåðâîé ÷àñòè êóðñà áûëè óñòàíîâëåíû êîëè÷åñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäå-
ëÿþùèå ñâÿçü ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ñòîðîíàìè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé.

Èç âñåãî ðàññìîòðåííîãî â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà âûòåêàåò, ÷òî âñÿêèé ýëåêòðè-

÷åñêèé òîê îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì è, íàîáîðîò, ìàãíèò-
íîå ïîëå íåèçáåæíî ñâÿçàíî ñ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì. Ïðèíÿòî ðàçëè÷àòü òðè
âèäà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà: òîê ïðîâîäèìîñòè, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ïðîïîðöèî-
íàëüíà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; òîê ñìåùåíèÿ, ïëîòíîñòü êîòîðîãî
ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ,
è òîê ïåðåíîñà, ïëîòíîñòü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ äâèæóùèõñÿ ñâî-
áîäíûõ ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö èëè òåë, çàâèñÿùåé îò ýëåêòðè÷åñêîãî
íàïðÿæåíèÿ âäîëü ïóòè, ïðîéäåííîãî ýòèìè ÷àñòèöàìè èëè òåëàìè. Îäíàêî ôè-
çè÷åñêè ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ëèøü äâà âèäà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, õàðàêòåðèçóþ-
ùèõñÿ èíûìè ïðèçíàêàìè. Ïåðâûé âèä òîêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâèæåíèå ýëå-
ìåíòàðíûõ ÷àñòèö, îáëàäàþùèõ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì. Ñþäà îòíîñÿòñÿ òîê
ïåðåíîñà, òîê ïðîâîäèìîñòè è ÷àñòü òîêà ñìåùåíèÿ, îáÿçàííàÿ ñâîèì ïîÿâëåíè-
åì èçìåíåíèþ ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçîâàííîñòè âåùåñòâà. Âòîðîé âèä òîêà, êî-
òîðûé íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê äâèæåíèå èçâåñòíûõ íàì çàðÿæåííûõ ýëå-
ìåíòàðíûõ ÷àñòèö, åñòü òîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå.

12

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

 ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåì äâèæóùèåñÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, ñóùåñòâóåò

êàê ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òàê è ìàãíèòíîå ïîëå. Ýòè ïîëÿ îïðåäåëÿþò ñîáîé äâå
ñòîðîíû åäèíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Òîêè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå âîçíèêàþò ïðè èçìåíåíèè ýëåêòðè-

÷åñêîãî ïîëÿ âî âðåìåíè è òàêæå îêðóæåíû ìàãíèòíûì ïîëåì. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïðè âñÿêîì èçìåíåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âî âðåìåíè âîçíèêàåò â òîì æå ïðî-
ñòðàíñòâå ñâÿçàííîå ñ íèì ìàãíèòíîå ïîëå. Îáà ýòè ïîëÿ îïðåäåëÿþò è â ýòîì
ñëó÷àå åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.

Ñâÿçü ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì è íàïðÿæåííîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ óñòà-

íàâëèâàåòñÿ çàêîíîì ïîëíîãî òîêà

H l

d

i

ò

=

,

ãëàñÿùèì, ÷òî ëèíåéíûé èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî ëþáîìó
çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâåí ïîëíîìó òîêó ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ
ýòèì êîíòóðîì.

Óðàâíåíèå, âûðàæàþùåå çàêîí ïîëíîãî òîêà, ïîíèìàåìîå â óêàçàííîì âûøå

îáîáùåííîì ñìûñëå, êîãäà â ïðàâîé åãî ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ âñå âèäû òîêîâ, â òîì
÷èñëå è òîê ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå, äàíî Ìàêñâåëëîì. Ïîñðåäñòâîì ýòîãî óðàâíå-
íèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ îäíà èç âàæíåéøèõ ñâÿçåé ìåæäó ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèò-
íîé ñòîðîíàìè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé, à èìåííî, îíî îïðåäåëÿåò ìàãíèòíîå
ïîëå, âîçíèêàþùåå ïðè äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è ïðè èçìåíåíèè ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ.

Âòîðàÿ ñâÿçü îïðåäåëÿåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, âîçíèêàþùåå ïðè èçìåíåíèè âî

âðåìåíè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îíà îòêðûòà Ôàðàäååì è ñôîðìóëèðîâàíà èì â âèäå
çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ìàêñâåëëó ïðèíàäëåæèò çàñëóãà îáîá-
ùåíèÿ ýòîãî çàêîíà äëÿ ëþáîé ñðåäû. Ñîãëàñíî ìàêñâåëëîâîé ôîðìóëèðîâêå
çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà, âîçíèêàþùàÿ â
êîíòóðå ïðè èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ
êîíòóðîì, ðàâíà âçÿòîé ñî çíàêîì ìèíóñ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ýòîãî ïîòîêà. Ñóù-
íîñòü îáîáùåíèÿ Ìàêñâåëëà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êîíòóð, â êîòîðîì âîçíèêà-
åò ÝÄÑ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ðàñïîëîæåííûì â ëþáîé ñðåäå. Â ÷àñòíîñòè,
ýòî ìîæåò áûòü ëèøü ìûñëåííûé êîíòóð, íàõîäÿùèéñÿ öåëèêîì â ïóñòîòå.

Âîçíèêíîâåíèå ÝÄÑ â òàêîì êîíòóðå ïðè èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ åñòü

ðåçóëüòàò ïîÿâëåíèÿ èíäóöèðîâàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïðè ýòîì ýëåêòðî-
äâèæóùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ âäîëü êîíòóðà, ðàâíà ëèíåéíîìó èíòåãðàëó
íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, âçÿòîìó âäîëü ýòîãî êîíòóðà. Òàêèì îáðà-
çîì, îáîáùåííàÿ ìàêñâåëëîâà ôîðìóëèðîâêà çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóê-
öèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

E l

d

d

dt

= -

ò

F

.

Ñóùíîñòü ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè

âñÿêîì èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âðåìåíè âîçíèêàåò â òîì æå ïðîñòðàíñòâå
ñâÿçàííîå ñ íèì ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

13

Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò èíäóöèðîâàííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íà-

ïðÿæåííîñòü êîòîðîãî ìû îáîçíà÷àëè

E

èíä

. Èñòî÷íèêàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

ÿâëÿþòñÿ òàêæå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû è òåëà. Ñâÿçü ýëåêòðè÷åñêî-
ãî ïîëÿ, îêðóæàþùåãî ýòè ÷àñòèöû è òåëà, ñ èõ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïîñòóëàòîì Ìàêñâåëëà

D s

d

q

s

ò

=

,

êîòîðûé ãëàñèò: ïîòîê âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ ñêâîçü ëþáóþ çàìêíó-
òóþ ïîâåðõíîñòü â ëþáîé ñðåäå ðàâåí ñâîáîäíîìó çàðÿäó, çàêëþ÷åííîìó â îáúå-
ìå, îãðàíè÷åííîì ýòîé ïîâåðõíîñòüþ.

Ëèíèè âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè èíäóöèðîâàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âñþäó

íåïðåðûâíû. Ëèíèè âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ, ñâÿçàííîãî ñ çàðÿäàìè
òåë è ÷àñòèö, íà÷èíàþòñÿ è êîí÷àþòñÿ íà ýòèõ çàðÿäàõ.

Ëèíèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè âñþäó íåïðåðûâíû, ÷òî âûðàæàåòñÿ ñî-

îòíîøåíèåì

B s

d

s

ò

=

0 .

Ïðèâåäåííûå âûøå ÷åòûðå ñîîòíîøåíèÿ è ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè óðàâíåíèÿ-

ìè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå.

Èçó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ìåòîäîâ åãî ðàñ÷åòà èìååò âåñüìà áîëü-

øîå çíà÷åíèå.

 ãë. 3, ò. 1, â êîòîðîé áûëè äàíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ è

ìàãíèòíûõ öåïåé, áûëà îòìå÷åíà ñëîæíîñòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé â ýòèõ öåïÿõ.
Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèò-
íûõ öåïåé îñíîâàíà íà ðÿäå íàó÷íûõ àáñòðàêöèé, íà ïðåíåáðåæåíèè ðÿäîì ÿâ-
ëåíèé, êîòîðûå ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü âòîðîñòåïåííûìè.
Òåîðèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé îïåðèðóåò ñ ïàðàìåòðàìè öåïåé, íà-
ïðèìåð ñ èíäóêòèâíîñòüþ, åìêîñòüþ, ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì, ìàãíèò-
íûì ñîïðîòèâëåíèåì è ò. ä., ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ êàê äàííûå.
Îäíàêî äëÿ ðàñ÷åòà ïàðàìåòðîâ öåïåé íåîáõîäèìî çíàòü ýëåêòðè÷åñêèå è ìàã-
íèòíûå ïîëÿ, îáðàçóþùèåñÿ íà ó÷àñòêàõ öåïåé ïðè íàëè÷èè â ýòèõ ó÷àñòêàõ
òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Èçó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé âàæíî íå òîëüêî äëÿ
ðàñ÷åòà ïàðàìåòðîâ öåïåé. Îíî íåîáõîäèìî, åñëè ìû æåëàåì áîëåå ïîëíî ðàñ-
ñìîòðåòü êàðòèíó ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé â òîì èëè èíîì óñòðîéñòâå, íå îã-
ðàíè÷èâàÿ ñåáÿ òåìè äîïóùåíèÿìè, íà êîòîðûõ îñíîâàíà òåîðèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ
è ìàãíèòíûõ öåïåé. Ïî ñóùåñòâó, äëÿ ïîëíîé õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðîìàãíèò-
íûõ ÿâëåíèé â ëþáîì óñòðîéñòâå íåîáõîäèìî çíàòü ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäå-
ëåíèå îïðåäåëÿþùèõ èõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí — ïëîòíîñòè òîêà, íàïðÿæåííîñòè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ìàãíèòíîé èíäóêöèè è ò. ä. è èõ èçìåíåíèå âî âðåìåíè.
Ïîýòîìó äëÿ ãëóáîêîãî èçó÷åíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé íåîáõîäèìî èçó-
÷èòü õàðàêòåðèçóþùèå èõ ïîëÿ.

Äàëåêî íå âñåãäà ïðè àíàëèçå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé ìîãóò áûòü ââåäå-

íû è èñïîëüçîâàíû ïîíÿòèÿ îá ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé öåïÿõ, õîòÿ áû äàæå

14

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ. Ñóùåñòâóåò ìíîãî âàæíûõ ïðàêòè÷å-
ñêèõ ñëó÷àåâ, êîãäà ýòè ïîíÿòèÿ òåðÿþò ñâîé ñìûñë è êîãäà àíàëèç ýëåêòðîìàã-
íèòíûõ ÿâëåíèé ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåí òîëüêî ïóòåì äåòàëüíîãî èçó÷åíèÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Â êà÷åñòâå îäíîãî èç âàæíåéøèõ ïðèìåðîâ ìîæíî óêà-
çàòü íà èçëó÷åíèå è ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.

Ñòðîéíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îòðàæàåò ñîáîé ïðåäåëüíî âû-

ñîêóþ óïîðÿäî÷åííîñòü âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ ìàòåðèè, ñóùåñòâóþùåé â ôîðìå
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äàæå ïðè ñàìûõ ñèëüíûõ èñïîëüçóåìûõ íàìè ýëåêòðî-
ìàãíèòíûõ ïîëÿõ â íèõ íå âîçíèêàåò òóðáóëåíòíîå èëè õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå,
ñâîéñòâåííîå òåïëîâûì ïðîöåññàì è ïðîöåññàì ïðè äâèæåíèè æèäêîñòåé è ãàçîâ.
Îòìå÷åííàÿ âûøå âåñüìà ìàëàÿ ïëîòíîñòü ìàññû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçàí-
íàÿ ñ îòñóòñòâèåì ìàññû ïîêîÿ, îáóñëîâëèâàåò òî, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ ëåãêî ïåðåäàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà âäîëü ïðîâîäîâ è â ñâîáîäíîì ïðîñòðàí-
ñòâå. Ýòè ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ äàþò âîçìîæíîñòü ñ ïîìîùüþ ýëåêò-
ðîìàãíèòíûõ óñòðîéñòâ îñóùåñòâëÿòü óïðàâëåíèå áîëüøèìè ïîòîêàìè ýíåðãèè,
ñîçäàâàòü ñëîæíûå áûñòðîäåéñòâóþùèå êèáåðíåòè÷åñêèå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ, ïå-
ðåäàâàòü îãðîìíûå ïîòîêè èíôîðìàöèè, ïîñûëàòü ñèãíàëû íà ñîòíè ìèëëèîíîâ êè-
ëîìåòðîâ â êîñìè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ýëåê-
òðîííûõ ìàøèí ñ èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîé ñêîðîñòüþ.

Èññëåäóÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü âñå âåëè÷èíû, åãî

õàðàêòåðèçóþùèå, â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Ïîýòîìó ìû íå ìîæåì óäîâëå-
òâîðèòüñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìîé óðàâíåíèé è äîëæíû ïðåäñòàâèòü èõ â äèôôå-
ðåíöèàëüíîé ôîðìå.

 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â íåïîäâèæíûõ

ñðåäàõ, è â ÷àñòíîñòè â íåïîäâèæíûõ ïðîâîäíèêàõ. Ñîîòâåòñòâåííî âî âñåõ
óðàâíåíèÿõ áóäåì ââîäèòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè.

23.2. Çàêîí ïîëíîãî òîêà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå —

ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà

Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ

H l

d

ò

=

i

, âûðàæàþùåìó çàêîí ïîëíîãî òîêà, ëèíåéíûé èí-

òåãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âçÿòûé ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó, ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìåðà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ïðîõîäÿùåãî ñêâîçü ïîâåðõíîñòü

s

, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì. Îäíàêî ïî âåëè÷èíå ýòîãî èíòåãðàëà íåëüçÿ ñó-

äèòü î ðàñïðåäåëåíèè òîêà ïî ïîâåðõíîñòè

s

. ×òîáû ðåøèòü ýòîò âîïðîñ, íåîáõî-

äèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèì æå óðàâíåíèåì â äèôôåðåíöè-
àëüíîé ôîðìå. Äîïóñòèì, ìû æåëàåì âûÿñíèòü, ïðîõîäèò
ëè òîê ñêâîçü ìàëóþ ïîâåðõíîñòü, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíà
òî÷êà

A

, è êàêîâà ïëîòíîñòü òîêà â ýòîé òî÷êå (ðèñ. 23.1).

Ëèíåéíûé èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âçÿ-

òûé âäîëü ìàëîãî êîíòóðà, îãðàíè÷èâàþùåãî ïîâåðõíîñòü

D

s

,

ðàâåí ìàëîìó òîêó

D

i

, ïðîõîäÿùåìó ñêâîçü ýòó ïîâåðõíîñòü:

H l

d

ò

= D

i

, è ìîæåò ñëóæèòü ìåðîé òîêà

D

i

. Âåëè÷èíà

D

i

çà-

âèñèò îò ðàçìåðîâ ïîâåðõíîñòè

D

s

. ×òîáû ïîëó÷èòü âïîëíå

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

15

Ðèñ. 23.1