Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf
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Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
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7.
Îïðåäåëèì ïîòåíöèàëû â òî÷êàõ îñåé ïðîâîäîâ ìåòîäîì íàëîæåíèÿ. Ïðè
t
1
¹
0,
t
2
=
0 èìååì äëÿ
r
=
R
1
:
U
1
=
(
t
/2
pe
) ln (1/
R
1
) +
A
è äëÿ
r
=
D
:
U
2
=
(
t
/2
pe
) ln (1/
D
) +
A
, òàê ÷òî
U
1
–
U
2
=
(
t
/2
pe
) ln (
D
/
R
1
). Ïðè
t
2
¹
0,
t
1
=
0
èìååì
U
1
–
U
2
=
(
t
/2
pe
) ln (
D
/
R
2
) è èñêîìàÿ åìêîñòü
C
=
pe
l
D
R R
ln(
)
1
2
.
9.
Åìêîñòü â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëèòü íåëüçÿ, òàê êàê ïîòåíöèàë ïîâåðõíîñòè íå
èìååò ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ, à ïîä÷èíåí íà íåé óñëîâèþ
¶
¶
U
n
=
0, ãäå
n
— íîðìàëü
ê ïîâåðõíîñòè òåëà.
25.2. Ïîòåíöèàëüíûå êîýôôèöèåíòû, êîýôôèöèåíòû
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèè è ÷àñòè÷íûå åìêîñòè
â ñèñòåìå òåë
ÂÎÏÐÎÑÛ
2.
Ñîáñòâåííûé ïîòåíöèàëüíûé êîýôôèöèåíò
k
-ãî òåëà çàâèñèò îò ðàçìåðîâ è
âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âñåõ òåë ñèñòåìû, à òàêæå îò äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíè-
öàåìîñòè ñðåäû.
3.
Ïîòåíöèàë
U
1
ïåðâîãî òåëà ñëåäóåò èñêàòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âòîðîå òåëî íå çà-
ðÿæåíî è íàõîäèòñÿ â ïîëå çàðÿäà ïåðâîãî òåëà.
4.
Ââåäåíèå â ñèñòåìó ïðîâîäÿùèõ òåë äîïîëíèòåëüíî îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ
ïðîâîäÿùèõ òåë ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ âñåõ ñîáñòâåííûõ è âçàèìíûõ ïîòåíöè-
àëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, âíåñåíèå â ïîëå
k
-ãî çàðÿæåííîãî òåëà
äðóãîãî íåçàðÿæåííîãî ïðîâîäÿùåãî òåëà ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëîâ
âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, â òîì ÷èñëå è â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè
k
-ãî çàðÿæåííîãî òåëà,
à ñëåäîâàòåëüíî, ê èçìåíåíèþ ñîáñòâåííîãî ïîòåíöèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà
k
-ãî
òåëà.
5.
Åñëè ê çàðÿæåííîìó c çàðÿäîì
q
1
> 0 òåëó ïðèáëèæàòü íåçàðÿæåííîå ïðîâî-
äÿùåå òåëî, òî ïîòåíöèàë
U
1
òåëà óìåíüøèòñÿ âñëåäñòâèå âëèÿíèÿ èíäóöèðîâàí-
íûõ íà ïîâåðõíîñòè íåçàðÿæåííîãî òåëà çàðÿäîâ. Ïîýòîìó áóäåò óìåíüøàòüñÿ è
ñîáñòâåííûé ïîòåíöèàëüíûé êîýôôèöèåíò
a
11
. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èçìåíÿ-
åòñÿ è ïîòåíöèàëüíûé êîýôôèöèåíò
a
22
.
Òàê êàê ïðè ñáëèæåíèè òåë âîçðàñòàåò ïîòåíöèàë íåçàðÿæåííîãî òåëà, òî è âçà-
èìíûå ïîòåíöèàëüíûå êîýôôèöèåíòû
a
12
= a
21
òàêæå âîçðàñòàþò.
7.
Âñå ïîòåíöèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïîëîæèòåëüíû, òàê êàê çíàê ïîòåíöèàëà
çàðÿæåííîãî òåëà, êàê è ïîòåíöèàëà âíîñèìîãî â åãî ïîëå íåçàðÿæåííîãî òåëà,
ñîâïàäàåò ñî çíàêîì çàðÿäà òåëà.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
2.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âûðàçèòü êîýôôèöèåíòû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèè ÷åðåç
ïîòåíöèàëüíûå êîýôôèöèåíòû, íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
aa
q U
=
îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâ:
q
=
-
aa
1
U
è èç óñëîâèÿ
aa
bb
-
=
1
íàéòè èñêîìûå êîýôôè-
öèåíòû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
311
 ñèñòåìå äâóõ òåë èç óðàâíåíèé
a
a
a
a
11 1
12
2
1
21 1
22
2
2
q
q
U
q
q
U
+
=
+
=
ì
í
î
íàõîäèì
aa
a
a
a
a
-
=
-
-
1
22
12
21
11
1
D
è
b
11
= a
22
D
,
b
12
=
–
a
12
D
,
b
21
= - a
21
D
,
b
22
= a
11
D
.
 ñèñòåìå òðåõ òåë èç óðàâíåíèé
a
a
a
a
a
a
a
a
11 1
12
2
13
3
1
21 1
22
2
23
3
2
31 1
32
q
q
q
U
q
q
q
U
q
q
+
+
=
+
+
=
+
2
33
3
3
+
=
ì
í
ï
î
ï
a
q
U
ïîëó÷àåì
aa
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
-
=
-
-
-
1
22
33
23
32
13
32
12
33
12
23
13
22
13
1
D
23
12
33
11
22
13
31
12
13
11
23
21
32
22
31
1
-
-
-
-
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
2
31
11
32
11
32
12
21
a
a a
a a
a a
-
-
,
òàê ÷òî
b
11
= a a
a a
22
33
23
32
-
D
,
b
12
= a a
a a
13
32
12
33
-
D
è ò. ä. (çäåñü
D
— îïðåäåëè-
òåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé).
3.
Âûðàæàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
U
1
–
U
2
òåë ÷åðåç çàðÿä
q
1
îäíîãî èç íèõ, íà-
õîäèì èç óðàâíåíèé
U
1
= a
11
q
1
+
a
12
q
2
,
U
2
= a
21
q
1
+
a
22
q
2
:
U
1
–
U
2
=
=
(
a
11
– 2
a
12
+ a
22
)
q
1
,
C
=
q
U
U
1
1
2
-
=
1
2
11
12
22
a
a
a
-
+
.
Òàê êàê
a
11
=
1
D
b
22
,
a
12
= -
1
D
b
12
,
a
22
=
1
D
b
11
, ãäå
D = b
11
b
22
–
b
12
2
, òî ïîëó÷àåì
C
= b b
b
b
b
b
11
22
12
2
11
12
22
2
-
+
+
.
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ
b
11
=
C
11
+
C
12
,
b
12
=
–
C
12
,
b
22
=
C
21
+
C
22
, íà-
õîäèì
C
=
C
12
+
C C
C
C
11
22
11
22
+
. Ýòî âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü
åìêîñòü ìåæäó äâóìÿ òåëàìè â âèäå åìêîñòè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè,
ñîäåðæàùåé òðè êîíäåíñàòîðà, ñîåäèíåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî-ïà-
ðàëëåëüíî (ðèñ. Ð25.2).
4.
Âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ:
C
12
=
–
b
12
,
C
11
= b
11
+
b
12
,
C
22
= b
22
+
b
12
, à òàêæå óïðàæíåíèÿ 2:
b
11
= a
22
D
,
b
12
= - a
12
D
,
b
22
= a
11
D
, ãäå
D =
= a
11
a
22
–
a
12
2
. Â èòîãå íàõîäèì:
C
12
=
a
a a
a
12
11
22
12
2
-
,
C
11
= a - a
a a
a
22
12
11
22
12
2
-
,
C
22
= a - a
a a
a
11
12
11
22
12
2
-
.
312
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. Ð25.2
5.
Ïîìåñòèì íà÷àëî ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â âåðøèíå äâóãðàííîãî
óãëà è îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû ïðîâîäîâ
x
1
,
y
1
è
x
2
,
y
2
. Èñïîëüçóÿ ìåòîä çåðêàëü-
íûõ èçîáðàæåíèé, çàïèøåì ïîòåíöèàëû ïðîâîäà 1 ïðè
q
2
=
0 è ïðîâîäà 2 ïðè
q
1
=
0:
U
q
l
R
q
l
y
q
l
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
pe
pe
pe
ln
ln
ln
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
x
q
l
x
y
q
l
x
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
pe
pe
ln
ln
y
R x
y
U
q
l
x y
R x
y
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
,
ln
pe
÷
,
îòêóäà ïîëó÷àåì
a
pe
a
p
11
1
1
1 1
1
2
1
2
22
2
2
1
2
2
1
2
=
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
U
q
l
x y
R x
y
U
q
ln
,
e
l
x y
R x
y
ln
.
2
2
2
2
2
2
2
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà
a
21
ðàññ÷èòàåì ïîòåíöèàë â
òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ ïðîâîäà 2 ïðè
q
1
¹
0,
q
2
=
0:
U
q
l
x
x
y
y
q
l
x
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
=
-
+
-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
pe
pe
ln
(
)
(
)
ln
(
+
+
-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
-
-
+
+
x
y
y
q
l
x
x
y
y
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
)
(
)
ln
(
)
(
)
pe
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
+
+
+
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
q
l
x
x
y
y
U
1
2
1
2
2
1
2
21
2
2
1
pe
a
ln
(
)
(
)
,
q
l
x
x
y
y
x
x
y
y
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
4
=
+
+
-
-
+
+
pe
ln
[(
)
(
) ][(
)
(
) ]
[(
x
x
y
y
x
x
y
y
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
-
+
-
+
+
+
ì
í
î
ü
ý
þ
)
(
) ][(
)
(
) ]
.
25.3. Åìêîñòü ëèíèé ïåðåäà÷è
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Ïîãðåøíîñòü ðàñ÷åòà åìêîñòè äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ïðè ïðåíåáðåæåíèè
âëèÿíèåì çåìëè ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå
e =
C
C
C
1
2
1
-
=
1
2
4
2
2
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
ln
ln
h
R
D
h
D
D
R
,
(
C
1
,
C
2
— åìêîñòè ïðè ó÷åòå âëèÿíèÿ çåìëè è ïðè ïðåíåáðåæåíèè åå âëèÿíèåì).
Ïðè çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïîëó÷àåì, ÷òî ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò
îäíîãî ïðîöåíòà ïðè
h
³
1,6 ì.
3.
Ïîòåíöèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàññ÷èòûâàåì ïî ôîðìóëàì:
a
11
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
2
2
0
1
pe
l
h
R
ln
,
a
22
=
1
2
2
0
2
pe
l
h
R
ln
æ
è
ç
ö
ø
÷
,
a
12
= a
21
=
1
2
0
1
2
pe
l
h
h
D
ln
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
313
Èñêîìàÿ åìêîñòü ðàâíà
C
=
1
2
11
22
12
a
a
a
+
-
=
2
4
0
1
2
2
2
1
2
2
pe
l
h h D
R h
h
ln
(
)
+
@
6,28
×10
–12
l
Ô
ì
.
4.
Äëÿ ðàñ÷åòà åìêîñòè äâóõïðîâîäíîé ëèíèè âîñïîëüçóåìñÿ êîíôîðìíûì îòî-
áðàæåíèåì îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëÿ íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ïîìîùüþ
ôóíêöèè
z =
f
(
z
) êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
z
. Ïðîâîäà 1, 2 ëèíèè, èìåþùèå
â ïëîñêîñòè
z
êîîðäèíàòû
z
1
=
x
1
+
jy
1
=
r
1
,
z
2
=
x
2
+
jy
2
=
r
2
, áóäóò èìåòü â ïëîñêî-
ñòè
z
êîîðäèíàòû
z
1
= x
1
+
j
h
1
,
z
2
= x
2
+
j
h
2
, èõ ðàäèóñû ïðèìóò çíà÷åíèÿ
R
1
@
R
f z
z z
'
( )
=
1
,
R
2
@
R f z
z z
'
( )
=
2
. Òàê êàê çàðÿäû è ïîòåíöèàëû ïðîâîäîâ ïðè êîíôîðì-
íîì ïðåîáðàçîâàíèè îáëàñòè íå èçìåíÿþòñÿ, òî åìêîñòü òàêæå íå èçìåíÿåòñÿ è
ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå
C
=
1
2
11
22
12
a
a
a
+
-
, ãäå
a
11
,
a
22
,
a
12
— ïîòåíöè-
àëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðîâîäîâ â ïëîñêîñòè ïåðåìåííîãî
z
:
a
11
=
1
2
2
0
1
1
pe
h
l
R
ln
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
,
a
22
=
1
2
2
0
2
2
pe
h
l
R
ln
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
,
a
12
=
1
2
0
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
pe
x
x
h
h
x
x
h
h
l
ln
(
)
(
)
(
)
(
)
-
+
+
-
+
-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
.
Ïðè ðàñïîëîæåíèè íà÷àëà ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â âåðøèíå îáðà-
çîâàííîãî ïîâåðõíîñòÿìè íóëåâîãî ïîòåíöèàëà ïðÿìîãî óãëà (âàðèàíò
à
) ôóíê-
öèÿ
z =
z
2
îòîáðàæàåò âíóòðåííþþ ÷àñòü óãëà â âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü êîì-
ïëåêñíîé ïåðåìåííîé
z = x
+
j
h
.
Ïðîâîäà ëèíèè èìåþò â ïëîñêîñòè
z
êîîðäèíàòû
z
1
=
r e
j
1
2
2
1
q
= x
1
+
j
h
1
,
z
2
=
r e
j
2
2
2
2
q
=
= x
2
+
j
h
2
, èõ ðàäèóñû ðàâíû
R
1
=
2
R
|
r
1
e
j
q
1
|
=
2
Rr
1
,
R
2
=
2
R
|
r
2
e
j
q
2
|
=
2
Rr
2
.
 çàäà÷àõ âàðèàíòîâ
á
,
â
,
ã
ôóíêöèè, îñóùåñòâëÿþùèå îòîáðàæåíèå îáëàñòè â
âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ïåðåìåííîé
z
, èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
z =
e
d
z
p
,
z =
=
sin
p
d
z
,
z =
1
2
0
0
z
R
R
z
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
.
Îòîáðàæåíèå âíóòðåííåé ÷àñòè êðóãà (âàðèàíò
ä
) â âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü âû-
ïîëíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèè
z =
az
b
cz
d
+
+
, êîýôôèöèåíòû êî-
òîðîé ìîæíî îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâèÿ êîîðäèíàò òðåõ òî÷åê â ïëîñ-
êîñòè
z
òðåì òî÷êàì â ïëîñêîñòè
z
.
Åñëè ïðèíÿòü, íàïðèìåð, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè ïåðåõîäèò â òî÷êó ñ êîîðäèíà-
òîé +
j
ïëîñêîñòè
z
, à òî÷êè
z
=
R
0
è
z
=
–
R
0
— â òî÷êè
z =
+ 1 è
z =
– 1 ñîîòâåòñò-
âåííî, òî ìîæíî ïîëó÷èòü
z =
z
jR
jz
R
+
+
0
0
.
Äëÿ ÷èñëåííûõ äàííûõ âàðèàíòà
à
ïîëó÷àåì:
r
1
=
6,4 ì,
r
2
=
7,2 ì,
R
1
=
0,256 ì,
R
2
=
0,288 ì,
x
1
=
9,
h
1
=
40,
x
2
=
20,
h
2
=
48,
a
11
=
1,03
×
10
11
/
l
,
a
22
=
1,04
×
10
11
/
l
,
a
12
=
314
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
=
3,4
×
10
10
/
l
,
C
=
0,714
×
10
–11
l
Ô. Ïðè ïðåíåáðåæåíèè âëèÿíèåì çåìëè åìêîñòü ëè-
íèè ðàâíà
Ñ
1
= pe
l
(ln
D
/
R
)
–1
=
0,71
×
10
–11
l
Ô, òàê ÷òî ïîãðåøíîñòü ðàñ÷åòà åìêîñòè
íå ïðåâûøàåò 1 %.
5.
Ïðèíèìàÿ
q
2
=
0, íàõîäèì
U
2
= a
21
q
1
= a
a
21
11
U
1
è ñ ó÷åòîì âåëè÷èí
a
11
=
1
2
2
0
pe
l
h
R
ln
æ
è
ç
ö
ø
÷
,
a
12
=
1
2
0
1 2
pe
l
r
D
ln
'
æ
è
ç
ö
ø
÷
,
ãäå
r
1
¢
2
=
D
h
2
2
4
+
, ïîëó÷àåì
U
2
=
ln
ln
r
D
h
R
U
1 2
1
2
'
æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
»
5,3 êÂ.
Íàïðÿæåíèå ìåæäó ïðîâîäàìè ðàâíî
U
12
=
U
1
–
U
2
@
4,7 êÂ.
6.
Ñîïîñòàâèì åìêîñòè òðåõôàçíûõ ëèíèé ïðè ðàçëè÷íîì ðàñïîëîæåíèè ïðîâî-
äîâ è ïðåíåáðåæåíèè âëèÿíèåì çåìëè. Åñëè ïðîâîäà ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñ-
êîñòè (âàðèàíòû
à
,
á
), òî
C
1
=
2
2
3
pe
l
D
R
ln
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
.
Ïðè ðàñïîëîæåíèè ïðîâîäîâ â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà (âàðè-
àíòû
â
,
ã
) ïîëó÷àåì:
C
2
=
2
pe
l
D
R
ln
æ
è
ç
ö
ø
÷
>
C
1
.
Ñîïîñòàâèì åìêîñòè ëèíèè ïðè ó÷åòå ïðîâîäÿùåé çåìëè. Âûðàæåíèå äëÿ åìêî-
ñòè
¢
Ñ
1
ëèíèè (âàðèàíò
à
) èçâåñòíî (ñì. § 25.5). Ïðè ðàñïîëîæåíèè ïðîâîäîâ â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè (âàðèàíò
á
) ïîëó÷àåì:
¢ =
+
+
+
é
ë
ê
ù
û
ú
C
l
D
R
h h
D
h
D
h
D
2
3
2
2
2
2
2
3
pe
ln
(
)
(
)(
)
.
Cðàâíåíèå çíà÷åíèé
¢
Ñ
1
è
¢
Ñ
2
ïîêàçûâàåò, ÷òî
¢
Ñ
1
>
¢
Ñ
2
.
Ïðè ðàñïîëîæåíèè ïðîâîäîâ â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà (âàðèàíò
â
)
èìååì
(
)
¢ =
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
+
+
+
C
l
D
R
h h
D
D
h
D
D
h
3
2
3
2
2
2
2
2
2
3 2
2
2
3 2
4
pe
ln
(
)
[
(
) ]
3
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
315