ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 429
Скачиваний: 1
26
и рассмотрим. В этом случае дифференциальное уравнение и граничные
условия имеют вид:
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
''
)
(
0
1
2
x
f
x
y
x
k
x
y
x
k
x
y
x
k
=
+
+
,
[ ]
b
a
x
,
Î
, (4.19)
0
0
0
)
(
)
(
'
g
b
a
=
+
a
y
a
y
, (4.20)
1
1
1
)
(
)
(
'
g
b
a
=
+
b
y
b
y
, (4.21)
)
(
),
(
),
(
),
(
2
1
0
x
f
x
k
x
k
x
k
- известные функции, а
1
1
1
0
0
0
,
,
,
,
,
g
b
a
g
b
a
- заданные
константы.
Введем
на
отрезке
[ ]
b
a
,
равномерную
сетку
с
шагом
h
:
b
x
x
x
a
N
=
<
<
<
=
...
1
0
,
h
x
x
n
n
+
=
+
1
.
Заменим в уравнениях (4.19) - (4.21) производные функции
y(x)
в узлах
сетки
1
2
1
,...,
,
-
N
x
x
x
разностными отношениями:
h
y
y
h
y
y
y
n
n
n
n
n
1
1
'
-
+
-
»
-
»
, (4.22)
2
1
1
'
'
1
''
2
h
y
y
y
h
y
y
y
n
n
n
n
n
n
-
+
+
+
-
=
-
»
. (4.23)
Здесь используются обозначения:
,...
)
(
,...,
)
(
0
0
n
n
y
x
y
y
x
y
=
=
.
Подставив (4.22) и (4.23) в (4.19) при
n
= 1, 2, ... , N-1 и собрав вместе
коэффициенты перед
1
-
n
y
,
n
y
и
1
+
n
y
, получим линейные алгебраические
уравнения:
n
n
n
n
n
n
n
f
y
c
y
b
y
a
=
+
+
+
-
1
1
, (4.24)
где константы
n
n
n
c
b
a
,
,
и
n
f
определяются конкретным видом уравнения
(4.19).
Подстановка (4.22) в граничное условие при
a
x
=
(4.20) дает:
0
0
0
0
1
0
g
b
a
=
+
-
y
h
y
y
,
или
0
1
0
0
0
f
y
c
y
b
=
+
,
где
0
0
0
a
b
-
=
h
b
,
0
0
a
=
c
,
0
0
g
h
f
=
.
Аналогично, граничное условие при
b
x
=
можно представить в виде:
N
N
N
N
N
f
y
b
y
a
=
+
-
1
,
27
где
1
a
-
=
N
a
,
1
1
a
b
+
=
h
b
N
,
1
g
h
f
N
=
.
Таким образом, линейная краевая задача для дифференциального
уравнения второго порядка свелась к решению системы линейных
алгебраических уравнений:
0
1
0
0
0
f
y
c
y
b
=
+
,
n
n
n
n
n
n
n
f
y
c
y
b
y
a
=
+
+
+
-
1
1
, (
n
= 1, 2, ... , N - 1)
N
N
N
N
N
f
y
b
y
a
=
+
-
1
. (4.25)
Или в матричном виде:
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
N
N
N
N
N
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
0
...
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
...
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
...
0
0
0
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
N
y
y
y
y
...
...
...
2
1
0
=
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
N
f
f
f
f
...
...
...
2
1
0
.
Из последней формы записи системы уравнений хорошо видно, что
матрица коэффициентов здесь трехдиагональна (ненулевые элементы
расположены лишь на главной и двух соседних диагоналях). Самым
распространенным методом решения трехдиагональных систем является
метод
прогонки
.
Будем искать решение системы уравнений (4.25) в виде:
1
+
+
=
n
n
n
n
y
v
u
y
, (
n
= 0, 1, ... ,
N
-1) . (4.26)
Тогда
n
n
n
n
y
v
u
y
1
1
1
-
-
-
+
=
. (4.27)
Подставим (4.27) в (4.24):
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f
y
c
y
b
y
v
u
a
=
+
+
+
+
-
-
1
1
1
)
(
и приведем полученное выражение к виду:
1
1
1
1
+
-
-
-
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+
+
-
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
v
a
b
c
v
a
b
u
a
f
y
. (4.28)
28
Сравнение (4.28) и (4.26) дает рекуррентные соотношения для коэффициентов
n
u
и
n
v
:
1
1
-
-
+
-
=
n
n
n
n
n
n
n
v
a
b
u
a
f
u
, (4.29)
1
-
+
-
=
n
n
n
n
n
v
a
b
c
v
. (4.30)
Для начала счета по этим соотношениям необходимо знать
0
u
и
0
v
. Для
их определения используем первое уравнение системы (4.25):
0
1
0
0
0
f
y
c
y
b
=
+
.
Отсюда
1
0
0
0
0
0
y
b
c
b
f
y
-
=
.
С другой стороны, из (4.26):
1
0
0
0
y
v
u
y
+
=
.
Таким образом,
0
0
0
b
f
u
=
,
0
0
0
b
c
v
-
=
.
Используя значения
0
u
и
0
v
, можно определить по рекуррентным
соотношениям
1
u
и
1
v
, затем
2
u
и
2
v
и так далее до
1
-
n
u
и
1
-
n
v
. Этот процесс
называется прямой прогонкой.
С помощью
n
u
и
n
v
, по формуле (4.27) последовательно вычисляются
0
2
1
,...,
,
y
y
y
N
N
-
-
:
N
N
N
N
y
v
u
y
1
1
1
-
-
-
+
=
,
1
2
2
2
-
-
-
-
+
=
N
N
N
N
y
v
u
y
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
0
0
0
y
v
u
y
+
=
.
Данная процедура называется обратной прогонкой. Проведение обратной
прогонки требует знания
N
y
. Для определения
N
y
воспользуемся третьим
уравнением системы (4.25):
N
N
N
N
N
f
y
b
y
a
=
+
-
1
.
Подставим в него
29
N
N
N
N
y
v
u
y
1
1
1
-
-
-
+
=
.
Это даст
N
N
N
N
N
N
N
b
v
a
u
a
f
y
+
-
=
-
-
1
1
.
В качестве иллюстрации приложения данного метода к физическим
задачам, рассмотрим решение уравнения Пуассона
)
(
4
)
(
r
r
V
Coul
r
r
pr
-
=
D
для центрального поля. В этом случае удобно ввести сферическую систему
координат. Тогда плотность заряда
)
(
)
(
r
r
r
r
=
r
, кулоновский потенциал
)
(
)
(
r
V
r
V
Coul
Coul
=
r
, оператор Лапласа:
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
D
r
r
r
r
2
2
1
.
Если провести замену переменной
)
(
)
(
r
rV
r
y
Coul
=
, левая часть уравнения
сведется к
r
y
r
y
r
r
r
r
''
1
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
,
и уравнение приобретет вид
)
(
4
''
r
r
y
r
p
-
=
. (4.31)
Для его решения необходимо задать граничные условия, которые, очевидно,
можно взять в виде:
0
)
0
(
=
y
,
q
R
y
=
)
(
, (4.32)
где
R
- радиус сферы, внутри которой находится заряд
q,
распределенный с
плотностью
)
(
r
r
:
ò
=
R
dr
r
r
q
0
2
)
(
4
r
p
.
Для решения уравнения (4.31) с граничными условиями (4.32)
воспользуемся разностной
схемой Нумерова
(4.14) (без остаточного члена)
)
2
(
12
2
''
1
''
''
1
2
''
2
1
1
-
+
-
+
+
-
+
=
+
-
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
h
y
h
y
y
y
.
Вторые производные, входящие во второе слагаемое правой части, заменим с
помощью равенства
n
n
y
pr
4
''
-
=
(формула (4.31)):
30
)
2
(
12
4
2
1
1
1
1
2
''
2
1
1
-
-
+
+
-
+
+
-
-
=
+
-
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
r
r
r
h
y
h
y
y
y
r
r
r
p
,
выразим отсюда
''
n
y
и подставим в уравнение (4.31). В результате, решение
уравнения Пуассона сводится к решению трехдиагональной системы линейных
алгебраических уравнений:
0
0
=
y
,
)
10
(
12
4
2
1
1
1
1
2
1
1
+
+
-
-
+
-
+
+
-
=
+
-
n
n
n
n
n
n
n
n
n
r
r
r
h
y
y
y
r
r
r
p
,
n
= 1, 2, ... ,
N
- 1,
q
y
N
=
.
Эту систему уравнений решаем методом прогонки.
Прямой ход:
0
0
=
u
,
0
0
=
v
,
1
1
-
-
+
-
=
n
n
n
n
n
n
n
v
a
b
u
a
f
u
,
1
-
+
-
=
n
n
n
n
n
v
a
b
c
v
,
где
1
=
n
a
,
2
-
=
n
b
,
1
=
n
c
,
)
10
(
12
4
1
1
1
1
2
+
+
-
-
+
+
-
=
n
n
n
n
n
n
n
r
r
r
h
f
r
r
r
p
,
n
= 1,2, ... ,
N
-1.
Обратный ход:
q
y
N
=
,
n
n
n
n
y
v
u
y
1
1
1
-
-
-
+
=
,
n
=
N
,
N
- 1, ... , 1.