Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 7891
Скачиваний: 5
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ
u
C
â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå íå ïðåâûøàåò
óäâîåííîé àìïëèòóäû
U
Cm
=
I
m
/(
w
C
) íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïðè óñòàíî-
âèâøåìñÿ ðåæèìå.
Ïðèìåíèòåëüíî ê äàííîé çàäà÷å óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíî áûòü ñîñòàâëå-
íî äëÿ åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ — íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðà. Çíà-
÷åíèå òîêà â ðåçèñòîðå ðàâíî (
u – u
C
)/
r.
Èç ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà èìååì
du
dt
rC
u
rC
U
t
C
C
m
= -
+
+
1
1
sin(
.
w y )
Ïðè
u
C
(+0)
=
U
0
îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä
( )
u
e U
U
rC
e
t
d
U e
U
C
t
rC
m
t
rC
t
t
rC
m
=
+
+
=
+
+
+
-
-
-
-
ò
0
0
0
1
t
w y ) t
sin(
(
)
sin
sin
r C
e
t
t
rC
w
y j p
w y j p
2
2
2
-
- -
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
+ - -
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ê
-
ù
û
ú
ú
.
9.7. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè
ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
L
è
Ñ
Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè, ñîäåðæàùåé ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ-
÷åííûå ó÷àñòîê ñ ñîïðîòèâëåíèåì
r
, êàòóøêó ñ èíäóêòèâíîñòüþ
L
è êîíäåíñàòîð
ñ åìêîñòüþ
C
(ðèñ. 9.14).
Óðàâíåíèå ýòîé öåïè èìååò âèä
ri L di
dt C
i dt u
u t
t
C
+
+
+
=
ò
1
0
0
( )
( ).
(*)
Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè âûðàæåíèÿ (*), ïîëó÷èì óðàâíåíèå âòîðîãî ïî-
ðÿäêà äëÿ òîêà
i
â öåïè:
L d i
dt
r di
dt
i
C
du
dt
2
2
+
+
=
.
Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíûé òîê
i
²
,
ïîñëå äåëåíèÿ íà
L
áóäåò
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
33
Ðèñ. 9.14
d i
dt
r
L
di
dt
i
LC
2
2
0
"
"
"
+
+
=
,
èëè, îáîçíà÷èâ
r
/
L
=
2
d
è 1/(
LC
)
= w
0
2
, ïîëó÷èì
d i
dt
di
dt
i
2
2
0
2
2
0
"
"
"
+
+
=
d
w
.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
a
da w
2
0
2
2
0
+
+
=
èìååò äâà êîðíÿ:
a
d
d
w
a
d
d
w
1
2
2
= - +
-
= - -
-
0
2
2
0
2
;
èëè
a
a
1
= -
+
-
= -
-
-
r
L
r
L
LC
r
L
r
L
LC
2
4
1
2
4
1
2
2
2
2
2
è
.
Òàêèì îáðàçîì,
¢¢ =
+
i
A e
A e
t
t
1
2
1
2
a
a
.
Äëÿ òîêà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì
i i i
i A e
A e
t
t
= ¢ + ¢¢ = ¢ +
+
1
2
1
2
a
a
.
(**)
Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà
i
¢
ìîæíî íàéòè, åñëè èçâåñòåí âèä ôóíêöèè
è
(
t
)
.
Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ
A
1
è
A
2
îïðåäåëÿåì èç íà÷àëüíûõ
ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé íåèçìåííîñòè òîêà â êàòóøêå è íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ
êîíäåíñàòîðà â ìîìåíò êîììóòàöèè:
i
(+0)
=
i
(–0),
u
C
(+0)
=
u
C
(–0). Äëÿ êðàòêî-
ñòè â âûðàæåíèÿõ
i
(+0) è
u
C
(+0) áóäåì îïóñêàòü çíàê «ïëþñ», ò. å. íà÷àëüíûå
çíà÷åíèÿ ïåðåõîäíûõ òîêà â öåïè è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå áóäåì îáîçíà-
÷àòü
i
(0) è
u
C
(0).
Êàê áûëî ñêàçàíî â § 9.4, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ
A
1
è
A
2
íàäî çíàòü çíà-
÷åíèå òîêà è âñåõ åãî ïðîèçâîäíûõ äî (
ï –
1)-é âêëþ÷èòåëüíî â íà÷àëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå èìååì óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (
ï
=
2),
òî íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà è åãî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Íà-
÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â äàííîì ñëó÷àå çàäàíî. Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïåðâîé ïðî-
èçâîäíîé òîêà íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ öåïè, èñïîëüçóÿ óïîìÿíóòûå âûøå ôèçè-
÷åñêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, à èìåííî ïðè
t
=
0 èç óðàâíåíèÿ (*) èìååì
ri
L di
dt
u
u
t
C
( )
( )
( ),
0
0
0
0
+ æ
è
ç
ö
ø
÷
+
=
=
ãäå
è
(0) — çíà÷åíèå ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ
è
(
t
) ïðè
t
=
0. Îòñþäà
di
dt
u
u
ri
L
t
C
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
-
=
0
0
0
0
( )
( )
( ) .
Èç óðàâíåíèÿ (**) äëÿ ïðîèçâîäíîé òîêà èìååì
34
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
di
dt
di
dt
A
e
A
e
t
t
= ¢ +
+
1 1
2 2
1
2
a
a
a
a
.
Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (**) äëÿ òîêà è â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ åãî ïðî-
èçâîäíîé ñëåâà îò çíàêà ðàâåíñòâà íàéäåííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà è åãî
ïðîèçâîäíîé, à ñïðàâà —
t
=
0, ïîëó÷èì
i
A
A
u
u
ri
L
C
t
( )
( )
;
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
1
2
0
=
+
+
-
-
= æ
è
ç
ö
ø
÷
+
=
i'
di'
dt
A
A
1 1
2
2
a
a
+
ü
ý
ï
þï
,
(***)
ãäå
i
¢
(0) è
di'
dt
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
t
0
— çíà÷åíèÿ òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà è åãî ïðîèçâîäíîé
â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, èçâåñòíûå èç íàéäåííîãî ðàíåå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (*).
Èç óðàâíåíèé (***) îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííûå
A
1
è
A
2
.
Óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äîëæíû áûòü ñîñòàâëåíû îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåìåí-
íûõ ñîñòîÿíèÿ
i
L
=
i
è
è
C
.
 ýòîé öåïè òîê è íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå
íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç îäíó èç ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ — òîê â èí-
äóêòèâíîé êàòóøêå
i
L
=
i.
Èìååì
i
r
=
i
L
=
i
è
u
r
=
i
r
r
=
ri.
 ãðàôå ýëåêòðè÷åñêîé ñõå-
ìû (ñì. ðèñ. 9.14,
à
) êàæäûé ýëåìåíò ïðåäñòàâèì â âèäå âåòâè. Îòíåñåì âåòâü ñ
êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè ê ñâÿçÿì, à îñòàëüíûå âåòâè — ê âåòâÿì äåðåâà (ñì.
ðèñ. 9.14,
á
)
.
Èç óðàâíåíèé äëÿ ñå÷åíèÿ
2
è èç åäèíñòâåííîãî óðàâíåíèÿ äëÿ êîí-
òóðà, îáðàçîâàííîãî ñâÿçüþ
4,
âûòåêàåò
du
dt
i
C
di
dt
u
L
ir
L
e
L
C
C
=
= -
-
+
;
.
Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ýòè óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
d
dt
u
i
C
L
r
L
u
i
L
e
C
C
=
-
-
+
0
1
1
0 0 0 0
1 0 0 0
0
0
0
.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ââåäåííûìè â § 9.2, èìååì
X
A
B
V
=
=
-
-
=
=
u
i
C
L
r
L
L
e
C
;
;
;
.
1
1
0
1
1
0 0 0 0
1 0 0 0
0
0
0
Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà
B
1
èìååò ñòîëüêî ñòîëáöîâ, ñêîëüêî âåòâåé èìååòñÿ â
ãðàôå ñõåìû, è ñòîëüêî ñòðîê, ñêîëüêî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Íóìåðàöèÿ âåò-
âåé ãðàôà ñõåìû ïîä÷èíåíà òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñíà÷àëà ê âåòâÿì äåðåâà
îòíåñåíà âåòâü ñ ÝÄÑ, çàòåì âåòâü, ñîäåðæàùàÿ êîíäåíñàòîð, è äåðåâî äîïîëíåíî
âåòâüþ, ñîäåðæàùåé ðåçèñòîð. Âåòâü, ñîäåðæàùàÿ èíäóêòèâíóþ êàòóøêó, îòíå-
ñåíà ê ñâÿçè ãðàôà ñõåìû.
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
35
Îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì
â § 9.2, áóäåò
u
i
C
L
r
L
e
C
L
r
L
C
t
=
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
-
-
- -
-
+
-
-
- -
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
0
0
1
1
-
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
+
+
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
-
-
- -
-
a
a
a
a
a
e
u
i
C
L
r
L
t
C
( )
( )
( )
( )
a
a
a
a
a
t)
a
t
a
t
2
1
1
2
1
0
1
2
1
1
0
e
C
L
r
L
e
e
L
t
t
t
-
-
+
-
-
- -
-
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
ò
(
d
t
.
Íåñìîòðÿ íà ãðîìîçäêîñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, èíòåãðèðîâàòü ñëå-
äóåò ôóíêöèè âèäà
( )
e
e
d
t
t
a
t
t) t
-
ò
(
0
.
Åñëè
å
(
t
)
=
0,
i
(0)
=
0 è
è
C
(0)
=
U
0
,
òî èìååì
u
i
C
r
L
r
L
U
e
C
L
r
L
U
e
C
t
=
-
-
-
- -
-
-
-
- -
1
1
0
1
1
0
1
2
2
2
0
1
1
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
1
1
1
1
2
2
0
0
1
0
0
t
t
t
U
L
U
e
U
L
U
e
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
=
=
-
-
-
-
-
-
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
=
-
-
+
-
+
U
e
e
L
e
L
e
t
t
t
t
0
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Çäåñü
a
1
è
a
2
— êîðíè óðàâíåíèÿ
det(
)
.
A
1
1
1
1
1
0
-
=
-
-
- -
=
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
=
a
a
a
a
a
C
L
r
L
r
L
LC
9.8. Ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà íà öåïü
r
,
L
Ðàññìîòðèì âàæíûé ñëó÷àé ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ
C
íà öåïü, îáëà-
äàþùóþ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì
r
è èíäóêòèâíîñòüþ
L.
 äàííîì ñëó÷àå ïðè-
36
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ëîæåííîå íàïðÿæåíèå, à òàêæå òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ðàâíû íóëþ, ò. å.
è
(
t
)
=
0 è
i
¢
(
t
)
=
0.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ â óðàâíåíèÿõ (***) ïðåäûäóùå-
ãî ïàðàãðàôà ìû äîëæíû ïðèíÿòü
i
(0)
=
0,
¢
=
i
( )
,
0
0
è
(0)
=
0,
di'
dt
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
t
0
=
0. Îáîçíà-
÷àÿ
u
C
(0)
=
U
0
,
ïîëó÷èì
0
1
2
0
1 1
2
2
=
+
-
=
+
A
A
U L
A
A
;
,
a
a
îòêóäà
A
A
A
U
L
1
2
0
1
2
= -
=
= -
-
(
)
.
a
a
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ òîêà
i
èìååì
i
U
L
e
e
t
t
= -
-
-
0
1
2
1
2
(
)
(
)
a
a
a
a
è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêå è íà êîíäåíñàòîðå
u
L di
dt
U
e
e
u
C
i dt U
U
L
t
t
C
t
=
= -
-
-
=
+
= -
ò
0
1
2
1
2
0
0
1
2
1
a
a
a
a
a
a
(
);
0
1
2
2
1
1
2
a
a
a
a
a
a
-
-
(
).
e
e
t
t
Ïðè âûâîäå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ äëÿ
u
C
ñëå-
äóåò ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî
a
1
a
2
= w
0
2
=
1/(
LC
).
Õàðàêòåð ïðîöåññîâ ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà
îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûì â çàâèñèìî-
ñòè îò òîãî, áóäóò ëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè,
÷òî îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó ïàðàìåò-
ðàìè
r, L
è
C
.
Èññëåäóåì ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå ñëó÷àè.
1.
Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
âå-
ùåñòâåííû
è îòëè÷íû äðóã îò äðóãà. Ýòî èìååò
ìåñòî ïðè óñëîâèè
d
>
w
0
, ò. å.
r
/(2
L
) > 1/
LC
èëè
r
> 2
L C
.
Òàê êàê
a
1
< 0 è
a
2
< 0 è, êðîìå òîãî,
|a
2
|
>
|a
1
|
,
òî ïðè èçìåíåíèè
t
îò 0 äî
¥
âåëè÷èíû
e
t
a
1
è
e
t
a
2
óáûâàþò îò 1 äî 0 è ïðèòîì ðàç-
íîñòü
e
e
t
t
a
a
1
2
-
âñåãäà ïîëîæèòåëüíà (ðèñ. 9.15). Ñëåäîâàòåëüíî, òîê
i
íå ìåíÿåò
ñâîåãî íàïðàâëåíèÿ, ò. å. êîíäåíñàòîð âñå âðåìÿ ðàçðÿæàåòñÿ; â ÷àñòíîñòè, ïðè
u
C
(0)
=
U
0
> 0 òîê âñå âðåìÿ îòðèöàòåëåí. Òàêîé îäíîñòîðîííèé ðàçðÿä êîíäåíñà-
òîðà íàçûâàþò à ï å ð è î ä è ÷ å ñ ê è ì ð à ç ð ÿ ä î ì.
Íà ðèñ. 9.16 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè
i
(
t
)
, ri
(
t
)
, u
C
(
t
) è
u
L
(
t
)
.
 èíòåðâàëå âðå-
ìåíè 0 <
t < t
m
òîê ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ âîçðàñòàåò è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
37
Ðèñ. 9.15
Ðèñ. 9.16