Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

+

A

A

y

dy

y

y

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

¶

¶

dx dz

ñêâîçü ïðàâóþ ãðàíü;

–

A

z

dx dy

ñêâîçü íèæíþþ ãðàíü;

+

A

A

z

dz

z

z

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

¶

¶

dx dy

ñêâîçü âåðõíþþ ãðàíü.

Ïðè ýòîì

A

x

,

A

A

x

dx

x

x

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

¶

¶

è ò. ä. — ñðåäíèå â ïðåäåëàõ ñîîòâåòñòâóþùåé ãðà-

íè çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ ê ïîâåðõíîñòè ãðàíè ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà

A

. Ñóì-

ìèðóÿ ïîòîêè ÷åðåç âñå ãðàíè è äåëÿ ñóììó íà îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà

dx dy dz

,

íàõîäèì

div

A

=

+

+

¶

¶

¶

¶

¶

¶

A

x

A

y

A

z

x

y

z

.

Ðàñõîæäåíèå âåêòîðà èíîãäà îáîçíà÷àþò

Ñ

A

,

ãäå

Ñ

(÷èòàåòñÿ «íàáëà») ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé ñèìâîëè÷åñêèé äèôôåðåíöèàëüíûé âåêòîðíûé îïåðàòîð Ãà-
ìèëüòîíà. Â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îí èìååò âèä

Ñ

+

+

=

x

y

z

i

j

k

¶

¶

¶

¶

¶

¶

,

ãäå

i

,

j

è

k

— åäèíè÷íûå âåêòîðû ïî îñÿì

OX

,

OY

è

OZ

. Âåëè÷èíû

¶

¶

x

= Ñ

x

,

¶

¶

y

= Ñ

y

,

¶

¶

z

= Ñ

z

ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü êàê ñîñòàâëÿþùèå

Ñ

ïî îñÿì êîîðäèíàò.

Äèôôåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå

Ñ

A

ôîðìàëüíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñêà-

ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

Ñ

è

A

. Äåéñòâèòåëüíî,

Ñ

+

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

+

=

=

+

A

i

j

k

i

j

k

=

x

y

z

A

A

A

x

A

y

A

x

y

z

x

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

(

)

y

z

x

y

z

z

A

A

x

A

y

A

z

+

=

+

+

=

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

div

A

,

òàê êàê

ii

=

jj

=

kk

=

1 è

ij

=

jk

=

ki

=

0.

Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìó Ãàóññà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ìîæíî íàïèñàòü

òàêæå â âèäå

Ñ

E

=

r

e

.

 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îíà èìååò âèä

¶

¶

¶

¶

¶

¶

r

e

E

x

E

y

E

z

x

y

z

+

+

=

.

Âûðàæåíèÿ äëÿ div

A

ïðèíèìàþò âèä:

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

21

div

A

A

A

z

z

A

=

+

+

1

1

r

¶

¶r

r

r

¶

¶a

¶

¶

r

a

(

)

— â öèëèíäðè÷åñêîé è

div

A

A

A

A

=

+

+

1

1

1

2

2

r

¶

¶r

r

r

q

¶

¶q

q

r

q

¶

¶j

r

q

j

(

)

sin

(

sin )

sin

— â ñôåðè÷åñêîé ñèñòå-

ìàõ êîîðäèíàò.

Äëÿ íåîäíîðîäíîé è àíèçîòðîïíîé ñðåäû òåîðåìà Ãàóññà íå ïðèìåíèìà. Ïðè

ýòîì ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ àíàëîãè÷íûì, èìåþùèì çíà÷èòåëüíî áîëåå îáùèé
õàðàêòåð óðàâíåíèåì äëÿ âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ

D

. Èìåííî, ñîãëàñ-

íî ïîñòóëàòó Ìàêñâåëëà, ïîòîê âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ ñêâîçü ëþáóþ
çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü â ëþáîé ñðåäå ðàâåí ñâîáîäíîìó ýëåêòðè÷åñêîìó çàðÿ-
äó, çàêëþ÷åííîìó â ïðîñòðàíñòâå, îãðàíè÷åííîì ýòîé ïîâåðõíîñòüþ:

D s

d

q

s

ò

=

.

 äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ïîñòóëàò Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä

lim

lim

,

D

D

D

D

D

V

s

V

d

V

q

V

®

®

ò

=

0

0

D s

ò. å.

div

D

= r

èëè â èíîé çàïèñè

Ñ =

D

r

.

 äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ýòî óðàâíåíèå ïèøåòñÿ â ôîðìå

¶

¶

¶

¶

¶

¶

r

D

x

D

y

D

z

x

y

z

+

+

=

.

Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî âûðàæåíèå rot

A

ìîæåò áûòü çàïèñàíî ÷åðåç çíàê

Ñ

â âèäå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ [

Ñ

A

], â ÷åì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ.

23.5. Âûðàæåíèå â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå

ïðèíöèïîâ íåïðåðûâíîñòè ìàãíèòíîãî ïîòîêà

è íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà

Èìåþùèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè ìàãíèòíîãî ïî-
òîêà óòâåðæäàåò, ÷òî ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè íèãäå íå èìåþò íè íà÷àëà, íè
êîíöà — îíè âñþäó íåïðåðûâíû. Èíûìè ñëîâàìè, ìàãíèòíûé ïîòîê ñêâîçü ëþ-
áóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ:

B s

d

s

ò

=

0.

 ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò ìàãíèòíûõ ìàññ, ÿâëÿþùèõñÿ èñòî÷íèêàìè ëèíèé

ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïîäîáíûõ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäàì, êîòîðûå äàþò íà÷àëî
ëèíèÿì ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåòñÿ òîëüêî ýëåê-
òðè÷åñêèìè òîêàìè, è ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, îêðóæàþùèå ýëåêòðè÷åñêèå

22

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

òîêè, âñåãäà çàìêíóòû, íåïðåðûâíû. Äèôôåðåíöèàëüíîé çàïèñüþ ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ôîðìóëèðîâêè ýòîãî âàæíîãî ïðèíöèïà ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå

div

B

=

0,

êîòîðîå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ òî÷åê ëþáîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Ñòîëü æå ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå èìååò ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè ýëåê-

òðè÷åñêîãî òîêà, ñîãëàñíî êîòîðîìó ëèíèè òîêà íèãäå íå ïðåðûâàþòñÿ, âñåãäà
ÿâëÿÿñü çàìêíóòûìè. Ïîëíûé òîê, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ òîêè ïðîâîäèìîñòè, ïå-
ðåíîñà è ñìåùåíèÿ, ïðîõîäÿùèé ñêâîçü ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü â íà-
ïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè, ðàâåí íóëþ:

dd

d

s

s

ò

=

0.

Êàê áûëî óêàçàíî â ïåðâîé ÷àñòè, ýòî âàæíåéøåå ïîëîæåíèå ïðèîáðåòàåò ñî-

âåðøåííî îáùèé õàðàêòåð ëèøü ñ ââåäåíèåì â ðàññìîòðåíèå, ïîìèìî òîêîâ,
ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé äâèæåíèå ýëåìåíòàðíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, òàêæå è òî-
êîâ ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå. Äèôôåðåíöèàëüíîé çàïèñüþ ïîñëåäíå-
ãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå

div

dd =

0,

êîòîðîå, òàê æå êàê è âûðàæåíèå div

B

=

0, ñïðàâåäëèâî âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàí-

ñòâà.

Ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû âûðàæåíèå div

dd =

0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì

ïåðâîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Äåéñòâèòåëüíî, div

dd =

div rot

H

, íî äëÿ ëþáîãî

âåêòîðà

A

ðàñõîæäåíèå åãî âèõðÿ òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,

div rot

rot

rot

rot

=

x

y

z

x

y

z

A

A

A

A

¶

¶

¶

¶

¶

¶

+

+

=

x

A

y

A

z

z

y

=

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ +

-

æ
è

ç

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

y

A

z

A

x

x

z

ö
ø

÷ +

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

¶

¶

¶

¶

¶

¶

z

A

x

A

y

y

x

0.

Ïîýòîìó â ïîëíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â êîòîðóþ â
êà÷åñòâå îäíîãî èç îñíîâíûõ âõîäèò ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà, èç äâóõ
âûðàæåíèé, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðèíöèïû íåïðåðûâíîñòè ìàãíèòíîãî ïîòîêà è
ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, äîëæíî ñîäåðæàòüñÿ òîëüêî ïåðâîå.

23.6. Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî. Òåîðåìà Ñòîêñà

Óñòàíîâèì äâà âàæíûõ, èìåþùèõ áîëüøîå çíà÷åíèå â òåîðèè ïîëÿ, ðàâåíñòâà,
âûðàæàþùèõ ñîáîé òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî è òåîðåìó Ñòîêñà. Ýòè ðàâåíñòâà
èìåþò ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë è ñïðàâåäëèâû äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòî-
ðà

A

, íî ìû ïîëó÷èì èõ ñíà÷àëà íà îñíîâàíèè èìåþùèõñÿ â íàøåì ðàñïîðÿæå-

íèè óðàâíåíèé äëÿ âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïî-
ëåé è çàòåì óæå äàäèì èì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.

Ïóñòü çàðÿä

q

ðàñïðåäåëåí íåêîòîðûì îáðàçîì ïî îáúåìó

V

, îãðàíè÷åííîìó

ïîâåðõíîñòüþ

s

. Òîãäà

q

= r

dV

V

ò

. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ãàóññà â èíòåãðàëüíîé ôîð-

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

23

ìå, ìîæåì íàïèñàòü:

E s

d

s

ò

=

r

e

dV

V

ò

. Çàìåíÿÿ

r

/

e

÷åðåç div

E

ñîãëàñíî òîé æå òåî-

ðåìå â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

E s

E

d

dV

s

V

ò

ò

=

div

.

Ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü íàïèñàíî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

A

, íåïðåðûâíîãî

âìåñòå ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè â îáëàñòè

V

è íà ïîâåðõíîñòè

s

:

A s

A

d

dV

s

V

ò

ò

=

div

.

Îíî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëèðîâêîé òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî è èìååò ÷èñòî ãåî-

ìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ îáúåìíîãî èíòåãðàëà â ïîâåðõíîñòíûé.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ñåáå îáúåì

V

ðàçäåëåííûì íà ýëåìåíòû îáúåìà

dV.

Âåëè÷èíà div

A

â ñîîòâåòñòâèè ñ åå îïðåäåëåíèåì åñòü îòíîøåíèå ïîòîêà âåê-

òîðà

A

ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùóþ îáúåì

dV

, ê îáúåìó

dV.

Ñëåäî-

âàòåëüíî, div

A

dV

åñòü ïîòîê âåêòîðà

A

ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùóþ

îáúåì

dV.

Ïðåäñòàâèì äâà ñîñåäíèõ îáúåìà

dV

, ñîïðèêàñàþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì

ïî íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè

ds.

Î÷åâèäíî, åñëè ïîòîê ñêâîçü ïîâåðõíîñòü ñîïðè-

êîñíîâåíèÿ äëÿ îäíîãî îáúåìà áóäåò âûõîäÿùèì èç íåãî, ò. å. ïîëîæèòåëüíûì,
òî äëÿ äðóãîãî îí áóäåò âõîäÿùèì â íåãî, ò. å. îòðèöàòåëüíûì. Ïîýòîìó ïðè ñî-
ñòàâëåíèè èíòåãðàëà div

A

dV

V

ò

ïî âñåìó îáúåìó

V

ïîòîêè ñêâîçü âñå ïîâåðõíîñòè

ìåæäó ñìåæíûìè ýëåìåíòàðíûìè îáúåìàìè

dV

â ñóììå äàäóò íóëü. Îñòàíóòñÿ

òîëüêî ïîòîêè ñêâîçü òå ïîâåðõíîñòè

ds

êðàéíèõ ýëåìåíòàðíûõ îáúåìîâ

dV

, êî-

òîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîâåðõíîñòè

s

, îãðàíè÷èâàþùåé âåñü îáúåì

V.

Òà-

êèì îáðàçîì, èíòåãðàë div

A

dV

V

ò

äåéñòâèòåëüíî ðàâåí ïîòîêó âåêòîðà

A

ñêâîçü

ïîâåðõíîñòü

s

, ò. å. ðàâåí èíòåãðàëó

A s

d

s

ò

.

Óñòàíîâèì òåïåðü âòîðîå âàæíîå ðàâåíñòâî. Ïóñòü ñêâîçü íåêîòîðóþ íåçàìê-

íóòóþ ïîâåðõíîñòü

s

, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì

l

, ïðîõîäèò òîê

i

. Èìååì

i

= dd

d .

s

s

ò

Ñîãëàñíî ïåðâîìó óðàâíåíèþ Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå, ìîæåì íàïè-
ñàòü

H l

d

l

ò

= dd

d .

s

s

ò

Èñïîëüçóÿ òî æå óðàâíåíèå â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, çà-

ìåíèì

dd

íà rot

H

. Ïîëó÷èì

H l

H s

d

d .

l

s

ò

ò

=

rot

Ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü íàïèñàíî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

A

, íåïðåðûâíîãî âìåñòå

ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè íà ïîâåðõíîñòè

s

è íà êîíòóðå

l

:

A l

A s

d

d .

l

s

ò

ò

=

rot

24

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Îíî âûðàæàåò ñîáîé òåîðåìó Ñòîêñà è èìååò ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðå-
îáðàçîâàíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà â èíòåãðàë ïî êîíòóðó. Äåéñòâèòåëüíî,
ïðåäñòàâèì ñåáå ïîâåðõíîñòü

s

ðàçäåëåííîé íà ýëåìåíòû

ds.

Âåëè÷èíà íîðìàëü-

íîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà rot

A

â ñîîòâåòñòâèè ñ åå îïðåäåëåíèåì åñòü îòíîøå-

íèå ñóììû ïðîèçâåäåíèé

A

d

l

ïî âñåì ñòîðîíàì êîíòóðà, îãðàíè÷èâàþùåãî ýëå-

ìåíòàðíóþ ïëîùàäêó

ds

, ê âåëè÷èíå ïîâåðõíîñòè

ds.

Ñëåäîâàòåëüíî, rot

A

d

s

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýòó ñóììó. Ïðè ñîñòàâëåíèè èíòåãðàëà rot

d

s

A s

ò

ïî âñåé ïî-

âåðõíîñòè

s

ïðîèçâåäåíèÿ

A

d

l

äëÿ âñåõ ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñòîðîí ñîñåäíèõ ýëå-

ìåíòàðíûõ ïëîùàäîê âçàèìíî êîìïåíñèðóþòñÿ, è îñòàþòñÿ òîëüêî ïðîèçâåäå-
íèÿ

A

d

l

ïî âñåì ýëåìåíòàì

dl

êîíòóðà

l

, îãðàíè÷èâàþùåãî âñþ ïîâåðõíîñòü

s

, ÷òî

è ïðèâîäèò ê ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó.

23.7. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðàññìàòðèâàÿ ýëåìåíòàðíûå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿ â ïóñòîòå, è îê-
ðóæàþùåå èõ ïîëå, ìû ðàçëè÷àåì äâà âèäà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà: òîê ïåðåíîñà è
òîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå. Â ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà, çàíèìàåìîé äâè-
æóùèìèñÿ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, ñóùåñòâóþò òîêè ïåðåíîñà, ïëîòíîñòü êî-
òîðûõ èìååò âûðàæåíèå

J

ïep

= r

v

. Â îñòàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåì äâè-

æóùèåñÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, ñóùåñòâóþò òîêè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ,
èìåþùèå ïëîòíîñòü

dd

ñì

=

¶

D

/

¶

t

, ãäå

D

— ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå â ïóñòîòå.

 îáùåì âèäå ìîæíî íàïèñàòü:

dd =

¶

D

/

¶

t

+

r

v

, ïðè÷åì â îäíèõ òî÷êàõ ïðî-

ñòðàíñòâà ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, à â äðóãèõ òî÷êàõ ðàâíî íóëþ âòîðîå
ñëàãàåìîå.

Âåêòîðû

D

è

E

ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû

B

è

H

ìàãíèò-

íîãî ïîëÿ ñâÿçàíû ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêóþ ïîñòîÿííóþ

e

0

è ìàãíèòíóþ ïîñòîÿí-

íóþ

m

0

ñîîòíîøåíèÿìè:

D

E

B

H

=

=

e

m

0

0

.

è

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ýòîì

ñëó÷àå èìååò âèä

rot

rot

div

H

E

B

D

v

D

E

B

H

D

t

t

=

= -

=

+

=

=

=

dd

¶

¶

; dd

¶

¶

r

e

m

r

;

;

;

;

;

0

0

div

B

=

0.

Èñïîëüçóÿ ñâÿçè

D

= e

0

E

è

B

= m

0

H

, ìîæíî ýòè óðàâíåíèÿ ïåðåïèñàòü òàê,

÷òîáû îíè ñîäåðæàëè òîëüêî âåêòîðû

E

è

B

. Ýòè âåêòîðû ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü

êàê îñíîâíûå âåêòîðû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, êàê ìû âèäåëè
(ñì. ÷. I), ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó, äâèæóùóþñÿ â ýëåêòðîìàã-
íèòíîì ïîëå, îïðåäåëÿåòñÿ èìåííî ýòèìè âåêòîðàìè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

e

0

è

m

0

—

ïî-

ñòîÿííûå âåëè÷èíû, ïîëó÷àåì

rot

rot

div

div

t

t

B

E

B

E

v

E

B

=

= -

=

+

=

=

m dd

¶

¶

; dd e ¶

¶

r

r

e

0

0

0

;

;

;

0.

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

25