Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

E

U

r

p

r

E

r

U

p

r

r

= -

=

= -

=

¶

¶

j

pe

¶

¶j

j

pe

j

2

4

1

4

3

3

cos

;

sin

.

Òàêèì îáðàçîì,

E

E

E

p

r

r

=

+

=

2

2

3

2

4

3

1

j

pe

j +

cos

.

Èòàê, ïîòåíöèàë äèïîëÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî óáûâàåò, êàê 1/

r

2

,

à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ — êàê 1/

r

3

. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé ñîâîêóïíîñòè çàðÿæåí-

íûõ òåë, çàêëþ÷åííûõ â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è èìåþùèõ ñóììàðíûé
çàðÿä, ðàâíûé íóëþ, ïîòåíöèàë óáûâàåò â áåñêîíå÷íîñòè íå ìåäëåííåå, ÷åì 1/

r

2

,

à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ — íå ìåäëåííåå, ÷åì 1/

r

3

. Ïðè ýòîì âîçìîæíî è áîëåå

áûñòðîå óáûâàíèå ïîòåíöèàëà, åñëè îñè îòäåëüíûõ äèïîëåé, íà êîòîðûå ìîæíî
ïîäðàçäåëèòü ñèñòåìó çàðÿäîâ, îðèåíòèðîâàíû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíè-
ÿõ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëÿ ýòèõ äèïîëåé îñëàáëÿþò äðóã äðóãà.

Âî âñåõ óêàçàííûõ çàäà÷àõ áûë ïðèíÿò ðàâíûì íóëþ ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî

óäàëåííûõ òî÷åê. Ýòî íå ìîæåò áûòü ñäåëàíî ïðè ðàññìîòðåíèè ïîëÿ áåñêîíå÷-
íî äëèííûõ ïðîâîäîâ, ñóììàðíûé çàðÿä êîòîðûõ îòëè÷åí îò íóëÿ. Õîòÿ ðåàëü-
íûå ïðîâîäà âñåãäà èìåþò êîíå÷íóþ äëèíó, îäíàêî ïðè èññëåäîâàíèè ïîëÿ
î÷åíü äëèííûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîëèíåéíûõ ïðîâîäîâ ÷àñòî óïðîùàþò çàäà÷ó,
äîïóñêàÿ, ÷òî ïðîâîäà èìåþò áåñêîíå÷íóþ äëèíó. Êàê óâèäèì äàëüøå, ýòèì äîñ-
òèãàåòñÿ ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå çàäà÷è. Ðàññìîòðèì óåäèíåííûé áåñêîíå÷íî
äëèííûé ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîä, ðàâíîìåðíî ïî äëèíå çàðÿæåííûé, ñ ëèíåé-
íîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà

t

. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ òàêîãî ïðîâîäà, êàê áûëî ïîëó÷å-

íî â ïåðâîé ÷àñòè, ðàâíà

E

r

= t

pe

2

.

Ïîëàãàÿ, ÷òî òî÷êà

P

, â êîòîðîé

U

=

0, óäàëåíà îò îñè ïðîâîäà íà ðàññòîÿíèå

r

P

,

ïîëó÷èì

U

r

dr

r

r

P

r

r

P

=

=

-

ò

t

pe

t
pe

2

2

(ln

ln ).

 ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïðèíÿòü

U

=

0 ïðè

r

P

=

1. Òîãäà áóäåì èìåòü

U

r

= - t

pe

2

ln .

Ïðèíÿòü æå

r

P

= ¥

íåëüçÿ, òàê êàê èíòåãðàë ïðè ýòîì òåðÿåò ñìûñë — ïîòåíöè-

àë âñþäó ïðè ëþáîì êîíå÷íîì

r

ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íûì.

Îäíàêî åñëè ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäîâ è ïðè ýòîì ñóì-

ìàðíûé çàðÿä èõ ðàâåí íóëþ, ò. å.

t = St

k

=

0, ÷òî îáû÷íî è èìååò ìåñòî â ðåàëü-

íûõ çàäà÷àõ, òî ïîòåíöèàë â áåñêîíå÷íîñòè ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ äàæå
è â òîì ñëó÷àå, åñëè óñëîâíî ðàññìàòðèâàòü ïðîâîäà êàê áåñêîíå÷íî äëèííûå.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà äâà ïðîâîäà ñ çàðÿäàìè íà åäèíèöó äëèíû

t

1

= t

è

t

2

=

–

t

.

Íà ðèñ. 24.3 îòìå÷åíû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ñ ïëîñêîñòüþ ðèñóíêà. Ïðî-

36

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

âîäà íîðìàëüíû ê ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ðàññòîÿíèå
ìåæäó ïðîâîäàìè îáîçíà÷èì ÷åðåç

d.

Äëÿ ïîòåíöèà-

ëà â òî÷êå

A

èìååì âûðàæåíèå

U

r

r

r

r

r

r

r

r

P

P

P

P

=

+

=

-

t

pe

t

pe

t
pe

t
pe

1

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

ln

ln

ln

ln

2

,

ãäå

r

1

è

r

2

— ðàññòîÿíèÿ òî÷êè

A

îò ïðîâîäîâ,

r

P

1

è

r

P

2

— ðàññòîÿíèÿ òî÷êè

P

îò ïðîâîäîâ.

Ïðè óäàëåíèè òî÷êè

P

â áåñêîíå÷íîñòü

r

P

1

®

r

P

2

è

ïåðâîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàêèì îáðàçîì,
åñëè ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî
óäàëåííûõ òî÷åê, òî íà âñåõ êîíå÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ

r

1

è

r

2

ïîòåíöèàë ïîëó÷àåòñÿ

êîíå÷íûì:

U

r

r

= - t

pe

2

1

2

ln

.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ òàêæå íà ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿ-

ùåé ïîñåðåäèíå ìåæäó ïðîâîäàìè, òàê êàê äëÿ âñåõ òî÷åê ýòîé ïëîñêîñòè

r

1

=

r

2

.

Îïðåäåëèì, êàê óáûâàåò ïîòåíöèàë íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ïðîâîäîâ.

Ïðè

r

>>

d

èìååì

r

1

/

r

2

»

1 –

d

cos

q

/

r

2

»

1 –

d

cos

q

/r

, ãäå

r

— ðàññòîÿíèå òî÷êè

A

îò

ñåðåäèíû îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî îñè ïðîâîäîâ, à

q

— óãîë ìåæäó ðàäèóñîì

r

è

ýòèì îòðåçêîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

r

>>

d

U

d

r

= -

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

t
pe

q

2

1

ln

cos

.

Ðàçëàãàÿ ëîãàðèôì â ðÿä ïî ñòåïåíÿì

d

cos

q

/

r

è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âûñ-

øèõ ïîðÿäêîâ ìàëîñòè, íàõîäèì

U

d

r

= t

q

pe

cos

.

2

Ñîñòàâëÿþùèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðè

r

>>

d

èìåþò âûðàæåíèÿ:

E

U

r

d

r

E

r

U

d

r

r

= -

=

= -

=

¶

¶

t

q

pe

¶

¶q

t

q

pe

q

cos

;

sin

,

2

1

2

2

2

è, ñëåäîâàòåëüíî,

E

E

E

d

r

r

=

+

=

2

2

2

2

q

t

pe

.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïàðû áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðîâîäîâ, èìåþùèõ ðàâíûå è

ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó çàðÿäû, ïîòåíöèàë â áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ, êàê 1/

r

, à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ — êàê 1/

r

2

. Ëþáóþ ñèñòåìó áåñêîíå÷íî

äëèííûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà êîíå÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ
äðóã îò äðóãà è èìåþùèõ ñóììàðíûé çàðÿä

St

k

, ðàâíûé íóëþ, ìîæíî ðàçäåëèòü

íà ïàðû ïðîâîäîâ ñ ðàâíûìè è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî çíàêó çàðÿäàìè. Ñëåäîâà-
òåëüíî, ïîòåíöèàë òàêîé ñèñòåìû óáûâàåò â áåñêîíå÷íîñòè íå ìåäëåííåå, ÷åì
1/

r

, à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ — íå ìåäëåííåå, ÷åì 1/

r

2

.

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

37

Ðèñ. 24.3

24.3. Îïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà

ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ çàðÿäîâ

Âûðàæåíèå ïîòåíöèàëà òî÷å÷íîãî çàðÿäà äàåò âîçìîæíîñòü óêàçàòü äëÿ îäíî-
ðîäíîé ñðåäû îáùèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëå-
íèè â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ.

Ïîäðàçäåëèâ âñå ðàñïðåäåëåííûå â ïðîñòðàíñòâå

çàðÿäû (ðèñ. 24.4) íà ýëåìåíòàðíûå ÷àñòè

dq

, áóäåì

ðàññìàòðèâàòü ýòè ýëåìåíòû

dq

êàê òî÷å÷íûå çàðÿäû.

Ïîòåíöèàë â òî÷êå

A

, îïðåäåëÿåìûé êàæäûì òàêèì

ýëåìåíòîì, ðàâåí

dU

=

1

4

e p

dq

r

. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåí-

öèàë, îïðåäåëÿåìûé âñåé ñîâîêóïíîñòüþ ðàñïðåäå-
ëåííûõ â ïðîñòðàíñòâå çàðÿäîâ, ìîæåò áûòü íàéäåí
èç ôîðìóëû

U

dq

r

dq

r

=

=

ò

ò

4

1

4

pe

pe

.

Åñëè ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàñïðåäåëåí ïî îáúåìó

V

, ïðè÷åì îáúåìíàÿ ïëîò-

íîñòü çàðÿäà â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà åñòü

r

, òî ñëåäóåò ðàçáèòü âåñü îáú-

åì íà ýëåìåíòû

dV

. Òîãäà

U

dV

r

V

=

ò

1

4

pe

r

.

Åñëè çàðÿä ðàñïðåäåëåí ëèøü â âåñüìà òîíêèõ ñëîÿõ ó ïîâåðõíîñòè çàðÿæåí-

íûõ òåë, êàê ýòî èìååò ìåñòî ó òåë èç ïðîâîäÿùåãî ìàòåðèàëà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî çàðÿä ðàñïðåäåëåí íà ïîâåðõíîñòè òåë. Ðàçáèâàÿ çàðÿæåííûå ïîâåðõíîñòè
íà ýëåìåíòû

ds

, ìîæåì íàïèñàòü

dq

= s

ds

, ãäå

s

— ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çà-

ðÿäà. Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà ïðèíèìàåò âèä

U

ds

r

s

=

ò

1

4

pe

s

,

ïðè÷åì èíòåãðàë äîëæåí áûòü ðàñïðîñòðàíåí ïî âñåì çàðÿæåííûì ïîâåðõíî-
ñòÿì. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â îáúåìàõ, çàíÿòûõ ñàìèìè çàðÿæåííûìè òåëàìè,
íàõîäèòñÿ ïðîâîäÿùàÿ ñðåäà è, ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäà âî âñåì ïðîñòðàíñòâå íåîä-
íîðîäíà, â äàííîì ñëó÷àå íåñóùåñòâåííî, òàê êàê âíóòðè ïðîâîäÿùèõ òåë ïîëå
îòñóòñòâóåò. Ìû ìîãëè áû ìûñëåííî óáðàòü ïðîâîäÿùåå âåùåñòâî òåë, çàìåíèâ
åãî äèýëåêòðèêîì ñ ïðîíèöàåìîñòüþ

e

è ñîõðàíèâ âñå ïîâåðõíîñòíûå çàðÿäû

òåë. Ïðè ýòîì ïîëå îñòàëîñü áû áåç èçìåíåíèÿ.

 ñëó÷àå êîãäà çàðÿä ðàñïðåäåëåí íà ïðîâîäàõ, äèàìåòð ñå÷åíèÿ êîòîðûõ ìàë

ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè îò ïðîâîäîâ äî òî÷åê ïîëÿ, â êîòîðûõ îïðåäåëÿåò-
ñÿ ïîòåíöèàë, ìîæíî ñ÷èòàòü çàðÿä ñîñðåäîòî÷åííûì íà îñÿõ ïðîâîäîâ. Åñëè

t

—

ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà, òî

dq

= t

dl

è

U

dl

r

l

=

ò

1

4

pe

t

,

(*)

38

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 24.4

ïðè÷åì èíòåãðàë ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü âñåõ çàðÿæåííûõ ïðîâîäîâ.

Íàêîíåö, ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå

n

çàðÿäîâ, êîòîðûå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê

òî÷å÷íûå, èìååì

U

q

r

k

k

k

k n

=

=

=

å

1

4

1

pe

.

Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå

E

=

– grad

U

, ìîæåì çàïèñàòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ

äëÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ:

E

r

E

r

E

r

=

=

=

ò

ò

ò

1

4

1

4

1

4

3

3

3

pe

r

pe

s

pe

t

r

dV

r

ds

r

dl

V

s

l

,

,

.

Çäåñü

r

—

âåêòîð, íàïðàâëåííûé îò òî÷êè ðàñïîëîæåíèÿ çàðÿäà ê òî÷êå îïðå-

äåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ðàâíûé ðàññòîÿíèþ ìåæäó íèìè.

Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî ôîðìóëàìè, ïðèâåäåííûìè â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå,

ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè çàðÿ-
äû ðàñïðåäåëåíû â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Â ÷àñòíîñòè, ôîðìóëîé (*)
ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ, åñëè äëèíà ïðîâîäîâ êîíå÷íà. Äåéñòâèòåëüíî, ýòà ôîðìóëà
îñíîâàíà íà âûðàæåíèè äëÿ ïîòåíöèàëà òî÷å÷íîãî çàðÿäà, êîòîðîå ïîëó÷åíî â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê ðàâåí íóëþ. Îäíà-
êî, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, äëÿ áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðîâîäîâ ïîòåíöèàë â
áåñêîíå÷íîñòè íå ìîæåò áûòü ïðèíÿò ðàâíûì íóëþ, òàê êàê ïðè ýòîì íà âñåõ êî-
íå÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ ïîòåíöèàë ïîëó÷èëñÿ áû áåñêîíå÷íî áîëüøèì. Ñîîòâåòñò-

âåííî è èíòåãðàë

t

dl

r

l

ò

â ïðèìåíåíèè ê áåñêîíå÷íî äëèííûì ïðîâîäàì âñþäó îá-

ðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü.

Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå îáúåìíîãî è ïîâåðõíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ

ïîòåíöèàë îñòàåòñÿ êîíå÷íûì è â òåõ òî÷êàõ, ãäå

r

èëè

s

íå ðàâíû íóëþ. Â ñëó-

÷àå æå ëèíåéíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ ïîòåíöèàë ñàìèõ çàðÿæåííûõ íèòåé,
åñëè ïðåäïîëîæèòü èõ áåñêîíå÷íî òîíêèìè, ïîëó÷àåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì.
Ïîýòîìó òî÷êè íèòåé äîëæíû áûòü èñêëþ÷åíû èç ðàññìîòðåíèÿ. Òî÷íî òàê æå
äëÿ ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ ïîòåíöèàë îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü â òî÷êàõ,
ãäå ñîñðåäîòî÷åíû çàðÿäû. Ýòè òî÷êè òàêæå äîëæíû áûòü èñêëþ÷åíû èç ðàñ-
ñìîòðåíèÿ.

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò òîëüêî îáúåìíîå ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ. Òåì íå

ìåíåå óñëîâíîå ïðåäñòàâëåíèå î ïîâåðõíîñòíîì, ëèíåéíîì èëè òî÷å÷íîì ðàñ-
ïðåäåëåíèè çàðÿäîâ âåñüìà ïîëåçíî ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷å-
ñêèõ çàäà÷.

24.4. Óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà è Ëàïëàñà

Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå

¶

¶

¶

¶

¶

¶

r

e

E

x

E

y

E

z

x

y

z

+

+

=

,

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

39

âûðàæàþùåå òåîðåìó Ãàóññà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, âìåñòî âåëè÷èí

E

x

,

E

y

è

E

z

èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåç ïîòåíöèàë:

E

U

x

E

U

y

E

U

z

x

y

z

= -

= -

= -

¶

¶

¶

¶

¶

¶

;

,

è

ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

¶
¶

¶
¶

¶

¶

r

e

2

2

2

2

2

2

U

x

U

y

U

z

+

+

= -

.

Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íîñèò íàçâàíèå ó ð à â í å í è ÿ Ï ó à ñ ñ î -

íà. Èíòåãðàë

U

dV

r

V

=

ò

1

4

pe

r

,

ïðèâåäåííûé â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
â ñëó÷àå, êîãäà çàðÿäû ðàñïðåäåëåíû â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà.

Åñëè â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà îòñóòñòâóþò îáúåìíûå ýëåê-

òðè÷åñêèå çàðÿäû, òî óðàâíåíèå Ïóàññîíà ïîëó÷àåò âèä

¶
¶

¶
¶

¶

¶

2

2

2

2

2

2

0

U

x

U

y

U

z

+

+

=

è íàçûâàåòñÿ â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ó ð à â í å í è å ì Ë à ï ë à ñ à. Ýëåêòðîñòàòè-
÷åñêîå ïîëå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà.

Ëåâûå ÷àñòè óðàâíåíèé Ïóàññîíà è Ëàïëàñà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàñõîæäå-

íèå ãðàäèåíòà ïîòåíöèàëà è ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå, íå çàâèñÿùåé îò âû-
áîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò:

div grad

div grad

U

U

= -

=

r

e

;

.

0

Íåðåäêî ìîæíî âñòðåòèòü çàïèñü ëåâîé ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ

ñèìâîëè÷åñêîãî îïåðàòîðà â âèäå

Ñ

2

U.

Äåéñòâèòåëüíî,

Ñ =

+

+

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

+

+

2

2

2

2

2

2

2

2

i

j

k

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

x

y

z

x

y

z

è, ñëåäîâàòåëüíî,

Ñ

=

+

+

2

2

2

2

2

2

2

U

U

x

U

y

U

z

¶
¶

¶
¶

¶

¶

.

Îïåðàòîð

Ñ

2

÷àñòî îáîçíà÷àþò

D

è íàçûâàþò îïåðàòîðîì Ëàïëàñà èëè ëàïëà-

ñèàíîì. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà è Ëàïëàñà ìîãóò áûòü íàïèñàíû
òàêæå â âèäå

Ñ

= -

= -

Ñ

=

=

2

2

0

0

U

U

U

U

r

e

r

e

èëè

èëè

D

D

;

.

40

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ