Файл: Скат на матан 2023 3 сем Демидовs skats present Методичка.docx

Билет 1 5

Вопрос 1 (Интеграл Римана на n–мерном промежутке) 5

Вопрос 21 (Касательная плоскость и нормаль к поверхности в R^3 ) 6

Задача 100 7

Билет 2 7

Вопрос 2 (Множество Лебеговой меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману) 7

Вопрос 22 (Площадь поверхности в евклидовом пространстве.) 8

Задача 101 8

Билет 3 10

Вопрос 3 (Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции) 10

Вопрос 23 (Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности в 3 R , длины кривых на поверхности.) 11

Задача 102 12

Билет 4 15

Вопрос 4 (Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству) 15

Вопрос 24 (Алгебра форм. Кососимметрические формы. Операция внешнего умножения.) 17

Задача 103 20

Билет 5 22

Вопрос 5 (Общие свойства интеграла) 22

Вопрос 25 (Дифференциальные формы в областях евклидова пространства. Определения и примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока.) 23

Задача 104 23

Билет 6 25

Вопрос 6 (Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини и следствия из нее) 25

Вопрос 26 (Координатная запись дифференциальной формы.) 26

Задача 105 26

Билет 7 28

Вопрос 7 (Замена переменных в кратном интеграле) 28

Вопрос 27 (Перенос дифференциальных форм при отображениях.) 30

Задача 106 31

Билет 8 33

Вопрос 8 (Геометрический смысл знака и модуля Якобиана отображения.) 33

Вопрос 28 (Внешний дифференциал формы.) 33

Задача 107 34

Билет 9 34

Вопрос 9 (Приложения кратных интегралов.) 34

Вопрос 27 (Перенос дифференциальных форм при отображениях.) 35

Задача 108 35

Билет 10 36

Вопрос 11 (Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор-функции скалярного аргумента.) 36

Вопрос 30 (Форма объема. Площадь поверхности.) 37

Задача 109 39

Билет 11 39

Вопрос 12 (Параметрически заданная кривая. Касательная к кривой.) 39

Вопрос 19 (Край поверхности. Согласованная ориентация поверхности и ее края) 41

Вопрос 32 (Общая формула Стокса.) 41

Задача 110 42

Билет 12 45

Вопрос 13 (Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.) 45

Вопрос 31 (Интегралы от дифференциальных форм 1 и 2 рода.) 46

Задача 111 46

Билет 13 47

Вопрос 14 (Естественный трехгранник кривой. Формулы Френе.) 47

Вопрос 33 (Классические интегральные формулы Ньютона-Лейбница, Стокса, ОстроградскогоГаусса.) 48

Задача 112 50

Билет 14 51

Вопрос 15 (Определение, вычисление, геометрический смысл кривизны и кручения кривой) 51

Вопрос 34 (Скалярные и векторные поля в областях евклидова пространства. Связь с дифференциальными формами) 52

Задача 113 53

Билет 15 53

Вопрос 16 (Вид кривой вблизи произвольной точки.) 53

Вопрос 35 (Дифференциальные операторы векторного анализа.) 54

Задача 114 55

Билет 16 55

Вопрос 17 (Поверхность в евклидовом пространстве. Примеры) 55

Вопрос 36 (Интегральные формулы в векторных обозначениях. Геометрическое определение div, rot.) 57

Задача 115 57

Билет 17 58

Вопрос 18 (Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности) 58

Вопрос 37 (Потенциал векторного поля, необходимое условие потенциальности. Критерий потенциальности векторного поля.) 59

Задача 116 59

Билет 18 60

Вопрос 20 (Касательное пространство.) 60

Вопрос 28 (Внешний дифференциал формы.) 60

Вопрос 38 (Соленоидальные поля, их свойства.) 61

Задача 117 61

Билет 19 61

Вопрос 33 (Классические интегральные формулы Ньютона-Лейбница, Стокса, ОстроградскогоГаусса.) 61

Вопрос 39 (Теорема Пуанкаре. Точные и замкнутые формы.) 61

Задача 118 62

Опрос: 62

5)Остроградский (спросила что такое v с чертой), сказал, что могу ответить градиент - спросила div: 65

6)Внешний дифференциал формы - определение, его связь с ротором: 66

7)Высчитать касательную плоскость и нормаль: 67