Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

ïîëîæíû ïî çíàêó íàïðÿæåíèÿì

u

01

,

u

02

è

u

03

, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ â ìåñòàõ ðàç-

ìûêàíèÿ âåòâåé

ab

,

cd

è

gk

ïîä äåéñòâèåì âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ.

Åñëè òåïåðü ââåñòè â íåëèíåéíûå âåòâè ÝÄÑ

¢¢ = - ¢ =

e

e

u

01

01

01

,

¢¢ = - ¢ =

e

e

u

02

02

02

,

¢¢ = - ¢ =

e

e

u

03

03

03

è çàìêíóòü íàêîðîòêî âñå çàäàííûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ñîõðàíèâ

â ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâÿõ èõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ (ðèñ. 20.31), òî òîêè

â íåëèíåéíûõ âåòâÿõ áóäóò ðàâíû èñêîìûì òîêàì

i

ab

,

i

cd

è

i

gk

â äåéñòâèòåëüíîé

çàäà÷å. Ïðè ýòîì øåñòèïîëþñíèê ìåæäó çàæèìàìè

à

è

b

,

c

è

d

,

g

è

k

ÿâëÿåòñÿ

ïàññèâíûì.

Äëÿ ïàññèâíîãî ëèíåéíîãî øåñòèïîëþñíèêà (ðèñ. 20.32) èìåþò ìåñòî óðàâ-

íåíèÿ

u

R i

R i

R i

u

R i

R i

R i

u

R i

1

11 1

12 2

13 3

2

21 1

22 2

23 3

3

31 1

=

+

+

=

+

+

=

;

;

+

+

R i

R i

32 2

33 3

,

ãäå

u

1

=

u

ba

,

u

2

=

u

dc

è

u

3

=

u

kg

— ïðèëîæåííûå èçâíå ê çàæèìàì øåñòèïîëþñíèêà

íàïðÿæåíèÿ.

Ýòè óðàâíåíèÿ ëåãêî ïîëó÷èòü, èñïîëüçîâàâ ïðèíöèï íàëîæåíèÿ. Åñëè ïðè-

ëîæèòü íàïðÿæåíèå

¢

u

1

òîëüêî ê çàæèìàì

b

è

a

, à âòîðóþ è òðåòüþ âíåøíèå öåïè

ðàçîìêíóòü (

i

2

=

0 è

i

3

=

0), òî áóäåì èìåòü

¢ =

¢ =

¢ =

u

R i u

R i u

R i

1

11 1

2

21 1

3

31 1

;

;

.

Ïðèëîæèâ íàïðÿæåíèå

¢¢

u

2

ê çàæèìàì

d

è

c

è ðàçîìêíóâ ïåðâóþ è òðåòüþ

âíåøíèå öåïè, ïîëó÷èì

¢¢ =

¢¢ =

¢¢ =

u

R i

u

R i

u

R i

1

12 2

2

22 2

3

32 2

;

;

.

Íàêîíåö, ïðè äåéñòâèè âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ

¢¢¢

u

3

ìåæäó çàæèìàìè

k

è

g

ïðè

ðàçîìêíóòûõ âíåøíèõ ïåðâîé è âòîðîé öåïÿõ èìååì

¢¢¢ =

¢¢¢ =

¢¢¢ =

u

R i

u

R i

u

R i

1

13 3

2

23 3

3

33 3

;

;

.

Íàêëàäûâàÿ ýòè òðè ðåæèìà è ïîëàãàÿ

¢ + ¢¢ + ¢¢¢ =

¢ + ¢¢ + ¢¢¢ =

u

u

u

u u

u

u

u

1

1

1

1

2

2

2

2

,

è

¢ + ¢¢ + ¢¢¢ =

u

u

u

u

3

3

3

3

, ïîëó÷èì íàïèñàííûå âûøå óðàâíåíèÿ ïàññèâíîãî ëèíåéíîãî

øåñòèïîëþñíèêà. Âõîäÿùèå â ýòè óðàâíåíèÿ ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþòñÿ ðàñ÷åò-

íûì èëè îïûòíûì ïóòåì èç òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííûõ òðåõ ÷àñòíûõ ðåæèìîâ.

Íà îñíîâå ïðèíöèïà âçàèìíîñòè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî

R

21

=

R

12

,

R

32

=

R

23

è

R

31

=

R

13

. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ øåñòèïîëþñíèêà ñîäåðæàò òîëüêî øåñòü

378

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 20.30

Ðèñ. 20.31

Ðèñ. 20.32

íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòåéøàÿ

ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà

øåñòèïîëþñíèêà äîëæíà èìåòü øåñòü ýëåìåíòîâ. Íà ðèñ. 20.33 èçîáðàæåíà îäíà

èç òàêèõ âîçìîæíûõ ñõåì, èìåþùàÿ òðè íåçàâèñèìûõ êîíòóðà ñ êîíòóðíûìè òî-

êàìè

i

1

,

i

2

è

i

3

. Óðàâíåíèÿ øåñòèïîëþñíèêà è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ êîí-

òóðíûõ òîêîâ äëÿ ýòîé ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû.

Ñîáñòâåííûå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðîâ ðàâíû

R

r

r

r

R

r

r

r

R

r

r

r

11

1

4

5

22

2

5

6

33

3

6

4

= + +

=

+ +

=

+ +

;

;

.

Âçàèìíûå ñîïðîòèâëåíèÿ

R

12

,

R

23

è

R

31

îòðèöàòåëüíû, òàê êàê ïîëîæèòåëüíûå

íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ â îáùèõ âåòâÿõ ïðîòèâîïîëîæíû, à â óðàâíåíèÿõ

øåñòèïîëþñíèêà âñå ÷ëåíû íàìè íàïèñàíû ñî çíàêîì «ïëþñ». Èìååì

R

R

r

R

R

r

R

R

r

12

21

5

23

32

6

13

31

4

=

= -

=

= -

=

= -

;

;

.

Èç ýòèõ óðàâíåíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ýêâèâàëåíòíîé

ñõåìû ÷åðåç ïàðàìåòðû øåñòèïîëþñíèêà.

Çàìåíèì ñîåäèíåíèå çâåçäîé ñîïðîòèâëåíèé

r

4

,

r

5

è

r

6

íà ðèñ. 20.33 ýêâèâà-

ëåíòíûì ñîåäèíåíèåì òðåóãîëüíèêîì. Ïîëó÷èì äðóãóþ âîçìîæíóþ ýêâèâàëåíò-

íóþ ñõåìó øåñòèïîëþñíèêà (ðèñ. 20.34), èñïîëüçîâàâ êîòîðóþ, ïðèâåäåì ñõåìó

íà ðèñ. 20.31 ê âèäó, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 20.35.

 ýòîé ñõåìå âåòâè ñ èíäåêñàìè 1 è 45, 2 è 56, à òàêæå 3 è 64 ñîåäèíåíû ïîïàð-

íî ïàðàëëåëüíî, à îáðàçîâàííûå ýòèìè ïàðàìè âåòâåé êîíòóðû ñîåäèíåíû ìåæäó

ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíî. Â òðåõ âåòâÿõ ñîäåðæàòñÿ íåëèíåéíûå ýëåìåíòû è èñ-

òî÷íèêè ÝÄÑ. Òàêàÿ öåïü ëåãêî ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêèõ ïî-

ñòðîåíèé, ïðèâåäåííûõ â § 20.3.

Îòìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà â çàäàííîé äåéñòâèòåëüíîé ñëîæíîé

öåïè âñå òðè âåòâè ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó óçëó, îáðàçóÿ

ñîåäèíåíèå çâåçäîé, ïðè îäíîâðåìåííîì ðàçìûêàíèè ýòèõ âåòâåé óçåë îêàçûâà-

åòñÿ îòêëþ÷åííûì îò âñåé öåïè, åãî ïîòåíöèàë ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì òî÷êàì

öåïè ïîëó÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííûì, à ñëåäîâàòåëüíî, íåîïðåäåëåííûìè îêàçûâà-

þòñÿ è íàïðÿæåíèÿ íà ìåñòàõ ðàçðûâà. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ðàçî-

ðâàòü òîëüêî äâå âåòâè ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè, òàê êàê òîê â òðåòüåé âåòâè

ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ïðè ýòîì òàêæå áóäåò ðàâåí íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî, ïðè

ðàñ÷åòå òîêîâ â íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ äîñòàòî÷íî áóäåò ââåñòè òîëüêî äâà ýêâè-

âàëåíòíûõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ, íàïðèìåð

¢¢

e

01

è

¢¢

e

02

.

 ñëó÷àå, êîãäà õàðàêòåðèñòèêà

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

379

Ðèñ. 20.33

Ðèñ. 20.34

Ðèñ. 20.35

íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà íå ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ýòîò íåëèíåéíûé

ýëåìåíò ìîæåò áûòü çàìåíåí íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ñ õàðàêòåðèñòèêîé, ïðîõî-

äÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, è èñòî÷íèêîì ÝÄÑ, êàê áûëî ïîêàçàíî â êîíöå

§ 20.4.

20.7. Ðàñ÷åò ñëîæíîé íåëèíåéíîé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà

÷èñëåííûìè ìåòîäàìè

Íàãëÿäíîñòü è ïðîñòîòà ãðàôîàíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà íå êîìïåíñèðóþò îãðàíè-

÷åííûõ åãî âîçìîæíîñòåé ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ öåïåé. Ñ ðàçâèòèåì

âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàõîäÿò ðàçëè÷íûå ÷èñëåííûå

ìåòîäû ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ öåïåé, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü âåñü-

ìà ñëîæíûå ñõåìû. Äëÿ ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ öåïåé íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíå-

íèå ïîëó÷èë ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (ìåòîä èòåðàöèé).

Íàèáîëåå ïðîñòî ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ìîæíî ïðèìåíèòü

äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ â âèäå

x f x

=

( ).

Òîãäà

x

f x

x

x

k

k

k

k

+

®¥

=

=

1

( ),

lim

.

à

èñê

Çäåñü

x

k

è

x

k

+1

— çíà÷åíèÿ èíòåðåñóþùåé íàñ (èñêîìîé) âåëè÷èíû x

èñê

íà

k

-ì

è (

k

+ 1)-ì øàãàõ èòåðàöèé;

f

(

x

k

) — çíà÷åíèå íåëèíåéíîé ôóíêöèè íà

k

-ì øàãå

èòåðàöèé. Ãðàôè÷åñêè ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü, èçîáðàçèâ

íà ïëîñêîñòè ôóíêöèè

f

(

x

) è

õ

=

x.

Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé è åñòü ðåøå-

íèå óðàâíåíèÿ. Òðàåêòîðèÿ ñáëèæåíèÿ ê ýòîé òî÷êå ðàâíîâåñèÿ è îòðàæàåò çíà-

÷åíèÿ

f

(

x

k

) è

x

k

ïðè ðàçëè÷íûõ

k.

Íà ðèñ. 20.36 èçîáðàæåí ñëó÷àé, êîãäà ïåðå-

ñå÷åíèå óêàçàííûõ ôóíêöèé ïðîèñõîäèò

â òðåõ òî÷êàõ, ò. å. ñóùåñòâóþò òðè ðåøå-

íèÿ óðàâíåíèÿ (òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ,

a

,

b

,

c

)

.

Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñëåäóåò íà÷è-

íàòü ñ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ

x

, îáîçíà-

÷åííîãî íà ðèñ. 20.36 áóêâîé

õ

0

.

Íà ýòîì

ðèñóíêå èçîáðàæåíû èòåðàöèîííûå ïðî-

öåññû äëÿ ÷åòûðåõ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ

çíà÷åíèé

x

0

, à èìåííî

x

1

0

,

x

2

0

,

x

3

0

è

x

4

0

. Èòå-

ðàöèîííûé ïðîöåññ ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê òî÷-

êå ðàâíîâåñèÿ, åñëè õàðàêòåð ôóíêöèè

f

(

x

)

â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ ïîçâîëÿåò

ýòî (ñëó÷àé ñ

x

2

0

,

x

3

0

,

x

4

0

)

.

Íî èòåðàöèîííûé

ïðîöåññ ìîæåò è íå ñõîäèòüñÿ ê òî÷êå ðàâ-

íîâåñèÿ (ñëó÷àé ñ

x

1

0

â îêðåñòíîñòè òî÷-

êè

a

)

.

Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | ( )|

¢

<

f x

1

â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ.

Ðèñ. 20.36 ïîêàçûâàåò, ÷òî ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé íå âñåãäà îáåñïå÷èâàåò

ñõîäèìîñòü ïðîöåññà èòåðàöèé è ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ âñåõ ðåøåíèé ñëåäóåò

380

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 20.36

çàäàâàòü ïîäõîäÿùèå, íàïåðåä íåèçâåñòíûå íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ. Ïðè ðàñ-

ñìîòðåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé öåïè âåñüìà âàæíî ñôîðìèðîâàòü óðàâíåíèå

õ

=

f

(

õ

) îòíîñèòåëüíî òàêèõ âåëè÷èí, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü îäíîçíà÷íî îï-

ðåäåëèòü

f

(

x

) ïðè äàííîì

x

. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 20.36 äëÿ çíà÷åíèÿ

x

4

0

ìîæíî íàé-

òè äâà çíà÷åíèÿ

f

(

x

4

0

)

.

Ïðèìåíèòåëüíî ê ÂÀÕ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ýòî óñëîâèå ïðîàíàëèçèðóåì íà ïðèìåðå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷-

íèêà ÝÄÑ

E

è äâóõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ (ñì. ðèñ. 20.2,

à

)

.

Óðàâíåíèÿ öåïè èìåþò âèä

E u u

u

f i

i f u

u

f i

i f u

=

+

=

=

=

=

1

2

1

1

3

1

2

2

4

2

;

( )

( );

( )

( ).

èëè

èëè

Çäåñü, ñîãëàñíî ïðèíÿòîìó â § 19.2 ðàçäåëåíèþ,

u

=

f

(

i

) îçíà÷àåò, ÷òî ÂÀÕ

óïðàâëÿåìà òîêîì, ò. å. ïðè çàäàííîì òîêå íàïðÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷-

íî. Ôóíêöèÿ

i

=

f

(

è

) îçíà÷àåò, ÷òî ÂÀÕ óïðàâëÿåìà íàïðÿæåíèåì, ò. å. ïðè çàäàí-

íîì íàïðÿæåíèè òîê îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Â ôîðìå

x

=

f

(

x

) ìîæíî çàïèñàòü

ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:

u

E u

E f i

E f f u

u

E f f u

u

1

2

2

2

3

1

1

2

3

1

2

= -

= -

= -

= -

=

( )

[ ( )]

[ ( )];

èëè

E u

E f i

E f f u

u

E f f u

i f u

-

= -

= -

= -

=

1

1

1

4

2

2

1

4

2

3

( )

[ ( )]

[ ( )];

(

èëè

1

3

2

4

2

4

1

)

[

( )]

( )

[

( )].

=

-

=

=

-

f E f i

i f u

f E f i

èëè

Ìîæíî íàéòè

u

1

è

u

2

òàêæå èç âûðàæåíèé

u

f i

f f E u

u

f i

f f E u

1

1

1

4

1

2

2

2

3

2

=

=

-

=

=

-

( )

[ (

)]

( )

[ (

)].

è

Âñå øåñòü óðàâíåíèé (ïî äâà äëÿ

i

,

u

1

è

u

2

) èìåþò ôîðìó

x

=

f

(

x

) è ïîýòîìó

ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé. Îäíàêî â çàâèñèìîñòè

îò õàðàêòåðà ÂÀÕ íåêîòîðûå èç íèõ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíû. Ïóñòü ÂÀÕ ïåðâî-

ãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà óïðàâëÿåìà òîêîì

u

1

=

f

1

(

i

), a ÂÀÕ âòîðîãî ýëåìåíòà

óïðàâëÿåìà íàïðÿæåíèåì

i

=

f

4

(

u

2

)

.

Èç øåñòè âûðàæåíèé, ñëåäîâàòåëüíî, íåîá-

õîäèìî áðàòü ëèøü òå, â êîòîðûå âõîäÿò òîëüêî ôóíêöèè

f

1

è

f

4

. Òàêîâûìè ÿâëÿ-

þòñÿ

u

E f f u

u

f f E u

i f

E f i

2

1

4

2

1

1

4

1

4

1

= -

=

-

=

-

[ ( )];

[ (

)];

[(

( )].

Âî âñåõ ýòèõ âûðàæåíèÿõ çíà÷åíèå

x

k

îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò

x

k

+1

èç-çà

ñâîéñòâ ÂÀÕ

f

1

è

f

4

.

Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå äðóãèõ âûðàæåíèé ïðèâåäåò ê íåîïðåäåëåííî-

ñòè. Íàïðèìåð, ïóñòü

f

2

è

f

3

òàêîâû, ÷òî äàííûì çíà÷åíèÿì

u

1

è

i

ñîîòâåòñòâóþò

ïî òðè çíà÷åíèÿ

i

è

u

2

, èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèè

f

2

è

f

3

ìíîãîçíà÷íû. Åñëè èñïîëü-

çîâàòü äëÿ

u

1

óðàâíåíèå

u

1

=

Å

–

f

2

[

f

3

(

u

1

)], òî äëÿ çàäàííîãî

u

k

1

èç ôóíêöèè

f

3

îïðåäåëèì òðè çíà÷åíèÿ

i

, ïî êîòîðûì èç ôóíêöèè

f

2

îïðåäåëèì äåâÿòü çíà-

÷åíèé

u

k

1

1

+

.

Òàêàÿ ìíîãîçíà÷íîñòü íåïðèåìëåìà ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàöèîíàëüíîé îð-

ãàíèçàöèè ïðîöåññà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Íå èìååò çíà÷åíèÿ è òî

îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî òàêàÿ ìíîæåñòâåííîñòü ðåøåíèÿ äëÿ

u

1

âîçìîæíà äëÿ îãðà-

íè÷åííîãî èíòåðâàëà çíà÷åíèé

u

1

, ïîñêîëüêó â ïðîöåññå èòåðàöèé

u

1

ìîæåò îêà-

çàòüñÿ èìåííî â ýòîì èíòåðâàëå.

Ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñëåäóåò çàêàí÷èâàòü ïðè

äîñòèæåíèè îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ

x

k

+1

, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

381

íà âåëè÷èíó |

x

k

+1

–

x

k

|

£ e

, ãäå

e

çàðàíåå ñëåäóåò çàäàâàòü â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ

îøèáêè â îïðåäåëåíèè

x

.

Íåäîñòàòêè ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé ÷àñòè÷íî óñòðàíÿþòñÿ â ìåòîäå Íüþ-

òîíà. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå

çàäàíî â âèäå

f

(

x

)

=

0. Äîïóñòèì, ÷òî äâà ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèÿ

x

k

+1

è

x

k

îòëè-

÷àþòñÿ íà ìàëóþ âåëè÷èíó

D

x

=

x

k

+1

–

x

k

.

Òîãäà, ðàçëîæèâ ôóíêöèþ

f

(

x

k

+

D

x

)

â ðÿä ïî

D

x

è îãðàíè÷èâøèñü òîëüêî äâóìÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ðÿäà (÷òî ñïðàâåä-

ëèâî, åñëè

D

x

— ìàëàÿ âåëè÷èíà), ïîëó÷èì

f x

x

f x

f x

x

k

k

k

(

)

( )

( ) .

+

»

+

D

D

'

Öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü

D

x

òàêèì, ÷òîáû

f

(

x

k

+

D

x

)

=

0. Òîãäà

D

x x

x

f x

f x

x

x

f x

f x

k

k

k

k

k

k

k

k

=

-

= -

=

-

+

+

1

1

( )

( )

( )

( )

.

'

'

è

Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà òàêæå îïðåäåëÿåò íåêîòîðûé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, êî-

òîðîìó ïðèñóùè âñå îñîáåííîñòè ìåòîäà èòåðàöèé. È â ìåòîäå Íüþòîíà ñëåäóåò

çàäàâàòü íåêîòîðîå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå

x

0

, îïðåäåëèòü

f

(

x

) è

f

¢

(

x

)

.

Çäåñü òàêæå

ñëåäóåò ïðåêðàòèòü âû÷èñëåíèÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ |

x

k

+1

–

x

k

|

£ e

. Â ìåòî-

äå Íüþòîíà âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ïðîèç-

âîäíàÿ ôóíêöèè áëèçêà (èëè ðàâíà) íóëþ,

è ïîýòîìó

D

x

ìîæåò áûòü âåñüìà âåëèêî

(èëè ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè). Ïðè ýòîì íîâîå

çíà÷åíèå

x

k

+1

ìîæåò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò

x

k

, ÷òî óõóäøàåò óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè. Ýòè

çàòðóäíåíèÿ, êàê ïðàâèëî, îáõîäÿò, çàäàâàÿ

íîâûå çíà÷åíèÿ

x

0

, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ìè-

íîâàòü òî÷êè (ðèñ. 20.37) ýêñòðåìóìà. Ïðè-

ìåíèòåëüíî ê ìåòîäó Íüþòîíà îñòàåòñÿ â

ñèëå âñå ñêàçàííîå âûøå î âûáîðå âåëè÷èí, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ çàïèñûâàåòñÿ

óðàâíåíèå

f

(

õ

)

=

0

.

Ýòè âåëè÷èíû è âèä ôóíêöèè äîëæíû îáåñïå÷èòü îäíîçíà÷-

íîñòü

f

(

x

k

) ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè

x

k

. Äëÿ öåïè, íà ïðèìåðå êîòîðîé âûøå èë-

ëþñòðèðîâàëñÿ ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé, â êà÷åñòâå íåëèíåéíûõ ôóíêöèé ñëå-

äóåò òàêæå áðàòü ôóíêöèè

f

1

(

i

) è

f

4

(

u

2

), êîòîðûå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò

íàïðÿæåíèå

u

1

÷åðåç òîê è òîê ÷åðåç íàïðÿæåíèå

u

2

.

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå âèäà

f

(

x

)

=

0 îòíîñèòåëüíî

u

2

:

f x

f u

E u

f f u

( )

( )

[ ( )]

.

=

= -

-

=

2

2

1

4

2

0

Òîãäà

f x

f u

f

f

f

u

'

'

( )

( )

.

=

= - -

2

1

4

4

2

1

¶

¶

¶

¶

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî

f

4

(

u

2

)

=

i

è

f

1

(

i

)

=

u

1

, à ñëåäîâàòåëüíî,

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

f i

f

f i

i

u

i

r

f u

u

i

u

g

1

4

1

1

1

4

2

2

2

2

( )

( )

( )

,

=

=

=

=

=

ä

ä

è

382

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 20.37