Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 41
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тольяттинский Политехнический Техникум
Реферат
на тему «Великие задачи геометрии»
Выполнил: Соврасов А.С
Группа: С-11
Учитель: Волкова А.В
Тольятти 2014
Содержание
| Введение…………………………………………………………………………… | 3 |
| Три классические задачи древности……………………………………………….. | 4 |
| Формулировки задач………………………………………………………………… | 4 |
| О квадратуре круга. Три аксиомы о квадратуре круга……………………………. | 5 |
| Квадратура круга. История и способы решения…………………………………... | 7 |
| Удвоение куба. Легенда о возникновении задачи………………………………… | 10 |
| Удвоение куба. Попытки решения задачи…………………………………………. | 11 |
| Трисекция угла………………………………………………………………………. | 12 |
| Решение задачи о трисекции угла………………………………………………….. | 13 |
| Решение Архимеда…………………………………………………………………... | 14 |
| Заключение. Выводы………………………………………………………………... | 15 |
| Приложения…………………………………………………………………………... | 16 |
| Список использованной литературы……………………………………………….. | 18 |
Введение
Данная работа посвящена древним геометрическим задачам и способам их решения.
Древние геометрические задачи сыграли важную роль в становлении геометрии. Особенно известны среди них три классические задачи на построение: задача о квадратуре круга, задача об удвоении куба и задача о трисекции угла. Многие ученые (от древнего мира до наших дней) предлагала свои решения этих задач, и в данной работе будут рассмотрены причины возникновения этих задач и методы их решения.
Три классические задачи древности
Три классические задачи сыграли важную роль в становлении древнегреческой математики.
С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.
Формулировки задач
Задача о квадратуре круга: требуется построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга.
Задача об удвоении куба: требуется построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного куба.
Задача о трисекции угла: требуется данный, но произвольный угол разделить на три равные части.
О квадратуре круга.
Три аксиомы о квадратуре круга.
1. Естественное решение задачи о квадратуре круга (с помощью циркуля и линейки) не может быть идеальным (то есть абсолютно точным), ибо всегда есть естественная погрешность, возникающая вследствие использования материалов, а также вследствие обстоятельств времени, места и психофизического состояния решающего задачу. Поэтому есть адекватное средствам решение задачи (посильное).
Вывод: Но именно вследствие естественной погрешности данное решение задачи (положительное) является ненаучным (неточным или зависящим от конкретных условий опыта).
2. Абстрактное решение задачи о квадратуре круга (с помощью математических расчетов) достигая идеальной точности и как вследствие этого, достигая доказательной силы, недоступной естественному способу решения задачи, однако не имеет конкретного применения (кроме как для научных же целей).
Вывод: Научное решение задачи (вычислительное) является отрицательным решением, то есть неприменимым вне научно-лабораторной реальности.
3. Задачу о квадратуре круга позволяет решить синтетическое (или личностное) решение, которое совмещает в себе достоинства конкретного способа (наличие реального объекта или проблемы) и абстрактного способа (максимально точное вычисление), избегая недостатков естественного (зависимость от условий) и искусственного (неадекватность вычисления реальности). Соединение объекта измерения и метода вычисления позволяет достичь меры решения.
Вывод: Синтетическое решение задачи о квадратуре круга является реальным решением, ибо достигает адекватности вследствие сочетания конкретных (материальных) факторов с искусственными (идеальными).
Общий вывод: Таким образом, можно говорить о трех способах решения задачи о квадратуре круга: конкретном (с учетом конкретных особенностей задачи, средств измерения), искусственном (вычислительном, как устраняющим какую-либо зависимость-конкретность) и синтетическом, как создающим меру материальности (конкретности) и идеальности (искусственности) в созданном (сотворенном).
1. Естественное решение задачи о квадратуре круга является всегда адекватным объекту, но всегда (неточным), вследствие зависимости от материальных (конкретных) условий (места, времени и используемых инструментов).
Вывод: естественное решение проблемы оказывается положительным решением, то есть зависящим от материального объекта.
2. Искусственное решение задачи о квадратуре круга устраняет материальность задачи и достигает идеальности способа решения (метода), но оказывается абстрактным (используемым в искусственных условиях и неприменимым к материальному объекту).
Вывод: искусственное решение задачи о квадратуре круга является отрицательным, то есть зависящим от идеального субъекта (то есть способа вычисления).
3. Синтетическое решение задачи о квадратуре круга является реальным, ибо совмещает в себе две крайности: материальность объекта и идеальность метода (субъекта).
Заключительный вывод: Три способа решения задачи о квадратуре круга означают:
Естественный способ – выбор объекта измерения.
Искусственный способ – выбор метода исчисления.
Индифферентный способ – выбор результата изменения.
Частное замечание к способам решения задач о квадратуре круга:
1. Конкретное решение задачи (например, с помощью циркуля и линейки) всегда соответствует объекту измерения, но никогда не достигает абсолютной точности (то есть ее невозможности снова повторить в тех же условиях и с тем же объектом с тем же результатом, ибо условия, объект и результат всегда отражают конкретные моменты. Это доказательство (решение) называется положительным, то есть приближенным и зависящим от наличия того или иного объекта измерения.
2. Абстрактное решение задачи (посредством вычислений) лишено объекта (который в этом случае обобщен и унифицирован, то есть лишен конкретных признаков) и потому достигает абсолютной точности вычислений, которая неизменно достижима при тех же вычислениях.
Квадратура круга.
История и способы решения.
Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. В то время у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром.
В папирусе Ринда, написанным Ахмесом, говорится, что сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что П = 3,16). У древних вавилонян и евреев принималось, что длина окружности ровно втрое больше диаметра и, следовательно, П = 3.
Древнегреческие математики также достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях. Они еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей. Так появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение. Однако решение не поддавалось их усилиям. Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Антифонт, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат.
Полного решения, предложенного Антифонтом, не сохранилось, но считается, что оно состояло в следующем: производя последовательно удвоение сторон вписанного многоугольника, он получал в конце концов многоугольник с очень большим числом сторон, которые, по мысли Антифонта, должны совпадать с соответствующими им дугами окружности. Но, так как для любого многоугольника можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликий квадрат, то такой квадрат можно построить и для данного круга. От Плутарха известно, что лучшие математики того времени (в том числе Платон, Евдокс) посещали в темнице Антифонта и были удовлетворены его решением, а ведь требования к строгости доказательств в то время были не ниже сегодняшних.
Архимед (287-212 до н.э.), вычисляя периметры вписанных и описанных 96-ти угольников, в сочинении «Измерение круга» показал, что периметр вписанного многоугольника с любым числом сторон всегда меньше, а описанного – всегда больше длины данной окружности, и что величина заключается между пределами 3,1408 <П < 3,1429.
Известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.) первым указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог: не было подходящего метода. Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов. Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Казалось бы, что с появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части.
Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали различные инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э., греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).
Все предложенные решения в лучшем случае давали приближённое значение с достаточно хорошей точностью. Однако все-таки оставались принципиально приближёнными. Впрочем, авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения. Один из самых громких споров на эту тему произошёл в Англии между двумя выдающимися учёными XVII в., философом Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом. В весьма почтенном возрасте Гоббс опубликовал около десяти «решений» задачи о квадратуре круга.
Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом П , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой П. Теперь известно, П - число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926…, которое было вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим. Работа, сделанная Шенксом, в сущности, бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру.