ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 312
Скачиваний: 1
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Постановка задачи
Если для функции
f x
( )
, определенно на отрезке
[ , ]
c d
, можно найти
первообразную
F x
( )
, то определенный интеграл можно вычислить по формуле
Ньютона-Лейбница
f x dx F d
F c
c
d
( )
( )
( )
ò
=
-
(1)
Но, как правило, найти первообразную через элементарные функции не удается.
Кроме того,
f x
( )
может быть задана и таблично. Поэтому приходится прибегать к
приближенному вычислению интеграла.
На практике поступают следующим образом. Изложим общую идею,
несколько обобщив постановку задачи, введя еще и весовую функцию. Пусть
требуется вычислить определенный интеграл
f x p x dx
c
d
( ) ( )
ò
(2)
Здесь
p x
( )
- некоторая фиксированная функция (для различных
f x
( )
),
удовлетворяющая условию
p x
( )
>
0
на
[ , ]
c d
. Ее называют весовой функцией. Для
функции
f x
( )
на отрезке
[ , ]
c d
построим интерполяционный многочлен, т.е.
запишем ее в виде
f x
x
R x
( )
( )
( )
=
+
j
, (3)
где
j
( )
x
- инетерполяционный многочлен, а
R x
( )
- остаточный член. Тогда
f x p x dx
x p x dx
R x p x dx
c
d
c
d
c
d
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
+
ò
ò
ò
j
(4)
Первый член справа дает формулу численного интегрирования, т.е. считаем, что
f x p x dx
x p x dx
c
d
c
d
( ) ( )
( ) ( )
»
ò
ò
j
, (5)
а второй - остаточный член, т.е. погрешность метода. Интерполяционный многочлен
можно представить в виде
j
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
f x l x
f x l x
f x l x
n
n
=
+
+
+
0
0
1 1
. . .
(6)
Здесь
l x
i
( ) - некоторые полиномы, не зависящие от функции
f
. Тогда
f x p x dx
f x
l x p x dx
f x
l x p x dx
n
n
c
d
c
d
c
d
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
=
+
+
ò
ò
ò
0
0
. . .
(7)
Будем считать, что интегралы
l x p x dx C
i
c
d
i
( ) ( )
ò
º
(8)
мы умеем вычислять точно. Они не зависят от функции
f x
( )
. Поэтому их можно
вычислить один раз, затабулировать и использовать для вычисления интегралов при
произвольных функциях
f
.
Сама формула численного интегрирования принимает вид
f x p x dx C f x
C f x
C f x
C f x
c
d
n
n
i
i
i
n
( ) ( )
( )
( )
(
)
( )
ò
å
=
+
+
+
=
=
0
0
1
1
0
. . .
(9)
Такие формулы называются квадратурными. Конкретные формулы численного
интегрирования получают различным выбором интерполяционных функций и узлов
интерполяции.
Формулы Ньютона-Котеса
Эти формулы получаются путем замены подынтегрального выражения
интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими промежуток
интегрирования на равные части.
Пусть узлы интерполирования расположены таким образом
x
a ih
i
n
i
= +
=
(
, ,..., )
1 2
. (10)
Здесь возможны два варианта расположения узлов.
1)
a
совпадает с
c
. Тогда
d
a
n
h
= +
+
(
)
1
.
a
h
c 1 2 3 d
2)
a
h c
+ =
. Тогда
d
a
nh
= +
.
1
h
a c d
2 3
В первом случае узлы инетрполирования не содержат точек
c
и
d
, отрезок
интегрирования разбивается на
(
)
n
+
1
равных частей и
h
d
c
n
=
-
+
1
. Во втором случае
концы промежутка интегрирования являются узлами интерполирования,
промежуток интегрирования разбивается на
(
)
n
-
1
равных частей и
h
d
c
n
=
-
-
1
.
Формулы численного интегрирования, которые получаются в первом случае,
называются формулами открытого типа, а во втором случае - замкнутого типа.
Чтобы не проводить одни и те же рассуждения дважды, положим
c a
k h
= + -
(
)
1
,
d
a
n k h
= +
+
(
)
, (11)
h
d
c
n
k
=
-
- +
1 2
(12)
Нетрудно видеть, что для формул открытого типа
k
=
1, для формул замкнутого типа
k
=
0 .
Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным полиномом
Лагранжа, построенным по узлам (10), окончательно получим
f x dx
d
c
I
f a ih
c
d
i k
n
i
n
( )
(
)
(
)
,
ò
å
=
-
+
=
1
, (13)
где через
I
i k
n
,
обозначены выражения
I
n
k i
n i
z
z
z n
z i
dz
i k
n
n i
k
n k
,
( )
(
)(
)!(
)!
(
)(
)...(
)
=
-
- +
-
-
-
-
-
-
-
-
+
ò
1
1 2
1
1
2
1
(14)
Они не зависят от
f x
( )
, т.е. от функции, для которой вычисляется интеграл. Не
зависят они также от промежутка интегрирования, а потому могут быть вычислены
раз и навсегда. Зависят они лишь от
1)
k
, т.е. от того, формулы какого типа - открытого или замкнутого применяются;
2)
n
, т.е. от числа интерполяционных узлов на промежутке интегрирования;
3)
i
, т.е. от номера узла интерполяции (коэффициенты, естественно, получаются
различными для различных интерполяционных узлов).
Для конкретных
k
,
n
и
i
эти коэффициенты могут быть получены аналитически.
Они являются рациональными дробями, т.к. под интегралом - многочлен с
рациональными коэффициентами, и пределы интегрирования - рациональные.
Кроме того, вычисления облегчаются благодаря тому, что
I
I
i k
n
n
i k
n
,
,
=
+ -
1
(15)
т.е. равноотстоящие от концов коэффициенты формулы Ньютона-Котеса равны.
Существуют таблицы коэффициентов. Каждый из этих коэффициентов
является рациональной дробью. Для сокращения таблиц знаменатели этих дробей
при фиксированном
n
взяты одинаковыми и указаны в последнем столбце. В
остальных колонках - числители.
Таблица 1. k
=
0
(формулы замкнутого типа)
n
i
1
2
3
4
5
6
Знамена-
тели
2
1
2
3
1
4
6
4
1
3
8
5
7
32
12
90
6
19
75
50
288
7
41
216
27
272
840
8
751
3577
1323
2989
17280
9
989
5888
-928
10496
-4540
28350
10
2857
15741
1080
19344
5778
89600
11
16067 106300 -48525 272400 -260550 427368 598752
Отметим, что формулы замкнутого типа имеют преимущество перед
формулами открытого типа в смысле точности. Лучше также формулы с нечетным
n
.
Таблица 2. k=1 (формулы открытого типа)
n
i
1
2
3
4
5
Знамена-
тели
2
1
2
3
2
-1
3
4
11
1
24
5
11
-14
26
20
6
611
-453
562
1440
7
460
-954
2196
-2459
945
8
1787
-2803
4967
-1711
4480
9
4045
-11690
33340
-55070
67822
9072
10
2752447 -6603199 -15673880 -17085616
8891258 7257600
Рассмотрим более подробно формулы замкнутого типа при
n
=
2 и
n
=
3
ввиду важности этих случаев. При
n
=
2 два узла интерполяции
x
c
1
=
и
x
d
2
=
, и
интерполяционный многочлен имеет первую
степень. Переходя на геометрический язык,
мы заменяем кривую
y
f x
=
( )
хордой,
соединяющей конечные точки кривой (рис.4).
Интеграл от интерполяционного многочлена
дает площадь трапеции. Поэтому
соответствующая формула называется
формулой трапеций.
Площадь трапеции
равна
d
c
f c
f d
-
+
2
[ ( )
( )]
. Эту формулу
можно получить и из общей формулы и таблицы. Таким образом,
f x dx
d
c
f c
f d
d
c
f
c
d
( )
[ ( )
( )]
(
)
( )
=
-
+
-
-
¢¢
ò
2
12
3
x
(16)
Погрешность этой формулы велика. Ее можно снизить, если применять
формулу трапеций не сразу ко всему отрезку, а разбить его сначала на части, и к
каждой части применить формулу трапеций. В частности, если разбить
[ , ]
c d
на
m
равных отрезков длины
h
d
c
m
=
-
и обозначить через
y y
y
m
0
1
, ,...,
последовательные
ординаты, то получим
y
x
c d
Рис. 4
f x dx
h
y
y
h
y
y
h
y
y
d
c
f
d
c
m
y
y
y
y
y
d
c
m
f
m
m
c
d
m
m
( )
[
]
[
]
[
]
(
)
( )
[
]
(
)
( )
=
+
+
+
+
+
+
-
-
¢¢
=
=
-
+
+
+
+
+
-
-
¢¢
-
-
ò
2
2
2
12
2
2
2
2
12
0
1
1
2
1
3
0
1
2
1
3
2
. . .
. . .
x
x
(17)
Эта формула называется обобщенной
формулой трапеций.
Возьмем теперь
n
=
3. В этом случае
узлами интерполирования будут являться
точки
c
c d
d
,
,
+
2
. Интерполяционный
многочлен будет иметь вторую степень.
Выражаясь геометрически, мы проводим
параболу через конечные и среднюю точку
кривой (рис.5). В этом случае
f x dx
d
c
f c
f
c d
f d
d
c
f
IV
c
d
( )
[ ( )
(
)
( )]
(
)
( )
=
-
+
+
+
-
-
ò
6
4
2
32
90
5
x
(18)
Это
формула Симпсона.
Она также может быть применена не ко всему отрезку
сразу, а с его предварительным разбиением. Если разбить
[ , ]
c d
на
2
m
равных
отрезков, то получим
f x dx
d
c
m
y
y
y
d
c
m
y
y
y
d
c
m
y
y
y
d
c
f
m
d
c
m
y
y
y
y
y
y
y
d
c
f
m
c
d
m
m
m
IV
m
m
IV
( )
[
]
[
]
[
]
( )
[
]
( )
=
-
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
-
-
æ
èç
ö
ø÷
=
=
-
+
+
+
+
+
+
+
-
-
æ
èç
ö
ø÷
ò
-
-
-
6
4
6
4
6
4
2
90
6
4
2
4
2
4
2
90
0
1
2
2
3
4
2
2
2
1
2
5
4
0
1
2
3
4
2
1
2
5
4
. . .
. . .
x
x
(19)
Это - обобщенная формула Симпсона. Ее коэффициенты немногим сложнее
коэффициентов формулы трапеций, но точность существенно выше.
Квадратурные формулы Гаусса
Формулы Ньютона-Котеса, описанные выше, получены путем замены
подынтегральной функции интерполяционным многочленом с равноотстоящими
узлами интерполирования. Можно ожидать, что, избавившись от последнего
требования, можно получить формулы, обладающие определенными
преимуществами. В этом параграфе мы приведем формулы, дающие наибольшую
точность численного интегрирования.
Прежде всего необходимо условиться, что следует понимать под точностью
формулы численного интегрирования. При замене подынтегральной функции
интерполяционным многочленом, построенным по
n
узлам интерполяции, мы
y
x
Рис. 5
y=f( x )
c ( c+d) /2 d