Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè ðàññ÷èòûâàåìûõ âå-
ëè÷èí (íàïðÿæåííîñòåé

Å

,

Í

ïîëÿ, ïîòåíöèàëîâ

U

è äðóãèõ); ÷èñëåííûå ìåòîäû,

ïðè êîòîðûõ èñêîìûå âåëè÷èíû îòûñêèâàþòñÿ â êîíå÷íåé ñîâîêóïíîñòè òî÷åê,
íàçûâàåìûõ óçëàìè, ïðè ïîìîùè êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé; ìåòîäû ïðåä-
ñòàâëåíèÿ èñõîäíûõ óðàâíåíèé ïîëÿ â âèäå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé è ìåòîäû
ôèçè÷åñêîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.

Ãëàâà 23. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

31

Ãëàâà äâàäöàòü ÷åòâåðòàÿ

Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

24.1. Áåçâèõðåâîé õàðàêòåð ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.

Ãðàäèåíò ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà

Îñíîâíîé çàäà÷åé íàñòîÿùåé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ìåòîäîâ ðàñ÷åòà
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, ò. å. ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñèñòåìû íåïîäâèæíûõ îò-
íîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ çàðÿæåííûõ òåë ïðè îòñóòñòâèè ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ.
Åñëè â ñèñòåìå íåò íàìàãíè÷åííûõ òåë, òî ìàãíèòíîå ïîëå îòñóòñòâóåò. Ñëåäîâà-
òåëüíî, âñþäó

J

=

=

=

0

0

0

;

;

.

B

H

Íàëè÷èå â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñâîáîäíûõ ðàñïðåäåëåííûõ â îáúåìå çàðÿäîâ

ïðèâåëî áû ê âîçíèêíîâåíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî

J

=

0, âåäåò ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî âñþäó

r =

0. Ìîãóò áûòü òîëüêî çàðÿäû, ðàñïðåäå-

ëåííûå ïî ïîâåðõíîñòÿì çàðÿæåííûõ òåë.

Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îñòàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñîâî-

êóïíîñòü:

rot

;

;

div

E

D

E

D

=

=

=

0

0

.

e

Óñëîâèå rot

E

=

0 ñâèäåòåëüñòâóåò, ÷òî

ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå èìååò áåç-

âèõðåâîé õàðàêòåð.

Ïîëå, óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìó óñëîâèþ, íàçûâàþò áåçâèõðå-

âûì. Ñîãëàñíî òåîðåìå Ñòîêñà, äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà èìååì

E l

E s

d

d

.

l

s

ò

ò

=

=

rot

0

Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå rot

E

=

0 âûðàæàåò â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ðàíåå

âûñêàçàííîå âàæíîå ïîëîæåíèå: â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ëèíåéíûé èíòåãðàë
âåêòîðà

E

âäîëü ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà ðàâåí íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî â ýëåê-

òðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ëèíåéíûé èíòåãðàë âåêòîðà

E

, âçÿòûé îò òî÷êè

A

äî òî÷êè

B

, íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ â çà-

äàííîì ïîëå ïîëîæåíèåì òî÷åê

À

è

Â.

Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äàëî íàì âîçìîæíîñòü

ââåñòè ïîíÿòèå î ïîòåíöèàëå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòà-
òè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå

A

ìû îïðåäåëèëè êàê ëèíåéíûé èíòåãðàë âåêòîðà

E

, âçÿ-

òûé îò òî÷êè

A

äî íåêîòîðîé çàäàííîé òî÷êè

P

, ò. å.

U

d

A

A

P

=

ò

E l

. Ïîòåíöèàë â òî÷-

êå

P

ðàâåí íóëþ. Ëèíåéíûé èíòåãðàë âåêòîðà

E

âäîëü íåêîòîðîãî ïóòè îò òî÷êè

A

äî òî÷êè

B

åñòü ðàçíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ â òî÷êàõ

A

è

B

:

E l

d

U

U .

A

P

A

B

ò

=

-

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è èçìåíåíèåì

ïîòåíöèàëà â ïðîñòðàíñòâå. Äîïóñòèì, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè

A

, â êîòîðîé ðàñ-

ñìàòðèâàåì ïîòåíöèàë

U

, îïðåäåëÿåòñÿ åå ðàññòîÿíèåì

l

îò íà÷àëüíîé òî÷êè

O

âäîëü íåêîòîðîãî ïóòè (ðèñ. 24.1), èäóùåãî â òî÷êó

P

, ãäå ïîòåíöèàë ïðèíÿò ðàâíûì íóëþ. Âûðàæåíèå

äëÿ ïîòåíöèàëà ïðè ýòîì ìîæíî íàïèñàòü â âèäå

U

d

d

l

l

l

l

P

P

=

=

ò

ò

E l

E

l

cos

,

a

ïðè÷åì

l

P

— äëèíà âñåãî ïóòè îò òî÷êè

O

äî òî÷êè

P

;

a

— óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì âåêòîðà

E

è êàñà-

òåëüíîé ê ïóòè.

Âçÿâ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ îò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà ïî íèæíåìó ïðåäåëó,

íàéäåì

¶

¶

,

U

l

E

a

= -

cos

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðèðàùåíèå ïîòåíöèàëà, ðàññ÷èòàííîå íà åäèíèöó ïåðåìå-
ùåíèÿ â êàêîì-ëèáî íàïðàâëåíèè, ÷èñëåííî ðàâíî âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì ñî-
ñòàâëÿþùåé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè.

 ÷àñòíîñòè, â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ èìååì

¶

¶

¶

¶

¶

¶

U

x

E

U

y

E

U

z

E .

x

y

z

= -

= -

= -

;

;

Åñëè íàïðàâëåíèå ïåðåìåùåíèÿ

dl

ñîñòàâëÿåò ïðÿìîé óãîë (

a = p

/2) ñ âåêòî-

ðîì

E

, òî cos

a =

0 è

¶

U

/

¶

l

=

0. Ñëåäîâàòåëüíî, ìûñëåííî ïåðåìåùàÿñü â íàïðàâ-

ëåíèè, íîðìàëüíîì ê íàïðàâëåíèþ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, áóäåì èìåòü

U

=

const, ò. å. áóäåì îñòàâàòüñÿ

íà ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà

.

Ëèíèè íà-

ïðÿæåííîñòè ïîëÿ íîðìàëüíû ê ïîâåðõíîñòÿì ðàâíîãî ïîòåíöèàëà

. Óðàâíåíèå

U

(

x

,

y

,

z

)

=

const îïðåäåëÿåò ñîâîêóïíîñòü òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïîâåðõíîñòè ðàâíî-

ãî ïîòåíöèàëà, ò. å. ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ñëåäû ïîâåðõíîñòåé
ðàâíîãî ïîòåíöèàëà â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà íàçûâàþò ë è í è ÿ ì è ð à â í î ã î ï î -
ò å í ö è à ë à. Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ïåðåñåêàþòñÿ ñ ëèíèÿìè íàïðÿæåííî-
ñòè ïîëÿ âñþäó ïîä ïðÿìûì óãëîì.

Ñîâìåùàÿ íàïðàâëåíèå ïåðåìåùåíèÿ

dl

ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà

E

, áóäåì

èìåòü

a

a

¶

¶

=

=

= -

0

1

;

cos

;

U

t

E.

Ýòî õàðàêòåðíîå íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî

ïîòåíöèàëà. Ïîýòîìó óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü ïåðåìåùåíèå

dl

â ýòîì íàïðàâëåíèè

÷åðåç

dn

, â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷åì íàïèøåì:

¶

¶

U

n

E

= -

.

Î÷åâèäíî,

dn

åñòü ýëåìåíò äëèíû ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, ïðè÷åì êîîð-

äèíàòó

n

ñ÷èòàåì ðàñòóùåé â íàïðàâëåíèè âåêòîðà

E

.

Ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëà ïî êîîðäèíàòå èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå â íà-

ïðàâëåíèè, íîðìàëüíîì ê ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà è ïðîòèâîïîëîæíîì

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

33

Ðèñ. 24.1

íàïðàâëåíèþ âåêòîðà

E

. Ýòî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ìîæåò áûòü èçî-

áðàæåíî âåêòîðîì, íàïðàâëåííûì ïðîòèâ âåêòîðà

E

è íîñÿùèì íàçâàíèå ã ð à -

ä è å í ò à ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê î ã î ï î ò å í ö è à ë à. Åãî îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì
grad

U.

Ãðàäèåíò ïîòåíöèàëà ðàâåí ïðèðàùåíèþ ïîòåíöèàëà

,

îòíåñåííîìó ê åäèíèöå

äëèíû è âçÿòîìó â íàïðàâëåíèè

,

â êîòîðîì ýòî ïðèðàùåíèå èìååò íàèáîëüøåå

çíà÷åíèå

:

grad

U

U

n

.

= ¶

¶

Âåêòîðû

E

è grad

U

ðàâíû ìåæäó ñîáîé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíû â ïðîòèâî-

ïîëîæíûå ñòîðîíû:

grad

U

.

= -

E

Ñîñòàâëÿþùèå ãðàäèåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ïî îñÿì â äåêàðòîâîé

ñèñòåìå êîîðäèíàò ñóòü

¶

¶

U

x

,

¶

¶

U

y

,

¶

¶

U

z

. Ñëåäîâàòåëüíî,

grad

U

U

x

U

y

U

z

=

+

+

i

j

k

¶

¶

¶

¶

¶

¶

.

Ãðàäèåíò ïîòåíöèàëà ìîæåò áûòü îáîçíà÷åí ïðè ïîìîùè ñèìâîëè÷åñêîãî

îïåðàòîðà

Ñ

(çíàê «íàáëà») â âèäå

Ñ

U.

Ïðè ýòîì

Ñ

U

ôîðìàëüíî ìîæíî ðàññìàò-

ðèâàòü êàê ïðîèçâåäåíèå ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà

Ñ

íà ñêàëÿð

U.

 äåêàðòîâûõ

êîîðäèíàòàõ èìååì

Ñ =

+

+

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

+

+

=

U

x

y

z

U

U

x

U

y

U

z

U

i

j

k

i

j

k

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

grad

.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî

E

=

– grad

U

ìîæåò áûòü íàïèñàíî â ôîðìå

E

= -Ñ

U.

Çíàê ìèíóñ â ýòîì ðàâåíñòâå óêàçûâàåò, ÷òî ïîòåíöèàë óáûâàåò â íàïðàâëå-

íèè ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îïðåäåëåíèÿ ïîòåí-
öèàëà êàê ëèíåéíîãî èíòåãðàëà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, âçÿòîãî îò
ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè

A

äî çàäàííîé òî÷êè

P

, â êîòîðîé

U

=

0. Òàêîå îïðåäåëå-

íèå öåëåñîîáðàçíî, òàê êàê ïðè ýòîì ïîòåíöèàë ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî òåëà
îêàçûâàåòñÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíûì ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäà-
ëåííûõ òî÷åê ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.

Âñå ñêàçàííîå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî âñÿêîå

áåçâèõðåâîå ïîëå åñòü ïîëå

ïîòåíöèàëüíîå

, ò. å. òàêîå, êîòîðîå ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíî ïîòåíöèàëüíîé

ôóíêöèåé

U

(

x

,

y

,

z

)

.

Îáðàòíî, âñÿêîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðåâûì, ÷òî âûòåêàåò èç

òîæäåñòâà rot grad

U

=

0. Äåéñòâèòåëüíî,

rot grad

grad

grad

x

z

y

U

y

U

z

U

y

U

z

z

=

-

=

æ
è

ç

ö
ø

÷ -

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

U

y

.

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

0

34

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Àíàëîãè÷íî rot

y

grad

U

=

0 è rot

z

grad

U

=

0. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî äëÿ çà-

äàííîãî ïîëÿ ïîòåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿí-
íîé, çàâèñÿùåé îò âûáîðà òîé òî÷êè, ãäå ïðèíèìàåòñÿ

U

=

0

.

24.2. Óáûâàíèå ïîòåíöèàëà è íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ

íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåë

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñóùåñòâåííî çíàòü, êàê èçìåíÿåòñÿ ïîòåíöèàë ïðè óäàëåíèè
íà âåñüìà áîëüøîå ðàññòîÿíèå îò ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåë.

Ïðîñòåéøèå ñëó÷àè áûëè ðàññìîòðåíû â ïåðâîé ÷àñòè. Òàê, íàïðÿæåííîñòü

ïîëÿ è ïîòåíöèàë óåäèíåííîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà

q

íà ðàññòîÿíèè

r

îò íåãî â îä-

íîðîäíîé è èçîòðîïíîé ñðåäå ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû

E

q

r

U

q

r

=

=

1

4

1

4

2

e p

e p

;

,

ïðè÷åì ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì íóëþ ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê.

Ëþáàÿ ñèñòåìà çàðÿæåííûõ òåë ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ñóììàðíûì çàðÿäîì, ðàñ-

ïîëîæåííûõ â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íà ðàñ-
ñòîÿíèÿõ, âåñüìà áîëüøèõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ýòîé îáëàñòè, êàê òî÷å÷-
íûé çàðÿä. Ïîýòîìó ïðè òàêèõ âåñüìà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ áóäóò ñïðàâåäëèâû
ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîñëåäíèå ôîðìóëû, ïðè÷åì

q

—

îáùèé çàðÿä ñèñòåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåë, ðàñ-
ïîëîæåííûõ â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è èìåþùèõ ñóììàðíûé çàðÿä, îò-
ëè÷íûé îò íóëÿ, ïîòåíöèàë ñòðåìèòñÿ ê íóëþ â áåñêîíå÷íîñòè êàê 1/

r

è íàïðÿ-

æåííîñòü ïîëÿ — êàê 1/

r

2

.

 òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóììà çàðÿäîâ âñåõ òåë, îáðàçóþùèõ ñèñòåìó, ðàâíà íóëþ,

ïîòåíöèàë óáûâàåò â áåñêîíå÷íîñòè åùå áûñòðåå. Òàêóþ ñèñòåìó ìîæíî ïîäðàç-
äåëèòü íà äèïîëè, òàê êàê äëÿ êàæäîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà

dq

1

ìîæíî ïîäîá-

ðàòü â ñèñòåìå ðàâíûé åìó ïî çíà÷åíèþ îòðèöàòåëüíûé

dq

2

. Ïîòåíöèàë äèïîëÿ

íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ

r

îò íåãî âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

U

qd

r

p

r

=

=

cos

cos

,

j

pe

j

pe

4

4

2

2

ãäå

p

=

qd

— ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò äèïîëÿ;

j

— óãîë ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðîì

r

è îñüþ äèïîëÿ, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòî-
ðîé ïðèíèìàåì îò îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà ê ïîëî-
æèòåëüíîìó (ðèñ. 24.2).

Çàìåòèì, ÷òî ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ íå òîëüêî

â áåñêîíå÷íîñòè, íî è âî âñåõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè,
íîðìàëüíîé ê îñè äèïîëÿ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
ñåðåäèíó îñè äèïîëÿ, òàê êàê äëÿ ýòîé ïëîñêîñòè
cos

j =

0.

Ñîñòàâëÿþùèå

Å

r

è

Å

j

íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ

âäîëü ðàäèóñà

r

è ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè

ðàäèóñà

r

â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü äè-

ïîëÿ, îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

35

Ðèñ. 24.2