Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

24.5. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ

Òàê êàê â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ýëåêòðè÷åñêèå òîêè îòñóòñòâóþò, òî èç ñîîò-
íîøåíèÿ

J

= g

E

ñëåäóåò, ÷òî âíóòðè ïðîâîäíèêîâ (

g ¹

0) âñþäó äîëæíî áûòü

E

=

0.

Èç âûðàæåíèÿ

E

=

–grad

U

ïðè ýòîì ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî ïðîâîäíèêà ïîòåí-

öèàë âñåõ åãî òî÷åê èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå. Ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ ñóòü
ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, è ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ
â äèýëåêòðèêå íîðìàëüíû ê íèì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç

E

n

è

E

t

íîðìàëüíóþ è êàñà-

òåëüíóþ ê ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà

E

â äèýëåêòðèêå îêî-

ëî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ïîëÿ â äèýëåêòðèêå íà ïî-
âåðõíîñòè ïðîâîäíèêà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

U

=

const èëè, ÷òî òî æå

ñàìîå,

E

t

=

0,

E

=

E

n

=

–

¶

U

/

¶

n

. Ïðè ýòîì

D

= e

E

=

–

e ¶

¶

U

n

= s

, ãäå

s

— ïëîòíîñòü

ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà.

24.6. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà

äâóõ äèýëåêòðèêîâ

Íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ è èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêîâ ñ àáñîëþòíû-
ìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè

e

1

è

e

2

, íàõîäÿùèõñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì

ïîëå (ðèñ. 24.5), íàïðÿæåííîñòü è ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå êîòîðîãî óäîâëåò-
âîðÿþò óðàâíåíèÿì

E l

d

l

ò

=

0 è

D s

d

s

ò

=

0, ìîæåì (ñì. § 23.8), ïðèíèìàÿ

X

=

E

,

Y

=

D

,

a

1

= e

1

,

a

2

= e

2

íà îñíîâàíèè îòíîøåíèé (*), (**), çàïèñàòü óñëîâèÿ

E

1

sin

q

1

=

=

E

2

sin

q

2

è

D

1

cos

q

1

=

D

2

cos

q

2

, âûðàæàþùèå íåïðåðûâíîñòü êàñàòåëüíûõ ñî-

ñòàâëÿþùèõ âåêòîðà

E

è íîðìàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà

D

. Óñëîâèå ïðåëîì-

ëåíèÿ ëèíèé ïðèíèìàåò âèä:

tg

tg

1

2

q

q

e

e

=

1

2

.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íîðìàëüíû ê ïîâåðõ-

íîñòè ðàçäåëà (ðèñ. 24.6) äâóõ èçîòðîïíûõ ñðåä ñ àáñîëþòíûìè äèýëåêòðè÷åñêè-
ìè ïðîíèöàåìîñòÿìè

e

1

è

e

2

. Âåêòîðû ñìåùåíèÿ áóäóò îäèíàêîâû â îáåèõ ñðå-

äàõ:

D

1

=

D

2

, íî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñêà÷êîì èçìåíÿåò

ñâîå çíà÷åíèå, òàê êàê

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

41

Ðèñ. 24.5

Ðèñ. 24.6

E

D

E

D

1

1

1

2

2

2

=

¹

=

e

e

.

Ïóñòü

e

1

>

e

2

è ñîîòâåòñòâåííî äèýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü

c

1

ïåðâîé

ñðåäû áîëüøå äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè

c

2

âòîðîé. Òîãäà

E

1

<

E

2

. Íà

ðèñ. 24.6 èçîáðàæåíî äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïîëå âåêòîðà

E

.

Ó ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ èç ïåðâîé ñðåäû âûñòóïàþò ïîëî-

æèòåëüíûå çàðÿäû äèïîëåé è èç âòîðîé ñðåäû — îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû äèïî-
ëåé. Òàê êàê

c

1

>

c

2

, òî ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû ïðåîáëàäàþò íàä îòðèöàòåëüíûìè

è â òîíêîì ñëîå ó ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà îáðàçóåòñÿ ñâÿçàííûé ïîëîæèòåëüíûé
çàðÿä. Ââèäó ÷ðåçâû÷àéíîé ìàëîñòè òîëùèíû ýòîãî ñëîÿ åãî çàðÿä ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê ïîâåðõíîñòíûé ñ ïëîòíîñòüþ

s¢

. Ïðèìåíÿÿ ïîñòóëàò Ìàêñâåëëà

ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, ñëåä êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 24.6 øòðèõîâîé ëèíè-
åé, ïîëó÷èì

D

1

=

D

2

, òàê êàê ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ äè-

ýëåêòðèêîâ íåò. Ñëåäîâàòåëüíî,

e

e

e

0

1

1

0

2

2

0

2

1

1

2

E

P

E

P

E

E

P

P .

+

=

+

-

=

-

èëè

(

)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ãàóññà â ôîðìå

E s

d

s

ò

=

q q

+ ¢

e

0

è ó÷èòû-

âàÿ, ÷òî

q

=

0, áóäåì èìåòü

E s

d

q

E s

E s

q

s

ò

= ¢

-

+

= ¢

e

e

0

0

èëè

1

2

,

îòêóäà

e

s

0

(

)

E

E

q

s

2

1

-

= ¢ =

' .

Òàêèì îáðàçîì,

s

' =

P

P .

1

2

-

Èòàê, âñëåäñòâèå íåîäèíàêîâîé ñïîñîáíîñòè

äèýëåêòðèêîâ ïîëÿðèçîâàòüñÿ íà èõ ïîâåðõíîñòè
âîçíèêàåò ñâÿçàííûé ïîâåðõíîñòíûé çàðÿä ñ ïëîò-
íîñòüþ, ðàâíîé ðàçíîñòè ïîëÿðèçîâàííîñòåé äè-
ýëåêòðèêà, èç êîòîðîãî ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïî-
ëÿ âûõîäÿò, è äèýëåêòðèêà, â êîòîðûé îíè âõî-
äÿò. Â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ëèíèè íàïðÿæåííî-
ñòè ïîëÿ ïîäõîäÿò ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ïîä
íåêîòîðûì óãëîì,

s¢

ðàâíî, êàê íåòðóäíî óáå-

äèòüñÿ, ðàçíîñòè íîðìàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ
âåêòîðîâ

P

1

è

P

2

.

 âèäå ïðèìåðà ðàññìîòðèì êîíöåíòðè÷å-

ñêèé êàáåëü ñ íåñêîëüêèìè ñëîÿìè äèýëåêòðèêà
ñ ðàçíûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè
(ðèñ. 24.7). Âîîáðàçèì öèëèíäðè÷åñêóþ ïîâåðõ-
íîñòü ðàäèóñà

r

è äëèíû

l

, îñü êîòîðîé ñîâìåùå-

íà ñ îñüþ êàáåëÿ. Ïîòîê ñìåùåíèÿ ñêâîçü ýòó ïî-

42

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 24.7

âåðõíîñòü ðàâåí çàðÿäó

q

= t

l

, ðàñïîëîæåííîìó íà îòðåçêå

l

âíóòðåííåãî ïðîâîäà

êàáåëÿ, ò. å.

D s

d

s

ò

=

q

= t

l

, ïðè÷åì

t

— ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà.

Òàê êàê íà âñåé ïîâåðõíîñòè ââèäó ñèììåòðèè

D

=

const è âåêòîð

D

íîðìàëåí

ê ïîâåðõíîñòè, òî

D s

d

s

ò

=

Ds

=

2

p

rlD.

Èòàê,

D

r

= t

p

2

.

Íàïðÿæåííîñòü â

k

-ì ñëîå èçîëÿöèè ðàâíà

E

D

r

.

k

k

k

=

=

e

t

p e

2

 ïðåäåëàõ êàæäîãî ñëîÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì

r

, ïðè

ïåðåõîäå æå ê ñëåäóþùåìó ñëîþ îíà èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì â ñâÿçè ñ èçìåíåíèåì

e

. Ýòîò ñêà÷îê ìû è ìîæåì îáúÿñíèòü ïîÿâëåíèåì ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ íà ïîâåðõ-

íîñòè ðàçäåëà äâóõ ñëîåâ äèýëåêòðèêà.

 êàæäîì ñëîå íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ó âíóòðåí-

íåé ïîâåðõíîñòè ñëîÿ, ðàâíîå

Å

km

=

t

p e

2

r

k

k

, ïðè÷åì

r

k

— âíóòðåííèé ðàäèóñ ñëîÿ.

Ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì ïðè ïðîåêòèðîâàíèè êàáåëÿ ïîäîáðàòü âåëè÷èíû

r

k

e

k

äëÿ âñåõ ñëîåâ òàê, ÷òîáû âåëè÷èíû

Å

km

îòâå÷àëè äîïóñòèìûì çíà÷åíèÿì íà-

ïðÿæåííîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòè ñëîåâ. Â ÷àñòíîñòè,
åñëè äîïóñòèìàÿ ìàêñèìàëüíàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ

Å

km

âî âñåõ ñëîÿõ îäèíàêî-

âà, òî ñëåäóåò ñòðåìèòüñÿ ê ñîáëþäåíèþ óñëîâèé:

r

r

r

.

k

k

1 1

2

2

e

e

e

=

=

=

=

=

K

K

const

Ïðèìåíåíèåì ìíîãîñëîéíîé èçîëÿöèè äîñòèãàåòñÿ çíà÷èòåëüíîå âûðàâíèâà-

íèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âäîëü ðàäèóñà, ÷òî èëëþñòðèðóåòñÿ ýïþðîé íà ðèñ. 24.7.

24.7. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ýëåêòðîñòàòèêè

Îáùåé çàäà÷åé ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå íàïðÿæåííî-
ñòè ïîëÿ âî âñåõ åãî òî÷êàõ ïî çàäàííûì çàðÿäàì èëè ïîòåíöèàëàì òåë. Äëÿ
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ çàäà÷à ïîëíîñòüþ ðåøàåòñÿ îòûñêàíèåì ïîòåíöèàëà
êàê ôóíêöèè êîîðäèíàò. Åñëè ïîëíîñòüþ çàäàíî ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ
çàðÿäîâ â îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé ñðåäå, òî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ìå-
òîäîì, èçëîæåííûì â § 24.3. Îáðàòíàÿ çàäà÷à îòûñêàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ
ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïîòåíöèàëà ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ëàï-

ëàñà è ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ

-

=

e ¶

¶

s

U

n

ïîâåðõíîñòè çàðÿæåííûõ ïðîâîäÿùèõ òåë.

Îäíàêî áîëüøåé ÷àñòüþ çàäà÷à îêàçûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå. Îáû÷íî ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà çàðÿæåííûõ ïðîâîäÿùèõ òåë, îêðóæåííûõ äèýëåêòðèêîì,
â êîòîðîì îòñóòñòâóþò îáúåìíûå çàðÿäû. Çàäàíû ëèáî ïîòåíöèàëû âñåõ òåë:

U

1

,

U

2

, …,

U

k

, …, ëèáî ïîëíûå çàðÿäû òåë:

q

1

,

q

2

, ...,

q

k

. Ðàñïðåäåëåíèå æå çàðÿäîâ ïî

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

43

ïîâåðõíîñòè êàæäîãî òåëà íåèçâåñòíî è ïîäëåæèò îïðåäåëåíèþ. Â ýòîì è çàêëþ-
÷àåòñÿ îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çàäà÷è. Òàêæå íåèçâåñòíûì ÿâëÿåòñÿ è ðàñïðåäåëå-
íèå ïîòåíöèàëà â ïðîñòðàíñòâå. Îñîáåííî óñëîæíÿåòñÿ çàäà÷à äëÿ íåîäíîðîä-
íîé èëè íåèçîòðîïíîé ñðåäû.

Ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è àíàëèòè÷åñêèì ïóòåì â êîíå÷íîì âèäå âîçìîæíî òîëü-

êî äëÿ îòäåëüíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ íàéòè ðåøåíèå
ïðè ïîìîùè èñêóññòâåííûõ ïðèåìîâ. Â ñâÿçè ñ ýòèì ÷ðåçâû÷àéíî âàæíî óñòàíî-
âèòü òå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå òðåáîâàíèÿ, ïðè óäîâëåòâîðåíèè êîòîðûõ
ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ýòèìè òðåáîâàíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëå-
äóþùèå:

1.

Ïîëå â äèýëåêòðèêå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì:

rot

div

.

E

D

E

D

=

=

=

0

0

;

;

e

Ïðè ýòîì óðàâíåíèå rot

E

=

0, êàê áûëî ïîêàçàíî â § 24.1, ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñò-

âó

E

=

–grad

U.

Äëÿ îäíîðîäíîé ñðåäû ýòè óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ

ïîòåíöèàëà

U

:

div

div

div grad

(

)

,

e

e

e

e

E

E

=

= -

= - Ñ

=

U

U

2

0

ò. å. ê óðàâíåíèþ Ëàïëàñà

¶

¶

¶

¶

¶

¶

2

2

2

2

2

2

0

U

x

U

y

U

z

.

+

+

=

2.

Ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùèõ òåë äîëæíû áûòü ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíîãî ïîòåí-

öèàëà, ò. å. äëÿ êàæäîé òàêîé ïîâåðõíîñòè äîëæíî áûòü ñîáëþäåíî óñëîâèå

U

=

const; ýòîò æå ïîòåíöèàë òåëî èìååò, êîíå÷íî, è âî âñåì ñâîåì îáúåìå.

3.

Ïîòåíöèàëû íà ïîâåðõíîñòè òåë äîëæíû áûòü ðàâíû çàäàííûì çíà÷åíèÿì

U

k

,

åñëè ïî óñëîâèÿì çàäà÷è èçâåñòíû ýòè ïîòåíöèàëû. Åñëè æå çàäàíû ïîëíûå çà-
ðÿäû òåë, òî äëÿ êàæäîãî òåëà äîëæíî áûòü óäîâëåòâîðåíî óñëîâèå

q

ds

U

n

ds

k

s

s

k

k

=

= -

ò

ò

s

e ¶

¶

.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíåíèå ýòèõ òðåáîâàíèé íå òîëüêî íåîáõîäèìî, íî

è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû çàäà÷à áûëà ðåøåíà åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ýòî âàæíîå ïî-
ëîæåíèå ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé åäèíñòâåííîñòè.

24.8. Ïëîñêîïàðàëëåëüíîå ïîëå

Çàäà÷à ðàñ÷åòà âåñüìà óïðîùàåòñÿ, åñëè âñå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ïîëå,
çàâèñÿò òîëüêî îò äâóõ êîîðäèíàò. Òàêîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò ïîëå ñèñòåìû
èç íåñêîëüêèõ áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïàðàëëåëüíûõ äðóã äðóãó öèëèíäðè÷åñêèõ
ïðîâîäîâ ñ çàðÿäàìè, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûìè ïî èõ äëèíå. Äèýëåêòðèê
áóäåì ïðåäïîëàãàòü îäíîðîäíûì. Íàïðàâèì îñü

OZ

ïàðàëëåëüíî îñÿì ïðîâîäîâ.

Òîãäà âñå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ áóäóò ëåæàòü â ïëîñêîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ
ïëîñêîñòè

XOY.

Êàðòèíà ïîëÿ âî âñåõ ýòèõ ïëîñêîñòÿõ îäèíàêîâà, è äîñòàòî÷íî

44

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

èññëåäîâàòü ïîëå òîëüêî â ïëîñêîñòè

XOY.

Ïîëå òàêîãî âèäà áóäåì íàçûâàòü

ï ë î ñ ê î ï à ð à ë ë å ë ü í û ì ï î ë å ì. Íà ðèñ. 24.8 èçîáðàæåíû ïîïåðå÷íûå ñå-
÷åíèÿ äâóõ ïðîâîäîâ è êàðòèíà ïîëÿ îêîëî íèõ. Ïîòåíöèàë ïëîñêîïàðàëëåëü-
íîãî ïîëÿ åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî äâóõ êîîðäèíàò:

x

è

y.

Ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ïî-

òåíöèàëà ñóòü öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè
îñè

OZ

. Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà â ïëîñêîñòè

XOY

îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè

âèäà

U x, y

(

)

.

=

const

Óñëîâèìñÿ íàíîñèòü íà ÷åðòåæå ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ÷åðåç òàêèå ïðî-

ìåæóòêè, ÷òîáû ïðè ïåðåõîäå îò ëþáîé ëèíèè ê ñîñåäíåé âñåãäà ïîëó÷àòü îäèíà-
êîâîå ïðèðàùåíèå

D

U

ïîòåíöèàëà.

Óðàâíåíèå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ

ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî íà îñíîâå ñëåäóþùèõ
ñîîáðàæåíèé. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ëèíèÿ íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íà÷àëü-
íàÿ (ðèñ. 24.8). Ñîåäèíèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷-
êó

M

(

x

,

y

) ñ íåêîòîðîé òî÷êîé

A

íà÷àëüíîé

ëèíèè êðèâîëèíåéíûì îòðåçêîì

MmA.

Îáî-

çíà÷èì ÷åðåç

Y

E

ïîòîê âåêòîðà

E

ñêâîçü ïî-

âåðõíîñòü, êîòîðóþ îïèñàë áû îòðåçîê

MmA

,

ïåðåìåùàÿñü ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå â íà-
ïðàâëåíèè îñè

OZ

è ïðîõîäÿ ïóòü

l

. Óñëî-

âèìñÿ ðàññìàòðèâàòü ïîòîê íà åäèíèöó äëè-
íû ïðîâîäîâ è ââåäåì îáîçíà÷åíèå

V

= Y

E

/

l.

Âåëè÷èíà

V

, òàê æå êàê è âåëè÷èíà ïîòîêà

Y

E

, çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè

M

,

ò. å. ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé åå êîîðäèíàò, ÷òî ìû çàïèøåì â âèäå

V

(

x

,

y

)

.

ßñíî, ÷òî

äëÿ âñåõ òî÷åê

M

(

x

,

y

), ëåæàùèõ íà îäíîé è òîé æå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ,

ôóíêöèÿ

V

(

x

,

y

) èìååò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó óðàâíåíèå

V x, y

(

)

,

=

const

îïðåäåëÿþùåå ñîâîêóïíîñòü òàêèõ òî÷åê, è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ýòîé ëèíèè íà-
ïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ôóíêöèþ

V

(

x

,

y

) íàçûâàþò ô ó í ê ö è å é ï î ò î ê à.

Ôóíêöèÿ

V

(

x

,

y

) ìíîãîçíà÷íà, òàê êàê åñëè îáîéòè ïî íåêîòîðîìó çàìêíó-

òîìó êîíòóðó ñå÷åíèå êàêîãî-ëèáî çàðÿæåííîãî ïðîâîäà, òî

V

ïîëó÷èò ïðèðà-

ùåíèå, ðàâíîå

DY

E

/

l

, ãäå

Y

E

— ïîòîê ñêâîçü öèëèíäðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü, îõâà-

òûâàþùóþ îòðåçîê ýòîãî ïðîâîäà äëèíîé

l

. Ýòà ìíîãîçíà÷íîñòü íå èìååò

ñóùåñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, òàê êàê íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, êàê ñåé÷àñ áóäåò ïîêàçà-
íî, îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè

V

ïî êîîðäèíàòå è çíà÷åíèå ïî-

ñòîÿííîé ñëàãàþùåé ôóíêöèè íå èãðàåò ñóùåñòâåííîé ðîëè.

Óñëîâèìñÿ íàíîñèòü íà ÷åðòåæå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ òàê, ÷òîáû ïðè

ïåðåõîäå îò ëþáîé ëèíèè ê ñîñåäíåé âñåãäà ïîëó÷àòü îäíî è òî æå ïðèðàùåíèå

D

V

ôóíêöèè ïîòîêà.

Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ

U

(

x

,

y

)

=

const è

V

(

x

,

y

)

=

const îïðåäåëÿþò äâà ñå-

ìåéñòâà êðèâûõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ âñþäó ïîä ïðÿìûì óãëîì, ò. å. îáðàçóþùèõ â

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

45

Ðèñ. 24.8