Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

L di

dt

L A

A

U

t

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

+

=

=

0

1 1

2

2

(

)

.

a

a

Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé íàõîäèì ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå

A

1

è

A

2

:

A

A

U

L

1

2

1

2

= -

=

-

(

)

.

a

a

Òàêèì îáðàçîì,

i

U

L

e

e

t

t

=

-

-

(

)

(

);

a

a

a

a

1

2

1

2

u

C

i dt u

C

i dt

U

e

e

U

C

t

C

t

t

t

=

+

=

=

-

-

+

ò

ò

1

0

1

0

0

1

2

2

1

1

2

( )

(

)

a

a

a

a

a

a

.

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà

i

è íàïðÿæåíèÿ

u

C

ñ âûðàæåíèÿ-

ìè äëÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïðèâåäåííûìè â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà äëÿ ñëó-

÷àÿ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà, âèäèì, ÷òî çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà â îáîèõ ñëó÷àÿõ

îäèí è òîò æå è òîêè ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè, òàê êàê òåïåðü ðàññìàòðèâàåò-

ñÿ ïðîöåññ çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà. Íàïðÿæåíèå æå íà êîíäåíñàòîðå ïðè ðàçðÿäå

èçìåíÿåòñÿ îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ

U

0

äî íóëÿ, à ïðè çàðÿäêå — îò íóëÿ äî êî-

íå÷íîãî çíà÷åíèÿ

U

; ïåðåõîä ïðîèñõîäèò ïî àíàëîãè÷íîìó çàêîíó.

Õàðàêòåð ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, êàê è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà, çàâèñèò

îò òîãî, áóäóò ëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûìè (ïðè

d ³ w

0

) èëè êîìïëåêñíûìè (ïðè

d

<

w

0

). Â ïåðâîì ñëó÷àå ïðîöåññ çàðÿäêè êîí-

äåíñàòîðà àïåðèîäè÷åñêèé (ðèñ. 9.21), à âî âòîðîì ñëó÷àå — êîëåáàòåëüíûé

(ðèñ. 9.22).

9.10. Âêëþ÷åíèå öåïè

r

,

L

,

Ñ

ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå

Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè (

r, L

,

C

) ïðè âêëþ÷åíèè åå ïîä ñèíóñîè-

äàëüíîå íàïðÿæåíèå

è

=

U

m

sin (

w

t

+

y

u

). Êàê è ïðåæäå (ñì. § 9.7), îáùåå ðåøåíèå

äëÿ òîêà â öåïè èìååò âèä

i i A e

A e

t

t

= ¢ +

+

1

2

1

2

a

a

.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

43

Ðèñ. 9.21

Ðèñ. 9.22

Òîê

i

¢

â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå, ñîãëàñíî èçëîæåííîìó â ÷åòâåðòîé ãëàâå,

ðàâåí

¢ =

+

i

I

t

m

i

sin(

),

w y

ãäå

I

U

z

z

r

L

C

m

m

i

u

=

=

+

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

-

;

;

;

2

2

1

w

w

y

y

j

j

w

w

=

-

arctg

L

C

r

1

.

Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå

A

1

è

A

2

îïðåäåëèì, èñõîäÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òîê â öåïè è íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîí-

äåíñàòîðà ðàâíû íóëþ, ò. å.

i

(0)

=

0,

u

C

(0)

=

0. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà

i

ïîëó÷àåì

0

1

2

=

+

+

I

A

A

m

i

sin

,

y

èç óðàâíåíèÿ öåïè è èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ òîêîâ íàõîäèì

L di

dt

U

L di

dt

A

A

t

m

u

t

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

= æ

è

ç

ö
ø

÷

+

+

=

=

0

0

1 1

2

2

sin

.

y

a

a

'

Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå âûðàæåíèÿ

U

I z

I z

z

I

m

u

m

i

m

i

i

m

sin

sin(

( cos sin

sin cos )

yy

j)

j

y

j

y

=

+

=

+

=

=

( sin

cos )

sin

cos

r

x

I r

L

C

i

i

m

i

i

y

y

y

w

w

y

+

=

+

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

é
ë

ê

ù
û

ú

1

è

L di

dt

LI

t

m

i

'

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

=

0

w

y

cos ,

à òàêæå çàìå÷àÿ, ÷òî 1/(

LC

)

= w

0

2

è

r/L

=

2

d

, ïîëó÷èì

-

+

=

+

I

I

A

A

m

i

m

i

w

w

y

d

ya

a

0

2

1 1

2

2

2

cos

sin

.

Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì

0

1

2

=

+

+

I

A

A

m

i

sin

y

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2

d

+

a

2

=

–

a

1

, íàéäåì

A

I

A

I

m

i

i

m

1

1

2

1

0

2

2

1

2

2

= -

-

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

=

-

a

a

a

y

w

w

y

a

a

a

sin

cos

;

sin

cos

.

y

w

w

y

i

i

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

0

2

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîêà

i

ïîëó÷àåì

i I

t

I

e

e

I

m

i

m

i

t

t

m

i

=

+

-

-

-

-

sin(

)

sin

(

)

cos

w y

y

a

a

a

a

y

a

a

1

2

1

2

1

2

a

a

w

w

a

a

1

2

0

2

1

2

-

-

(

)

e

e

t

t

44

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

è, ñîîòâåòñòâåííî,

u

C

i dt u

C

i dt

I

C

t

I

C

t

C

t

m

i

m

=

+

=

= -

+

-

-

ò

ò

1

0

1

1

0

0

( )

cos(

)

sin

w

w y

y

a

a

y

w a

a

a

a

a

a

a

a

i

t

t

m

i

t

C

e

e

I

C

e

e

(

)

(

)

cos

(

)

(

1

2

1

2

2

1

1

2

1

-

-

-

-

-

2

t

).

Äëÿ êîìïëåêñíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ò. å. êîãäà

d

<

w

0

,

ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ êîëåáàòåëüíûì. Â ýòîì ñëó÷àå, ïðèíèìàÿ âî âíè-

ìàíèå, ÷òî

a

1,2

=

–

d ±

j

w¢

, öåëåñîîáðàçíî ñîäåðæàùèåñÿ â âûøåïðèâåäåííûõ îá-

ùèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ

i

è

u

C

ìíîæèòåëè çàïèñàòü â âèäå

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

a

a

w

w

a

a

a

a

a

a

d

a

a

-

-

=

-

-

-

(

)

sin

;

(

e

e

e

t

e

e

t

t

t

t

'

'

2

1

2

0

1

2

2

1

0

1

t

t

t

t

e

t

e

e

e

)

sin(

;

(

)

=

+

-

-

=

-

w

w

w

q)

a

a

a

a

w

w

d

a

a

'

'

'

-

-

d

w

q)

t

t

sin(

,

'

êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â § 9.8. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ äëÿ

i

è

u

C

ïðèìóò âèä

i I

t

t

t

m

i

i

i

=

+

-

+ +

é
ëê

ù
û

sin(

) sin

sin(

cos

sin

w y y w

q) w

w

y

w

'

'

0

ú

= -

+

-

+

w

w

w

w y yw

w

w

y

-d

0

0

'

'

I e

u

I

C

t

t

m

t

C

m

i

i

;

cos(

) sin

sin

cos

i

m

m

t

t

I

C

I e

sin(

.

w

q)

w

-d

'

'

-

é
ëê

ù
ûú

ü

ý

ï

ï

þ

ï

ï

(*)

Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà

w = w¢

è

w

è

w¢

áëèçêè, íî íå ðàâ-

íû äðóã äðóãó. Ïðè ýòîì çàòóõàíèå áóäåì ïðåäïîëàãàòü ìàëûì, ò. å. ñ÷èòàòü

d

<<

w

0

.

Ïóñòü

w = w¢

. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî

d

<<

w

0

, ìîæåì ïîëàãàòü

w » w

0

è

q » p

/2; ïðè ýòîì ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèä

i I

e

t

u

I

C

e

t

m

t

i

C

m

t

i

»

-

+

» -

-

+

(

)sin(

);

(

)cos(

).

1

1

-d

-d

w y

w

w y

Õàðàêòåðíàÿ îñîáåííîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çà-

êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé òîêà è íà-

ïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîñòåïåííî íàðàñòàåò ñ ìî-

ìåíòà âêëþ÷åíèÿ (

t

=

0) äî ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ

çíà÷åíèÿ (ðèñ. 9.23).

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäà óñòàíîâèâøåãîñÿ

íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå

I

C

U

z

C

m

m

w

w

=

1 ìîæåò çíà-

÷èòåëüíî ïðåâçîéòè àìïëèòóäó ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ

U

m

, òàê êàê ÷àñòîòà

w = w¢

âåñüìà áëèçêà ê ÷àñòîòå ðåçîíàíñà

w

0

, è, ñëåäîâàòåëüíî, åìêîñòíîå ñîïðî-

òèâëåíèå êîíäåíñàòîðà

x

C

=

1/(

w

C

) çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ñîïðîòèâëåíèå

z

âñåé öåïè ïðè ìàëîì çàòóõàíèè.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

45

Ðèñ. 9.23

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà

w

è

w¢

áëèçêè ïî çíà÷åíèþ, íî íå ðàâíû

äðóã äðóãó. Òàê êàê çàòóõàíèå ìû ïðèíÿëè ìàëûì, òî â âûðàæåíèÿõ äëÿ

i

è

u

C

ïðèáëèæåííî ìîæíî ïîëàãàòü

w

0

/

w¢ »

1,

w

0

/

w »

1. Ïðèíèìàÿ â ïåðâûå ïîñëå

âêëþ÷åíèÿ ìîìåíòû âðåìåíè

e

–

d

t

»

1, ïîëó÷èì

i I

t

t

I

t

m

i

i

m

»

+

-

+

=

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

[sin(

) sin(

)]

sin

cos

w y w

y

w w

'

'

2

2

w w

y

+

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

'

2

t

i

;

u

I

C

t

t

I

C

t

C

m

i

i

m

»

+

-

+

=

-

æ
è

ç

ö

w

w y w

y

w

w w

[cos(

) cos(

)]

sin

'

'

2

2

ø

÷

+

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

sin

.

w w

y

'

2

t

i

Ýòè âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ïîëó÷åííûìè ðàíåå â § 8.8, è, ñëåäîâàòåëüíî,

â öåïè âîçíèêàþò áèåíèÿ êîëåáàíèé. Õàðàêòåð êðèâûõ áûë ïðèâåäåí íà ðèñ. 8.11.

Ïîñòåïåííî âñëåäñòâèå õîòÿ è ìàëîãî, íî êîíå÷íîãî çàòóõàíèÿ áèåíèÿ ïðåêðà-

òÿòñÿ è â öåïè óñòàíîâÿòñÿ ñèíóñîèäàëüíûå êîëåáàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæè-

ìà, ÷òî âèäíî èç óðàâíåíèé (*), òàê êàê ìíîæèòåëü

e

–

d

t

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

9.11. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè

ïàðàìåòðîâ ó÷àñòêîâ öåïè

 ðåàëüíûõ öåïÿõ ïàðàìåòðû ó÷àñòêîâ öåïè èçìåíÿþòñÿ â òå÷åíèå êîíå÷íûõ,

õîòÿ è âåñüìà ìàëûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè

D

t.

Îäíàêî ïðè ðàñ÷åòå, àáñòðàãèðó-

ÿñü îò äåéñòâèòåëüíîñòè, ÷àñòî ìîæåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïàðàìåòðû ó÷àñòêîâ èç-

ìåíÿþòñÿ ìãíîâåííî, ò. å. ñêà÷êîì, íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó. Ýòî ìîæåò èìåòü

ìåñòî ïðè çàìûêàíèè îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ íàêîðîòêî, ïðè ðàçìûêàíèè èëè

âêëþ÷åíèè âåòâåé öåïè è ò. ä. Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýòèõ ñëó÷àÿõ

íåîáõîäèìî, òàê æå êàê è âî âñåõ ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ, ñîñòàâèòü äèô-

ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ïîñëå êîììóòàöèè è íàéòè èõ îáùåå ðåøåíèå.

 ñëó÷àå ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ

r

öåïè íà êîíå÷íóþ

âåëè÷èíó íå âîçíèêàåò íèêàêèõ îñîáåííîñòåé â îòíîøåíèè îïðåäåëåíèÿ ïðîèç-

âîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ — òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ â êîí-

äåíñàòîðàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè íå èçìåíÿþòñÿ.

Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåã-

ðèðîâàíèÿ âîçíèêàþò ïðè ìãíîâåííûõ èçìåíåíèÿõ èíäóêòèâíîñòåé èëè åìêî-

ñòåé, ÷òî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ìãíîâåííîì

èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ

r

íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó íà ïðèìå-

ðå öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 9.24. Ïóñòü ïðèëîæåííîå ê öåïè

íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî è â ìîìåíò

t

=

0 ïðîèñõîäèò ðàçìûêà-

íèå êëþ÷à, ò. å. óâåëè÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè îò

r

1

äî

r

1

+

r

0

.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à

èìååò âèä

(

)

.

r

r i L di

dt

u

1

0

+

+

=

Åãî ðåøåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì â § 9.5 áóäåò

i i Ae

r r

L

t

= +

- +

'

1 0

.

46

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.24

Óñòàíîâèâøèéñÿ òîê

i

¢

ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à ðàâåí

¢ =

+

=

i

U

r

r

I

1

0

2

. Äëÿ

îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîé

A

âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì

i

(+0)

=

i

(–0). Åñëè äî ðàç-

ìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè ïðîòåêàë óñòàíîâèâøèéñÿ ïîñòîÿííûé òîê

I

1

=

U/r

1

, ò. å.

i

(–0)

=

I

1

, òî

i

I

I

A

A I

I

( )

,

+ =

=

+

=

-

0

1

2

1

2

èëè

îòêóäà

i I

I

I e

r r

L

t

=

+

-

- +

2

1

2

1 0

(

)

.

Íà ðèñ. 9.25 ïðåäñòàâëåíà êðèâàÿ èçìåíåíèÿ òîêà

i

.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ñêà÷êîîá-

ðàçíîì èçìåíåíèè èíäóêòèâíîñòè íà ïðèìåðå öåïè, ïðåä-

ñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.26, â êîòîðîé â ìîìåíò

t

=

0 ïðîèñõî-

äèò ðàçìûêàíèå êëþ÷à.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå ðàçìûêàíèÿ

êëþ÷à èìååò âèä

(

) (

)

,

r

r i

L

L di

dt

U

1

2

1

2

+

+

+

=

è åãî ðåøåíèå

i i Ae

i Ae

r r

L L

t

t

= +

= +

- +

+

-

'

'

1 2

1 2

t

.

(*)

Ïîñòîÿííûé óñòàíîâèâøèéñÿ òîê

i

¢

îãðàíè÷èâàåòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè

r

1

è

r

2

è ðàâåí

i

U

r

r

'

=

+

1

2

.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ

A

íå ìîæåì âîñ-

ïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íåèçìåííîñòè òîêîâ â êàòóøêàõ

L

1

è

L

2

â ìîìåíòû

t

=

–

0

è

t

=

+0. Äåéñòâèòåëüíî, â ìîìåíò

t

=

–

0 òîêè â êàòóøêàõ áûëè ðàçëè÷íû, à èìåí-

íî

i

1

L

(–0)

=

U

/

r

1

¹

0, ò. å. äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè ïðîòåêàë

ïîñòîÿííûé óñòàíîâèâøèéñÿ òîê, êîòîðûé îïðåäåëÿëñÿ ñîïðî-

òèâëåíèåì

r

1

. Â êàòóøêå æå

L

2

òîê îòñóòñòâîâàë è

i

2

L

(–0)

=

0,

ïîñêîëüêó â âåòâè ýòîé êàòóøêè èìååòñÿ êîíå÷íîå ñîïðîòèâëå-

íèå

r

2

è âåñü òîê ïðîõîäèë ïî âåòâè ñ êëþ÷îì, èìåâøåé ñîïðî-

òèâëåíèå, ðàâíîå íóëþ. Ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â ìîìåíò

t

=

+0 òîêè â îáåèõ êàòóøêàõ äîëæíû áûòü îäèíàêîâû. Ñëåäî-

âàòåëüíî, òîêè â êàòóøêàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè äîëæíû ñêà÷-

êîì èçìåíèòüñÿ, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîÿâëåíèè áåñêî-

íå÷íî áîëüøèõ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ.

Òàê êàê ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå êîíå÷íî, à òàêæå êîíå÷íûìè îñòàþòñÿ ïà-

äåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ

r

1

è

r

2

âñëåäñòâèå êîíå÷íûõ çíà÷åíèé òî-

êîâ, òî ñóììà íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ îñòàåòñÿ êîíå÷íîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

47

Ðèñ. 9.25

Ðèñ. 9.26