Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

ïîëó÷èì

f u

r g

'

( )

2

1

2

1

= - -

ä

ä

è

u

u

E u

f f u

g r

k

k

k

k

k

k

2

1

2

2

1

4

2

2 1

1

+

=

+ -

-

+

[ ( )] ,

ä

ä

ãäå

r

k

ä

1

è

g

k

ä

2

— äèôôåðåíöèàëüíûå ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü, ñîîòâåòñòâåí-

íî, ïåðâîãî è âòîðîãî íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ íà

k

-ì øàãå èòåðàöèè.

Ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå íåëèíåéíûõ öåïåé ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá

ïðåäñòàâëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, îêàçûâàþùèõ âëèÿíèå

íà òî÷íîñòü è ñâîéñòâà ðåøåíèÿ. Ïðèìåíåíèå òàêèõ ìåòîäîâ àïïðîêñèìàöèè

íåëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê, êàê ìåòîäû Ëàãðàíæà è Íüþòîíà, íå ïðèâîäèò

ê óâåëè÷åíèþ òî÷íîñòè ïðè ðîñòå ÷èñëà òî÷åê, êîãäà íàõîäÿò êîýôôèöèåíòû

ïîëèíîìà, îïèñûâàþùåãî íåëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó âî âñåì äèàïàçîíå èç-

ìåíåíèÿ àðãóìåíòà. Ëó÷øèå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ðàçáèåíèè íåëè-

íåéíîé õàðàêòåðèñòèêè íà ó÷àñòêè ñ åå ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèåé íà ó÷à-

ñòêàõ.

Ïðè êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûå

¢ =

y

S

n

n

(

n

=

1, 2, ...,

N

)

íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ ðàçðûâíû, ÷òî ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ íåäîïóñòèìî. Ïðè-

ìåíåíèå ïîëèíîìîâ, ïîðÿäîê êîòîðûõ ïðåâûøàåò åäèíèöó, ïîçâîëÿåò îáåñïå-

÷èòü íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíûõ çàäàííîãî ïîðÿäêà. Òàê,

ïðè èñïîëüçîâàíèè êóáè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ

y

(

x

)

=

a

0

+

a

1

x

+

a

2

x

2

+

a

3

x

3

íåïðåðûâ-

íûìè áóäóò íå òîëüêî ôóíêöèÿ

y

(

x

), íî è åå ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïðîèçâîäíûå.

Çàïèñûâàÿ íåëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó íà

n

-ì ó÷àñòêå â âèäå

f x

y

S x x

y

y

h

S

S

h

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

( )

(

)

(

=

+

-

+

-

-

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

+

+

3

2

1

2

1

-

+

+ -

-

+

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ -

=

+

+

x

y

y

h

S

S

h

x x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

)

(

) ,

,

2

1

2

1

2

2

1

K

, ,

N h

x

x

n

n

n

=

-

+

1

è èñïîëüçóÿ óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ïåðâîé

y

¢

(

x

) è âòîðîé

y

²

(

x

) ïðîèçâîä-

íûõ íà îáùèõ ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ, ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

(

n

=

1, ...,

N

)

h S

h

h

S

h S

h y

y

h

h

n

n

n

n

n

n n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

-

+

1

1

1

2

2

1

1

1

2

3

(

)

y

y

h

n

n

n

+

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

1

îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí

S

n

. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî çàäàòü çíà÷åíèÿ

S

n

ïðè

n

=

1 è

n

=

N

+ 1, êîòîðûå ìîæíî îïðåäåëèòü ïðèáëèæåííî èç èñõîäíîé

íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè

y

(

x

).

Ðàññìîòðåííûé ïîäõîä íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà àïïðîêñèìàöèè ñ ïîìîùüþ

ñïëàéí-ôóíêöèé. Íàðÿäó ñ êóáè÷åñêèìè íàõîäÿò ïðèìåíåíèå òàêæå ñïëàéí-

ôóíêöèè äðóãèõ ïîðÿäêîâ.

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

383

20.8. Ñîñòàâëåíèå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà

ïðè óñëîâèè îáåñïå÷åíèÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ

Ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíîé íåëèíåéíîé öåïè âñåãäà áóäåò ñòîÿòü âîïðîñ, åäèíñòâåííî

ëè ïîëó÷åííîå ÷èñëåííîå ðåøåíèå èëè ñóùåñòâóþò è äðóãèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå

äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ïóòåì çàäàíèÿ äðóãèõ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Åñëè

çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî â äàííîé öåïè âîçìîæíî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî íåîáõî-

äèìîñòü òàêîãî ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ îòïàäàåò. Ýòî — î÷åíü âàæíîå îáñòîÿ-

òåëüñòâî ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêîíîìèè âðåìåíè ðàñ÷åòà, òàê êàê ïîëó÷åíèå ïîëíîãî

íàáîðà ðåøåíèé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè ïðè ïîìîùè ÝÂÌ — è â íàñòîÿùåå âðåìÿ òðóäíîðåøàåìàÿ çàäà÷à.

Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé öåïè âîçìîæíà, åñëè íàëîæèòü

îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ÂÀÕ ýëåìåíòîâ è íà âûáîð äåðåâà ãðàôà ñõåìû.

Åñëè öåïü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò ñ íåóïðàâëÿåìîé ÂÀÕ, òî äëÿ òàêîé

öåïè íåâîçìîæíà åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó îòñóòñòâèå ýëåìåíòîâ ñ íå-

óïðàâëÿåìûìè ÂÀÕ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñò-

âåííîñòè ðåøåíèÿ.

Ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèé àïïàðàò ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü òîêè â îáîáùåí-

íûõ âåòâÿõ äåðåâà ÷åðåç òîêè ñâÿçåé è íàïðÿæåíèÿ ñâÿçåé ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ

îáîáùåííûõ âåòâåé äåðåâà ïðè ïîìîùè ñîîòíîøåíèé (ñì. § 3.16, ò. I)

~

i

â

=

~

i

ä

=

F

t

~

~

i

u

ñ

â

è

=

~

u

ä

=

1

~

u

ä

.

~

i

ñ

1

~

u

ñ

–

F

Çäåñü ~

i

â

, ~

i

ä

, ~

i

ñ

, ~

u

â

, ~

u

ä

, ~

u

ñ

—ìàòðèöû-ñòîëáöû, ñîîòâåòñòâåííî, òîêîâ è íàïðÿæå-

íèé îáîáùåííûõ âåòâåé öåïè, âåòâåé äåðåâà è ñâÿçåé ãðàôà. Òàêèì îáðàçîì,

~

~

~

~ .

i

F i

u

Fu

ä

ñ

ñ

ä

è

=

= -

t

Åñëè ÂÀÕ ýëåìåíòà óïðàâëÿåìà òîêîì, òî òàêîé ýëåìåíò â òîïîëîãè÷åñêîé

ñõåìå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òîëüêî êàê âåòâü äåðåâà, íàïðÿæåíèå êîòîðîé îä-

íîçíà÷íî îïðåäåëèòñÿ òîêàìè ñâÿçåé. Åñëè ÂÀÕ ýëåìåíòà óïðàâëÿåìà íàïðÿæå-

íèåì, òî òàêîé ýëåìåíò â òîïîëîãè÷åñêîé ñõåìå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òîëüêî

êàê ñâÿçü, òîê â êîòîðîé îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòñÿ íàïðÿæåíèåì âåòâåé äåðåâà.

Ñìûñë ýòèõ îãðàíè÷åíèé äîâîëüíî ïðîñòî ïîíÿòü, åñëè ðàññìîòðåòü äâà îïðåäå-

ëåííûõ ñëó÷àÿ.

Åñëè âî âñåõ âåòâÿõ äåðåâà èìåþòñÿ òîëüêî èñòî÷íèêè ÝÄÑ, òî íàïðÿæåíèÿ

ñâÿçåé áóäóò çàäàíû ýòèìè ÝÄÑ. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü îáåñïå-

÷åíà, åñëè ÂÀÕ ýëåìåíòîâ òàêîâû, ÷òî òîêè â ñâÿçÿõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ

÷åðåç íàïðÿæåíèÿ, ò. å. êîãäà ÂÀÕ óïðàâëÿåìû íàïðÿæåíèåì. Åñëè æå âî âñåõ

ñâÿçÿõ èìåþòñÿ òîëüêî èñòî÷íèêè òîêà, òî òîêè â âåòâÿõ äåðåâà áóäóò çàäàíû òî-

êàìè èñòî÷íèêîâ. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü îáåñïå÷åíà, åñëè ÂÀÕ

ýëåìåíòîâ òàêîâû, ÷òî íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷å-

ðåç òîêè âåòâåé, ò. å. êîãäà ÂÀÕ óïðàâëÿåìû òîêîì. Òàêèì îáðàçîì, òîêè â ñâÿçÿõ

åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà, à íàïðÿ-

384

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

æåíèÿ âåòâåé äåðåâà — ÷åðåç òîêè ñâÿçåé. Òàêàÿ âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü ïîçâî-

ëèò, íàïðèìåð, ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé îïðåäåëèòü èñêîìûå

òîêè â ñâÿçÿõ è íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà. Ñëåäîâàòåëüíî, êîíôèãóðàöèÿ èñ-

õîäíîé öåïè è ÂÀÕ ýëåìåíòîâ ýòîé öåïè ñóæàþò ñâîáîäó âûáîðà äåðåâà ãðàôà.

Ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè òîêîì ÂÀÕ ñ ñàìîãî íà÷àëà ïîñòðîåíèÿ äåðåâà ãðàôà

äîëæíû áûòü îòíåñåíû ê âåòâÿì äåðåâà, à ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè íàïðÿæå-

íèåì ÂÀÕ — ê ñâÿçÿì ãðàôà.

Ýëåìåíòû ñ ìîíîòîííûìè ÂÀÕ, è â ÷àñòíîì ñëó÷àå ñ ëèíåéíûìè ÂÀÕ, ìîãóò

âîéòè è â ñîñòàâ äåðåâà ãðàôà, è â ñâÿçè ãðàôà. Òàêèå ÂÀÕ óïðàâëÿåìû è òîêîì,

è íàïðÿæåíèåì.

Âîçíèêàåò âîïðîñ î ìèíèìàëüíîì ÷èñëå èñêîìûõ âåëè÷èí è î ôîðìå çàïèñè

óðàâíåíèé íåëèíåéíûõ öåïåé. Äëÿ öåïè ñ

p

âåòâÿìè, êàê ïðàâèëî, äîëæíû áûòü

çàäàíû

ð

ÂÀÕ ýëåìåíòîâ âåòâåé. Â îáùåì ñëó÷àå íåèçâåñòíû

p

íàïðÿæåíèé è

p

òîêîâ â âåòâÿõ. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî óðàâíåíèé äîëæíî áûòü ðàâíî

p

, êàê è â

ëèíåéíûõ öåïÿõ, ÷òî ñîâìåñòíî ñ

p

ÂÀÕ äàñò ñèñòåìó èç 2

p

óðàâíåíèé. Ìàòðè÷-

íûå óðàâíåíèÿ ~

~

i

F i

ä

ñ

=

t

è ~

~

u

Fu

ñ

ä

= -

îïðåäåëÿþò

q

– 1 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé äëÿ

òîêîâ â

q

– 1 ñå÷åíèÿõ è

n

ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ, ò. å. âñåãî

p

ñêà-

ëÿðíûõ óðàâíåíèé.

Ïóñòü

q

– 1 âåòâåé, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè òîêîì ÂÀÕ, ñî-

ñòàâëÿþò äåðåâî ãðàôà è

n

âåòâåé, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè íà-

ïðÿæåíèåì ÂÀÕ, — ñâÿçè ãðàôà. Îáîçíà÷èì íàïðÿæåíèÿ è òîêè âåòâåé äåðåâà

÷åðåç

u

ä

k

è

i

ä

k

, ïðè÷åì

k

=

1... (

q

– 1). Íàïðÿæåíèÿ è òîêè ñâÿçåé îáîçíà÷èì ÷åðåç

u

ñ

j

è

i

ñ

j

, ïðè÷åì

j

=

q

¸

p

. Òîãäà áóäåì èìåòü

q

– 1 ÂÀÕ âèäà

u

ä

k

=

f

k

(

i

ä

k

)

=

R

k

(

i

ä

k

)

è

ï

=

ð

–

q

+ 1 ÂÀÕ âèäà

i

ñ

j

= j

j

(

i

ñ

j

)

=

G

j

(

u

ñ

j

). Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûìè âåëè÷è-

íàìè äîëæíû áûòü

q

– 1 íàïðÿæåíèé âåòâåé äåðåâà è

ï

òîêîâ ñâÿçåé, êîòîðûå

îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñëåäóþùèì ìàòðè÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:

u

f i

R i

i

u

G u

ä

=

=

=

=

( )

( )

( )

( ),

ä

ä

c

c

c

è

jj

ãäå

u

R i

ä

ä1

ä2

ä 1

1

[

=

=

-

-

colon

colon

ä

( ,

, ,

);

( )

( ), ,

u u

u

f i

f

K

K

q

q

1

1

1

1

1

1

ñ

c

[

( )]

( ), ,

( )];

( ,

i

R i

R

i

i

q

q

q

q

-

-

-

=

=

colon

colon

1

K

K

i

, );

( )

( ), , ( )]

( ), ,

i

u

u

G u

c

ñ

[

[

p

q

q

p

p

q

q

G u

=

=

colon

colon

j

j

K

K

G u

p

p

( )].

 ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿõ ñèìâîëû

R

(

i

) è

G

(

u

) îáîçíà÷àþò íåëèíåéíûå ìàò-

ðè÷íûå ôóíêöèè, è íå ñëåäóåò äåëàòü îøèáêó, ïðèíèìàÿ èõ çà ìàòðèöû ñîïðî-

òèâëåíèé è ïðîâîäèìîñòåé.

Èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ îáîáùåííûõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ñóùåñòâóþò (ñì. § 3.12,

ò. I) ñîîòíîøåíèÿ:

~

~

,

i i

u u E

= + ÁÁ

= -

è

ïîëó÷èì

i

F i

F

u

E

Fu

FE

ä

ä

ñ

ñ

ñ

ñ

ä

ä

+ ÁÁ =

+ ÁÁ

-

= -

+

t

t

;

èëè

i

F i

D

u

Fu

CE

ä

ñ

ñ

ä

=

- ÁÁ

= -

+

t

;

;

u

f i

R i

i

u

G u

ä

=

=

=

=

( )

( )

( )

( ),

ä

ä

c

c

c

è

jj

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

385

Çäåñü

i

è

u

— ìàòðèöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé ýëåìåíòîâ öåïè.

Äëÿ ïðèìåíåíèÿ èòåðàöèîííîãî ìåòîäà èëè ìåòîäà Íüþòîíà ýòè âûðàæåíèÿ

äîëæíû áûòü ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâåííî ê âèäó

x

=

f

(

x

) èëè

f

(

x

)

=

0, íî òîëüêî

â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Õîä ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðèìåðå

îòûñêàíèÿ èòåðàöèîííîé ôîðìóëû äëÿ

i

ä

. Èìååì

i

F i

D

F G u

D

F G Fu

CE

D

F G

ä

ñ

=

- ÁÁ =

- ÁÁ =

-

+

- ÁÁ =

=

t

t

t

t

[ ( )]

[ (

)]

[

ñ

ä

(

( )

)]

.

-

+

- ÁÁ

FR i

CE

D

ä

Ìû âûðàçèëè

i

ä

÷åðåç ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ îò

i

ä

, ò. å. ïîëó÷èëè âûðàæåíèå,

ïðèãîäíîå äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè

âûðàæåíèÿ

i

G F R F i

D

CE u

F

F G u

ñ

ñ

ñ

ñ

=

-

-

Á

Á +

= -

- Á

Á +

{ [ (

)]

};

{ [

( )

]}

;

t

t

R

D

CE

u

R F G Fu

CE

ä

ä

=

-

+

- ÁÁ

{ [ (

)]

}.

t

D

Çàìåòèì, ÷òî íåëèíåéíûå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñè-

òåëüíî ëþáîé ìàòðè÷íîé âåëè÷èíû, è, òàêèì îáðàçîì, îáùåå ÷èñëî ñêàëÿðíûõ

óðàâíåíèé ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü ëèáî

q

– 1, ëèáî

n.

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïî-

ñêîëüêó ôóíêöèè

G

(

u

) è

R

(

i

) óïðàâëÿåìû, ñîîòâåòñòâåííî, íàïðÿæåíèåì è òî-

êîì, òî âî âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå âûðàæåíèÿõ ïðàâûå ÷àñòè îäíîçíà÷íî îïðå-

äåëÿþò ëåâûå. Ïåðåíîñîì âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèé â ëåâóþ îò çíàêà ðàâåíñòâà

ñòîðîíó ïîëó÷èì âûðàæåíèå, ïðèãîäíîå äëÿ ìåòîäà Íüþòîíà:

Ô

(

õ

)

=

0. Ôîð-

ìàëüíî äëÿ ìàòðè÷íûõ âåëè÷èí ìîæåì çàïèñàòü èòåðàöèîííóþ ïðîöåäóðó ñî-

ãëàñíî ìåòîäó Íüþòîíà â ñëåäóþùåé ôîðìå:

x

x

Ô x

Ô x

k

k

k

k

+

-

=

-

¢

1

1

[ ( )]

( ).

Çäåñü

x

k

— ñòîëáöîâàÿ ìàòðèöà, âåðõíèé èíäåêñ ó êîòîðîé ïîêàçûâàåò øàã èòå-

ðàöèè;

Ô

¢

(

õ

) — ìàòðè÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìàòðèöû-ñòîëáöà

Ô

(

õ

).

Ôîðìàëüíî ìîæíî çàïèñàòü

¢

=

Ô x

Ô

x

( )

.

¶

¶

Ïóñòü

Ô

(

õ

)

=

colon (

j

1

,

j

2

, ...,

j

n

). Òîãäà

¢

=

Ô x

( )

. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .

¶j

¶

¶j
¶

¶j
¶

¶

1

1

1

2

1

x

x

x

K

n

j

¶

¶j

¶

¶j

¶

n

n

n

n

x

x

x

1

2

K

.

Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó, ñîñòîÿùóþ èç

n

ñòðîê è

n

ñòîëáöîâ, ýëåìåíòû êîòîðîé

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

j

i

ïî ñîñòàâëÿþùèì

x

j

, íàçûâàþò ìàò-

ðèöåé ßêîáè. Âåëè÷èíà [

Ô

¢

(

x

)]

–1

åñòü îáðàòíàÿ ìàòðèöà ßêîáè, êîòîðàÿ ñóùåñò-

âóåò ïðè óñëîâèè íåðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ßêîáè.

386

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðè÷åñêèì öåïÿì äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà

õ

=

i

ñ

, ò. å. äëÿ òîêîâ

â ñâÿçÿõ, èìååì

Ô x

G F R F i

D

CE

i

( )

{ [ (

)]

}

;

=

-

-

Á

Á +

-

=

t

ñ

ñ

0

i

x

ñ

= =

colon( ,

, , ).

i i

i

q

q+

p

1

K

Ïî ïðàâèëàì ôîðìàëüíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èìååì

¢

=

=

-

-

Ô x

Ô

i

G u

u

F

R i

i

F

( )

( ) ( ) ( )( ) .

¶

¶

¶

¶

¶

¶

ñ

ñ

ñ

ä

ä

t

1

Âûðàæåíèÿ

¶

¶

G u

u

( )

ñ

ñ

è

¶

¶

R i

i

( )

ä

ä

îïðåäåëÿþò íåêîòîðûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû,

èìåþùèå ðàçìåðíîñòè ïðîâîäèìîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ. Åñëè

G u

G u

u

( )

( )

( )

,

( )

ñ

ñ

ñ

=

=

G u

G u

i

u

i

u

i

q

q

p

p

q

q

q

p

p

M

K

M

M

òî

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

u

i

u

g

g

q

p

p

q

q

K

=

+

0

0

0

0

0

0

1

. . . .

. .

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

. . . .

,

0

g

p

=

g

ñ

ãäå

g

q

, ...,

g

p

— äèôôåðåíöèàëüíûå ïðîâîäèìîñòè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ñâÿçåé

q

...

p.

Ýòà ïîñëåäíÿÿ ìàòðèöà äèàãîíàëüíà, òàê êàê òîê êàæäîé ñâÿçè îïðåäåëÿåò-

ñÿ íàïðÿæåíèåì èìåííî ýòîé ñâÿçè, è ïîýòîìó

äi

s

/

äu

j

=

0, åñëè

s

¹

j.

Ñëåäîâàòåëü-

íî, â ìåòîäå Íüþòîíà áóäåì èìåòü

i

i

g Fr F

G F R F i

D

CE

i

ñ

+1

ñ

ñ

ä

ñ

k

k

k

k

t

t k

=

+

+

-

- Á

Á +

-

-

[

] { ( [ (

)]

)

1

1

ñ

k

},

åñëè àíàëîãè÷íî îïðåäåëèòü

ä

u

ä

/

ä

i

ä

=

r

ä

— äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó äèôôåðåíöè-

àëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé äåðåâà. Èíäåêñû ó ìàòðèö

g

ñ

k

è

r

ä

k

îçíà÷àþò, ÷òî

ýëåìåíòû ýòèõ ìàòðèö îïðåäåëåíû äëÿ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà

k

-ì

øàãå èòåðàöèé. Èìåííî íåîáõîäèìîñòü òàêîãî ïåðåñ÷åòà íà êàæäîì øàãå èòåðà-

öèé è ïîñëåäóþùåå îáðàùåíèå ìàòðèö ïîðÿäêà (

ï

´

n

) èëè [(

q

– 1)

´

(

q

– 1)] è

ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííûìè íåäîñòàòêàìè ìåòîäà Íüþòîíà.

Âûðàæåíèå

g

ñ

Fr

ä

F

t

+

1

ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäñòà-

âèì

1

=

gg

ñ

-

1

. Òîãäà

g Fr F

g CrC

ñ

ä

ñ

ñ

(

)

.

t

t

+

=

r

Çäåñü

C

— ìàòðèöà êîíòóðîâ ãðàôà öåïè;

r

— äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà äèôôåðåí-

öèàëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé öåïè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî òîæäåñòâà äëÿ ìåòîäà Íüþòîíà

ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå

i

i

Cr C

r G F R F i

D

CE

i

ñ

+1

ñ

c

ñ

ñ

k

k

k

t

k

t k

k

=

+

-

- Á

Á +

-

-

[

]

{ ( [ (

)]

)

}

1

.

 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî èòåðàöèîííûé ìåòîä Íüþòîíà ìîæåò áûòü íå-

ïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàí äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíîé çàäà÷è. Ïðè÷åì

ïåðâûé æå øàã îïðåäåëèò èñòèííîå çíà÷åíèå ïîïðàâêè. Ïîñêîëüêó ÂÀÕ ëèíåé-

íû, òî çíà÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè ñòà-

òè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Êðîìå òîãî, äëÿ ïðîñòîòû ìîæíî ñ÷èòàòü

i

ñ

0

=

0

. Òîãäà

i

CrC

r G FR D

CE

CrC

CE FR D

ñ

ñ

ñ

ä

ä

t

t

t

=

[

]

(

) [

] (

).

-

-

ÁÁ +

=

+

ÁÁ

1

1

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

387