Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó, ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà íà

D

s

è íàé-

äåì ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ îòíîøåíèå, êîãäà

D

s

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ñòÿãè-

âàÿñü â òî÷êå

A

. Áóäåì èìåòü

lim

lim

.

D

D

D

D

D

s

s

d

s

i

s

®

®

ò

=

0

0

H l

Âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîñòàâëÿþ-

ùóþ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà ïî íàïðàâëåíèþ íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè

s

â òî÷êå

A

:

lim

cos

.

D

D

D

s

i

s

®

=

=

0

d

b d

n

Âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìà-

òèêè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîåêöèþ íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè

s

â òî÷êå

A

âåêòîðà, íàçûâàåìîãî â è õ ð å ì, èëè ð î ò î ð î ì, âåêòîðà

H

. Âèõðü âåê-

òîðà

H

îáîçíà÷àþò rot

H

. Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ åãî ïðîåêöèè èìååì îáîçíà÷åíèå

rot

n

s

d

s

H

H l

=

®

ò

lim

.

D

D

0

Ñòàëî áûòü,

rot

n

n

H

= d

.

Åñëè ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê

íåìó ñîâïàäàëà ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà, òî ïðåäåë îòíîøåíèÿ

D

i

/

D

s

ïîëó÷èò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå, ðàâíîå ïëîòíîñòè òîêà â òî÷êå

A

, ïðè÷åì

íàïðàâëåíèå ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè ìû ñâÿçûâàåì ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà ñ
íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà. Ïðè òàêîì ðàñïîëîæåíèè ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè
â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà, íàïèñàííîãî â âåêòîðíîé ôîðìå, áóäåò ñòîÿòü âåêòîð
ïëîòíîñòè òîêà, à â ëåâîé — âåêòîð rot

H

. Òàêèì îáðàçîì, â äèôôåðåíöèàëüíîé

ôîðìå çàêîí ïîëíîãî òîêà ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå

rot

H

= dd

.

Ýòî óðàâíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íîñèò íàçâàíèå ï å ð â î ã î ó ð à â -

í å í è ÿ Ì à ê ñ â å ë ë à. Öåííîñòü çàïèñè óðàâíåíèÿ ïîëÿ â âåêòîðíîé ôîðìå

çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òàêàÿ çàïèñü íå çàâèñèò îò
âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò. Îäíàêî âûðàæåíèÿ
äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ âèõðÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà

A

,

â ÷àñòíîñòè âåêòîðà

H

, ÷åðåç ñîñòàâëÿþùèå ñàìî-

ãî âåêòîðà

A

ïîëó÷àþòñÿ ðàçëè÷íûìè â ðàçíûõ

ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.

Âûðàçèì ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà rot

A

â äåêàð-

òîâûõ êîîðäèíàòàõ. Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íî ìà-
ëûé ïðÿìîóãîëüíûé êîíòóð

abcda

(ðèñ. 23.2) â

ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè

YOZ

, è ñîñòà-

âèì ñóììó ïðîèçâåäåíèé

A

d

l

ïî âñåì ñòîðîíàì

êîíòóðà. Èìååì

16

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 23.2

+

A

y

dy

âäîëü ñòîðîíû

ab

;

+

A

A

y

dy

z

z

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

¶

¶

dz

âäîëü ñòîðîíû

bc

,

–

A

A

z

dz

y

y

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

¶

¶

dy

âäîëü ñòîðîíû

cd

;

–

A

z

dz

âäîëü ñòîðîíû

da

.

Ïðè ýòîì

A

y

,

A

A

y

dy

z

z

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

¶

¶

,

A

A

z

dz

y

y

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

¶

¶

è

A

z

— ñðåäíèå â ïðåäåëàõ ñîîòâåò-

ñòâóþùåé ñòîðîíû çíà÷åíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà

A

. Ñóììèðóÿ ýòè âåëè÷èíû

è äåëÿ ñóììó íà âåëè÷èíó ïëîùàäêè

dy dz

, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì, íàõîäèì

rot

x

z

y

A

y

A

z

A

=

-

¶

¶

¶

¶

.

Îïðåäåëÿÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äðóãèå ñîñòàâëÿþùèå, ïîëó÷àåì

rot

; rot

rot

x

z

y

y

x

z

z

y

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

A

A

=

-

=

-

=

-

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

;

¶

¶

A

y

x

.

Ïîñëåäíèå äâà âûðàæåíèÿ ëåãêî ïîëó÷àþòñÿ èç ïåðâîãî öèêëè÷åñêîé ïåðåñòà-

íîâêîé áóêâ

x

,

y

,

z

.

Òàêèì îáðàçîì, â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ïðè-

íèìàåò âèä

¶

¶

¶

¶

d

¶

¶

¶

¶

d

¶

¶

¶

¶

d

H

y

H

z

H

z

H

x

H

x

H

y

z

y

x

x

z

y

y

x

z

-

=

-

=

-

=

;

;

.

Ïîëüçóÿñü ïðèâåäåííûìè âûøå ñîîáðàæåíèÿìè, ìîæåì ïîëó÷èòü âûðàæå-

íèÿ âåêòîðà rot

A

è â äðóãèõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Íàïðèìåð, â öèëèíäðè÷åñêèõ

êîîðäèíàòàõ

r

,

a

,

z

ðàäèàëüíàÿ, òàíãåíöèàëüíàÿ è îñåâàÿ ñîñòàâëÿþùèå ðàâíû

rot

r

a

r

¶

¶a

¶

¶

A

=

-

1

A

A

z

z

, rot

a

r

¶

¶

¶

¶r

A

=

-

A

z

A

z

,

rot

z

A

A

A

=

-

1

1

r

¶

¶r

r

r

¶

¶a

a

r

(

)

.

 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

r

,

q

,

j

ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà rot

A

ðàâíû

rot

rot

r

j

q

q

r

q

¶

¶q

q

¶

¶j

r

q

¶

A

A

=

-

é
ëê

ù
ûú

=

1

1

1

sin

(

sin )

,

sin

A

A

A

rA

A

A

r

j

j

q

r

¶j

¶

¶r

r

¶

¶r

r

¶

¶q

-

é
ë

ê

ù
û

ú

=

-

é
ë

ê

ù
û

ú

(

) ,

(

)

.

rot

A

1

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

17

23.3. Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè

â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå —

âòîðîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà

Íàïèøåì â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå óðàâíåíèå

E l

d

ò

= -

d

dt

F

, âûðàæàþùåå çà-

êîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïðè ýòîì, ðàññìàòðèâàÿ ïîëå â íåïîäâèæíûõ
ñðåäàõ, çàìåíèì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé. Ñîñòà-

âèì ëèíåéíûé èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ ïî ìàëîìó êîíòóðó, îãðàíè÷èâàþùå-
ìó ìàëóþ ïîâåðõíîñòü

D

s

(ðèñ. 23.3); ðàçäåëèì åãî

íà âåëè÷èíó ïîâåðõíîñòè è íàéäåì ïðåäåë, ê êîòîðî-
ìó ñòðåìèòñÿ ïîëó÷åííîå îòíîøåíèå, êîãäà ïîâåðõ-
íîñòü

D

s

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ñòÿãèâàÿñü â íåêîòîðîé

òî÷êå

A

ïîëÿ. Ïðè ýòîì ïîëó÷èì ïðîåêöèþ íà íà-

ïðàâëåíèå íîðìàëè ê âûáðàííîìó ýëåìåíòó ïîâåðõ-
íîñòè â òî÷êå

A

âèõðÿ âåêòîðà

E

:

lim

D

D

s

n

d

s

.

®

ò

=

0

E l

E

rot

 ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ìû äîëæíû ïîòîê

DF

ñêâîçü ïîâåðõíîñòü

D

s

ðàç-

äåëèòü íà ïîâåðõíîñòü

D

s

è íàéòè ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ ýòî îòíîøåíèå,

êîãäà

D

s

®

0. Ïðè ýòîì ïîëó÷èì ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè

B

â òî÷êå

A

, íîðìàëüíóþ ê âûáðàííîìó ýëåìåíòó ïîâåðõíîñòè:

lim

.

D

DF

D

F

s

n

s

d

ds

B

®

=

=

0

Òàêèì îáðàçîì, èìååì

rot

n

n

B

t

E

= - ¶

¶

.

Âûáåðåì ïîëîæåíèå ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òîáû íîðìàëü ê íåìó ñîâïà-

ëà ñ âåêòîðîì –

¶

B

/

¶

t

. Òîãäà â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîëó÷èì âèõðü âåêòîðà

E

.

Áóäåì èìåòü

rot

n

t

.

E

B

= - ¶

¶

Ýòî óðàâíåíèå è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûðàæåíèå çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé

èíäóêöèè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. Îíî íàçûâàåòñÿ â ò î ð û ì ó ð à â í å í è -
å ì Ì à ê ñ â å ë ë à.

Íàïðàâëåíèå âåêòîðà

¶

B

/

¶

t

åñòü íàïðàâëåíèå, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ íàïðàâ-

ëåíèå ïðèðàùåíèÿ

D

B

âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïðîèñõîäÿùåãî çà ïðîìå-

æóòîê âðåìåíè

D

t

, êîãäà

D

t

®

0. Åñëè âåêòîð

B

èçìåíÿåòñÿ íå òîëüêî ïî âåëè÷è-

íå, íî è ïî íàïðàâëåíèþ, òî ïðîèçâîäíàÿ

ä

B

/

ät

íå íàïðàâëåíà ïî îäíîé ïðÿìîé ñ

âåêòîðîì

B

.

18

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 23.3

 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåì

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

E

y

E

z

B

t

E

z

E

x

B

t

E

x

E

y

z

y

x

x

z

y

y

x

-

= -

-

= -

-

=

;

;

-

¶

¶

B

t

z

.

23.4. Òåîðåìà Ãàóññà è ïîñòóëàò Ìàêñâåëëà

â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå

Òåîðåìà Ãàóññà â ïðèìåíåíèè ê ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ ãëàñèò: ïîòîê âåêòîðà íà-
ïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñêâîçü çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü â îäíîðîäíîé
è èçîòðîïíîé ñðåäå ðàâåí îòíîøåíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, çàêëþ÷åííîãî â
îáúåìå ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííîãî ýòîé ïîâåðõíîñòüþ, ê àáñîëþòíîé äèýëåê-
òðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû, ò. å.

E s

d

q

s

ò

=

e

.

Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè-

÷åñêîãî ïîëÿ, ðàñïðîñòðàíåííûé ïî íåêîòîðîé çàìê-
íóòîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 23.4), äëÿ îäíîðîäíîé è
èçîòðîïíîé ñðåäû ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìåðà
ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, çàêëþ÷åííîãî âíóòðè ýòîé
ïîâåðõíîñòè. Îäíàêî ïî âåëè÷èíå ýòîãî èíòåãðàëà
åùå íåëüçÿ ñóäèòü î ðàñïðåäåëåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî
çàðÿäà âíóòðè îáúåìà, îãðàíè÷åííîãî çàìêíóòîé
ïîâåðõíîñòüþ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñà íåîáõî-
äèìî ïðèìåíèòü òåîðåìó Ãàóññà â äèôôåðåíöèàëü-
íîé ôîðìå. Äîïóñòèì, ÷òî ìû æåëàåì âûÿñíèòü, íà-
õîäèòñÿ ëè ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä â ìàëîì îáúåìå

D

V

,

çàêëþ÷àþùåì â ñåáå òî÷êó

A

, è êàêîâà îáúåìíàÿ

ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà â ýòîé òî÷êå.

Ïîòîê âåêòîðà

E

ñêâîçü ìàëóþ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùóþ îáúåì

D

V

, ðà-

âåí äåëåííîìó íà

e

ìàëîìó çàðÿäó

D

q

, çàêëþ÷åííîìó âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè:

E s

d

q

s

ò

= D

e

.

Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà

D

V

è íàéäåì ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ

îòíîøåíèå, êîãäà

D

V

®

0. Èìååì

lim

lim

.

D

D

D

D

D

V

V

d

V

q

V

®

®

ò

=

0

0

E s

e

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, íàçûâàåòñÿ ð à ñ õ î æ ä å í è -

å ì, èëè ä è â å ð ã å í ö è å é, âåêòîðà

E

è êðàòêî îáîçíà÷àåòñÿ div

E

. Â ïðàâîé ÷àñ-

òè ïîëó÷àåì îáúåìíóþ ïëîòíîñòü

r

ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà â äàííîé òî÷êå ïðî-

ñòðàíñòâà, äåëåííóþ íà

e

. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ãàóññà â äèôôåðåíöèàëüíîé

ôîðìå ïðèíèìàåò âèä

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

19

Ðèñ. 23.4

div

E

= r

e

.

Òåðìèí «ðàñõîæäåíèå» õîðîøî õàðàêòåðèçóåò îñîáåííîñòè ïîëÿ â òåõ ìåñòàõ,

ãäå

r ¹

0, è â òåõ ìåñòàõ, ãäå

r =

0. Ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü

êàê «èñòî÷íèê» ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, îêîëî íåãî íà÷èíà-
þòñÿ ýòè ëèíèè. Îòðèöàòåëüíûé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ êàê áû «ñòîêîì» (îòðèöàòåëü-
íûì èñòî÷íèêîì) ëèíèé, îêîëî íåãî ëèíèè êîí÷àþòñÿ. Ïîýòîìó åñëè â íåêîòî-
ðîì îáúåìå

D

V

îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íå ðàâíà íóëþ, òî

÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùóþ ýòîò îáúåì, ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ýëåê-
òðè÷åñêîãî ïîëÿ

ðàñõîäÿòñÿ

â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî èëè

ñõîäÿòñÿ

èç íåãî

(ðèñ. 23.5,

à

,

á

), ÷òî êðàòêî âûðàæàåòñÿ ñëîâàìè: ðàñõîæäåíèå âåêòîðà

E

íå ðàâíî

íóëþ. Â îáëàñòè ïîëÿ, ãäå îòñóòñòâóþò îáúåìíûå çàðÿäû (

r =

0), ëèíèè íàïðÿ-

æåííîñòè ïîëÿ íå íà÷èíàþòñÿ è íå êîí÷àþòñÿ; ÷åðåç ëþáîé ýëåìåíò îáúåìà òàêî-
ãî ïðîñòðàíñòâà ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ òîëüêî ïðîõîäÿò (ðèñ. 23.5,

â

), íî íå

ðàñõîäÿòñÿ îò íåãî è íå ñõîäÿòñÿ ê íåìó. Ìû ãîâîðèì, ÷òî ðàñõîæäåíèå âåêòîðà

E

âî âñåõ òî÷êàõ òàêîé îáëàñòè ðàâíî íóëþ: div

E

=

0. Ïîëå â îáëàñòè, ãäå div

E

=

0,

íàçûâàåòñÿ ñ î ë å í î è ä à ë ü í û ì (îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà

swlhnuidh¢z

— òðóáêî-

îáðàçíûé).

Çíà÷åíèå ðàñõîæäåíèÿ âåêòîðà íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò,

è ñîîòâåòñòâåííî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî â îòíîøåíèè ñèñòåìû êîîð-
äèíàò. Îäíàêî âûðàæåíèÿ ðàñõîæäåíèÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà

A

÷åðåç åãî ñîñòàâ-

ëÿþùèå ïîëó÷àþòñÿ ðàçëè÷íûìè â ðàçíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.

Âûðàçèì div

A

â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. Ïðåäñòàâèì ñåáå áåñêîíå÷íî ìà-

ëûé ïàðàëëåëåïèïåä ñî ñòîðîíàìè

dx

,

dy

è

dz

, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò

(ðèñ. 23.6). Ïîòîê âåêòîðà

A

ñêâîçü ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà ñëàãàåòñÿ èç

ïîòîêîâ ñêâîçü åãî ãðàíè. Èìååì

–

A

x

dy dz

ñêâîçü äàëüíþþ ãðàíü;

+

A

A

x

dx

x

x

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

¶

¶

dy dz

ñêâîçü áëèæíþþ ãðàíü;

–

A

y

dx dz

ñêâîçü ëåâóþ ãðàíü;

20

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 23.5

Ðèñ. 23.6