Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 7904
Скачиваний: 5
Èññëåäóåì ýòèì ìåòîäîì ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà íà öåïü, ñîñòîÿùóþ èç êàòóøêè
ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì è ó÷àñòêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Ïóñòü åìêîñòü êîí-
äåíñàòîðà
Ñ
=
1 ìêÔ è ñîïðîòèâëåíèå öåïè, âêëþ÷àÿ è ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè
êàòóøêè,
r
=
200 Îì. Âîçüìåì êàòóøêó, ðàññìîòðåííóþ â § 22.9 (ñì. ðèñ. 22.18), è,
ïðåíåáðåãàÿ ÿâëåíèåì ãèñòåðåçèñà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâàÿ íàìàãíè÷èâàíèÿ êàê
ïðè âîçðàñòàíèè, òàê è ïðè óáûâàíèè òîêà èçîáðàæàåòñÿ êðèâîé
1
íà ðèñ. 22.17.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè èìååò âèä
d
dt
ri
C
i dt u
t
C
Y + +
+
=
ò
1
0
0
0
( )
èëè
d
dt
r di
dt C
i
2
2
1
0
Y +
+
=
.
 äàííîì ñëó÷àå óäîáíåå ïðèíÿòü â êà÷åñòâå êîîðäèíàòû
x
íà ôàçîâîé ïëîñ-
êîñòè çíà÷åíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ
Y
. Ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïè-
ñàòü â âèäå
d
dt
r di
d
d
dt
C
i
2
2
1
0
Y
Y
Y
Y
Y
+
+
=
.
Âåëè÷èíû
d
Y
/
di
=
L
ä
è
Y
/
i
=
L
ñò
— äèíàìè÷åñêàÿ è ñòàòè÷åñêàÿ èíäóêòèâ-
íîñòè, ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè
Y
, îïðåäåëÿåìûìè èç êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ.
Ïîëàãàÿ
Y =
x
è
d
Y
/
dt
=
y
, çàïèøåì óðàâíåíèå â ôîðìå
¢ +
+
=
= -
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
y
r
L
y
CL
x
dy
dt
r
L
y
CL
x
ä
ñò
ä
ñò
1
0
1
èëè
.
Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íà
dx
/
dt
=
y
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ôàçîâîé òðà-
åêòîðèè
dy
dx
r
L
y
CL
x
y
= -
+
ä
ñò
1
.
Ïîëàãàÿ
dy
/
dx
=
k
, íàõîäèì óðàâíåíèå èçîêëèíû
y
x
CL k r L
= -
+
ñò
ä
(
)
,
ãäå
L
ñò
=
F
1
(
x
) è
L
ä
=
F
2
(
x
).
Çàäàâàÿñü ðÿäîì çíà÷åíèé
x
= Y
, âû÷èñëÿåì èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ
y
è ïî
òî÷êàì ñòðîèì èçîêëèíó äëÿ äàííîãî
k
. Íà ðèñ. 22.35 ïîñòðîåíû èçîêëèíû äëÿ
äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷è, îêîëî èçîêëèí ïîìå÷åíû ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà-
÷åíèÿ óãëà
a =
arctg
k
íàêëîíà êàñàòåëüíûõ ê ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Ïîä ýòèì óã-
ëîì íàíåñåíû ÷åðòî÷êè, ïåðåñåêàþùèå èçîêëèíó, è ïî íèì ïðîâåäåíà ôàçîâàÿ
òðàåêòîðèÿ äëÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
U
C
(0)
=
680 Â è
Y
(0)
=
0. Ïî õàðàêòåðó ôà-
çîâîé òðàåêòîðèè âèäíî, ÷òî ðàçðÿä èìååò êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êðèâîé
Y
(
t
) íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ìîìåíòû âðåìåíè, ñî-
îòâåòñòâóþùèå òî÷êàì ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Ïðîìåæóòîê âðåìåíè
D
t
, â òå÷åíèå
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
473
êîòîðîãî ñîâåðøàåòñÿ ïåðåõîä îò
n
-é òî÷êè (
x
n
,
y
n
) ôàçîâîé òðàåêòîðèè ê áëèç-
êîé ê íåé (
n
+ 1)-é òî÷êå (
x
n+1
,
y
n+1
), ìîæíî ïðèáëèæåííî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì. Òàê êàê
y
=
dx
dt
, òî
D
t
=
1
1
y
dx
x
x
n
n+
ò
. Îáîçíà÷àÿ 1
y
=
f
(
x
), èìååì ïî òåîðåìå
î ñðåäíåì
D
t
=
f
(
x
)
(
x
n+1
–
x
n
) =
f
(
x
)
D
x
, ãäå
x
n
<
x
<
x
n
+1
. Ïðè íåáîëüøîì èíòåðâà-
ëå
D
t
è ìîíîòîííîì èçìåíåíèè
y
â ýòîì èíòåðâàëå ìîæíî ïðèíÿòü
f
(
x
)
»
1
y
ñð
,
ãäå
y
ñð
=
y
y
n
n
+
+
1
2
. Ïðè ýòîì èìååì
D
D
t
x
y
»
ñð
.
Åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ó÷àñòîê ôàçîâîé òðàåêòîðèè ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ïðÿìîé
ñ òàíãåíñîì óãëà íàêëîíà ê îñè àáñöèññ
dy
dx
k y
y
x
x
= =
-
-
+
+
n
n
n
n
1
1
, òî
dt dx
dy
dy
y
k
dy
y
=
=
1
è, ñëåäîâàòåëüíî,
D
t
k
dy
y
k
y
y
y
y
=
=
+
ò
+
1
1
1
1
n
n
n
n
ln
.
Åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ó÷àñòîê ôàçîâîé òðàåêòîðèè ÿâëÿåòñÿ äóãîé îêðóæ-
íîñòè, èìåþùåé öåíòð íà îñè àáñöèññ, òî
D
t
âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Âûðàçèì êîîðäèíàòû òî÷åê ýòîé äóãè îêðóæíîñòè â âèäå
õ
=
R
cos
j
+
x
0
,
y
=
R
sin
j
,
ãäå
x
0
— êîîðäèíàòà öåíòðà îêðóæíîñòè,
R
— ðàäèóñ îêðóæíîñòè è
j
— óãîë ìåæ-
äó îñüþ àáñöèññ è íàïðàâëåíèåì ðàäèóñà, ïðîâåäåííîãî â òî÷êó (
x
,
y
) äóãè.
Ïîëó÷àåì
D
D
t
dx
y
d
x
x
=
= -
=
+
+
ò
ò
n
n
n
n
j
j
j
j
1
1
,
ãäå
Dj
— öåíòðàëüíûé óãîë ðàññìàòðèâàåìîé äóãè.
 ñëó÷àå, åñëè îòðåçîê ôàçîâîé òðàåêòîðèè áëèçêî ñîâïàäàåò ñ îòðåçêîì ïðÿ-
ìîé, òî ïðèáëèæåííî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
D
t
k
y
y
=
+
1
1
ln
n
n
, çà èñêëþ-
÷åíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà
y
n
=
0 èëè
y
n
+1
=
0, à òàêæå êîãäà
y
n
+1
=
y
n
. Â ïîñëåäíåì ñëó-
÷àå õîðîøèé ðåçóëüòàò äàåò ôîðìóëà
D
t
= D
x
/
y
ñð
.
Åñëè îòðåçîê ôàçîâîé òðàåêòîðèè áëèçêî ñîâ-
ïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè, èìåþùåé öåíòð íà
îñè àáñöèññ, òî ïðèáëèæåííî ìîæíî âîñïîëüçî-
âàòüñÿ ôîðìóëîé
D
t
= Dj
.  ÷àñòíîñòè, ýòîé ôîð-
ìóëîé ðåêîìåíäóåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ñëó÷àåâ,
êîãäà
y
n
=
0 èëè
y
n
+1
=
0 (ðèñ. 22.36). Çàìåòèì, ÷òî
â ýòîì ïîñëåäíåì ñëó÷àå âåëè÷èíû
D
t
, âû÷èñëåí-
íûå ïî ôîðìóëàì
D
t
= D
x
/
y
ñð
è
D
t
= Dj
, îòëè÷àþò-
ñÿ ìåíüøå ÷åì íà 1 % ïðè
Dj £
20
°
.
474
×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 22.36
Âû÷èñëÿÿ ïðîìåæóòêè âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíûì îòðåç-
êàì ôàçîâîé òðàåêòîðèè, ëåãêî ïîñòðîèòü êðèâóþ
Y
(
t
), ÷òî è ñäåëàíî íà ðèñ. 22.37.
Íà ýòîì æå ðèñóíêå ïîñòðîåíà êðèâàÿ
i
(
t
), ïðè÷åì çíà÷åíèÿ òîêà áðàëèñü èç êðè-
âîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (ñì. ðèñ. 22.17) ïî ñîîòâåòñòâóþùèì çíà÷åíèÿì ïîòîêîñöå-
ïëåíèÿ
Y
.
Ðàññìîòðåííîå â íàñòîÿùåì è ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôàõ èçîáðàæåíèå ïåðå-
õîäíûõ ïðîöåññîâ íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè äàåò âîçìîæíîñòü íàãëÿäíî îáîçðåòü
âåñü õàðàêòåð ýòèõ ïðîöåññîâ. Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì â ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðîöåññ
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî èëè âòîðîãî ïîðÿäêà ñî ñâîáîäíûì ÷ëåíîì,
íå çàâèñÿùèì îò âðåìåíè. Îñîáåííî öåííûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî çäåñü îòêðûâàþòñÿ
íîâûå âîçìîæíîñòè ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ.
22.15. Ìåòîä ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä —
ìåòîä Âàí-äåð-Ïîëÿ
Âî ìíîãèõ íåëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðè óñòàíîâèâøåì-
ñÿ ðåæèìå èçìåíåíèå âî âðåìåíè òîêà â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå âåñüìà áëèçêî
ê ñèíóñîèäàëüíîìó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â óðàâíåíèè ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå íåëèíåé-
íûå êîýôôèöèåíòû, ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ îñòàëüíûìè ÷ëåíàìè.  òàêèõ ñëó÷àÿõ
ìîæåò áûòü ïðèìåíåí òàê íàçûâàåìûé ì å ò î ä ì å ä ë å í í î ì å í ÿ þ ù è õ ñ ÿ
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
475
Ðèñ. 22.37
à ì ï ë è ò ó ä, íàçûâàåìûé òàêæå ìåòîäîì Âàí-äåð-Ïîëÿ. Äàëåå ýòîò ìåòîä áóäåò
èçëîæåí íà ïðèìåðå àíàëèçà òîêà â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå ëàìïîâîãî ãåíåðà-
òîðà è íàïðÿæåíèÿ íà ñåòêå ëàìïû, ïðîïîðöèîíàëüíî-
ãî ïðîèçâîäíîé îò ýòîãî òîêà âî âðåìåíè (ðèñ. 22.38).
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî óðàâíåíèå äëÿ òîêà â êî-
ëåáàòåëüíîì êîíòóðå èìååò âèä, àíàëîãè÷íûé ïîëó÷åí-
íîìó â § 22.6 óðàâíåíèþ äëÿ òîêà â êîíòóðå òðàíçèñòîð-
íîãî ãåíåðàòîðà
d i
dt
di
dt
i I
SDU
LC
2
2
0
2
0
0
2
+
+
=
+
d
w
,
ãäå 2
1
0
2
d
w
=
+
+
= +
S M DL
LC
r
L
rSD
LC
è
,
S
— êðóòèçíà õàðàêòåðèñòèêè,
D
— ïðî-
íèöàåìîñòü ëàìïû (ñì. § 19.8),
I
0
,
U
0
— âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùèå ñîñòîÿíèå ëàì-
ïû ïðè îòñóòñòâèè êîëåáàíèé.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
rSD
<< 1 âñëåäñòâèå ïðèìåíåíèÿ â ãåíåðàòîðàõ êîíòóðîâ ñ âû-
ñîêîé äîáðîòíîñòüþ, ïðèìåì
w
0
2
1
=
( )
LC
. Íàì áóäåò óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü íà-
ïðÿæåíèå
u
c
íà ñåòêå ëàìïû, ðàâíîå
u
M di
dt
c
= -
. Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå äëÿ
i
è óìíîæàÿ íà (–
M
), ïîëó÷èì
d u
dt
du
dt
u
2
2
0
2
2
0
ñ
ñ
ñ
+
+
=
d
w
.
(*)
Íåëèíåéíûì ÿâëÿåòñÿ ÷ëåí 2
d
du
dt
ñ
, òàê êàê íàêëîí õàðàêòåðèñòèêè
S
çàâèñèò
îò
u
c
è, ñëåäîâàòåëüíî, 2
d
du
dt
f u du
dt
ñ
ñ
ñ
=
( ,
).  ëàìïîâîì ãåíåðàòîðå ýòîò ÷ëåí ìàë
ïî ñðàâíåíèþ ñ îñòàëüíûìè ÷ëåíàìè, ÷òî âûòåêàåò èç ðàññìîòðåííûõ â § 22.6
óñëîâèé âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé â ëàìïîâîì ãåíåðàòîðå. Âìåñòå ñ òåì ýòîò ÷ëåí
õîòÿ è ÿâëÿåòñÿ ìàëûì, îêàçûâàåò îïðåäåëÿþùåå âëèÿíèå íà ïðîöåññ âîçáóæäå-
íèÿ êîëåáàíèé è íà ïðîöåññ íàðàñòàíèÿ è óñòàíîâëåíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé.
Ïðè
d =
0 èìåëè áû ìåñòî íåçàòóõàþùèå ñèíóñîèäàëüíûå êîëåáàíèÿ.
Íàëè÷èå ìàëîãî íåëèíåéíîãî ÷ëåíà 2
d
du
dt
ñ
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî è óñòàíîâèâ-
øèåñÿ êîëåáàíèÿ áóäóò íåìíîãî îòëè÷àòüñÿ îò ñèíóñîèäû.  ïðîöåññå óñòàíîâ-
ëåíèÿ àìïëèòóäà
A
íàðàñòàåò. Îáû÷íî ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû
A
è íà÷àëüíîé ôàçû
y
íà-
ñòîëüêî ìàëà, ÷òî
dA
/
dt
<<
A
w
0
è
d
y
/
dt
<<
w
0
,
ò. å. çà
ïåðèîä
T
=
2
p
/
w
0
èçìåíåíèå
D
A
àìïëèòóäû ñîñòàâ-
ëÿåò ìàëóþ äîëþ ñàìîé àìïëèòóäû
A
è èçìåíåíèå
Dy
íà÷àëüíîé ôàçû ìíîãî ìåíüøå 2
p
. Âåëè÷èíó
u
c
ïðè ýòîì ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
u
A t
t
t
A
t
ñ
=
+
=
+
( )cos[
( )]
cos(
).
w
y
w
y
0
0
476
×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 22.38
Ðèñ. 22.39
Çäåñü êàê
A
=
A
(
t
), òàê è
y=y
(
t
) ÿâëÿþòñÿ
ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ
âî âðåìåíè
âåëè÷èíàìè. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ êðèâàÿ
A
(
t
) îïðåäåëÿåò ñîáîé îãèáàþùóþ êðè-
âîé
u
c
(
t
) (ðèñ. 22.39).
Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ
u
c
íà ñåòêå ðàâíà
du
dt
dA
dt
t
A
d
dt
t
A
ñ
=
+
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
» -
cos(
)
sin(
)
w
y
w
y
w
y
w
0
0
0
0
sin(
).
w
y
0
t
+
Ïîñëåäíåå ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ìû ïðèíèìàåì óñëîâèå
dA
dt
t
A d
dt
t
cos(
)
sin(
)
.
w
y
y
w
y
0
0
0
+
-
+
=
(**)
Ïðèíÿâ òàêîå óñëîâèå, ïîëó÷àåì
d u
dt
d
dt
A
t
dA
dt
t
2
2
0
0
0
0
0
2
ñ
=
-
+
= -
+
-
-
[
sin(
)]
sin(
)
w
w
y
w
w
y
w
A
t
A d
dt
t
cos(
)
cos(
).
w
y
w
y
w
y
0
0
0
+
-
+
Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (*) çíà÷åíèå
d
2
u
c
/
dt
2
è
u
c
è çàìå÷àÿ, ÷òî ãëàâíûå
÷ëåíû
w
0
A
cos (
w
0
t
+
y
) ñîêðàùàþòñÿ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îñòàþùèõñÿ ìà-
ëûõ âåëè÷èí:
dA
dt
t
A d
dt
t
du
dt
f u du
sin(
)
cos(
)
,
w
y
y
w
y
d
w
w
0
0
0
0
2
1
+
+
+
=
=
ñ
ñ
ñ
dt
æ
è
ç
ö
ø
÷
.
(***)
Çàìåòèì, ÷òî ñäåëàííûå íàìè ïðèáëèæåíèÿ âíîñÿò îïðåäåëåííóþ íåòî÷íîñòü
â çíà÷åíèÿ ýòèõ ìàëûõ âåëè÷èí.  ýòîì íåïîñðåäñòâåííî ìîæíî óáåäèòüñÿ, åñëè
ñîñòàâèòü âåëè÷èíó
d
2
u
c
/
dt
2
, âçÿâ ïðîèçâîäíóþ îò ïîëíîãî âûðàæåíèÿ
du
c
/
dt
.
Îäíàêî ýòè ìàëûå âåëè÷èíû íåçíà÷èòåëüíî èçìåíÿþò âåëè÷èíû
u
c
,
du
c
/
dt
è
d
2
u
c
/
dt
2
, è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì ïðîöåññ áóäåò áëèçîê
ê èñòèííîìó.
Èç óðàâíåíèé (**) è (***) îïðåäåëÿþòñÿ îòäåëüíî ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ àì-
ïëèòóäû è ôàçû. Óìíîæàåì ýòè óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî, íà sin (
w
0
t
+
y
) è íà
cos (
w
0
t
+
y
); çàòåì, ñêëàäûâàÿ èëè âû÷èòàÿ ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ, íàõîäèì
dA
dt
f u du
dt
t
d
dt
A
f u du
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
=
1
1
0
0
0
w
w
y
y
w
ñ
ñ
ñ
ñ
,
sin(
);
,
dt
t
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
cos(
).
w
y
0
(****)
Óñðåäíÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü â èíòåðâàëå îò
t
äî
t
+
T
, ìû âïðàâå ñ÷èòàòü â ïðåäåëàõ
ýòîãî èíòåðâàëà âåëè÷èíû
A
è
y
íåèçìåíÿþùèìèñÿ è ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì â
ìîìåíò
t
. Äåéñòâèòåëüíî, áûëî ñêàçàíî, ÷òî ýòè âåëè÷èíû ìàëî ìåíÿþòñÿ â òå÷å-
íèå ëþáîãî ïåðèîäà.  ðåçóëüòàòå òàêîãî óñðåäíåíèÿ ïîëó÷èì
1 1
0
0
T
f u du
dt
t
dt
A
t
t T
w
w
y
ñ
ñ
,
sin(
)
( );
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
=
+
ò
F
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
477