Файл: Даны вершины А(5 3), В(11 9), С(4 15) треугольника авс.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 191
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
x6 = 128Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6. Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (0, 0, 0, 260, 400, 128).
Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi/ai3и из них выберем наименьшее: min (260:2, 400:18, 128:8) = 16. Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (8) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Пересчитаем симплекс-таблицу по правилу прямоугольника. Получаем новую симплекс-таблицу:
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи, который можно записать так: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 16.F(X) = 30·0 + 25·0 + 56·16 = 896.Анализ оптимального плана.В оптимальный план вошла дополнительная переменная x4. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 1-го вида в количестве 228.В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 2-го вида в количестве 112.Значение 40> 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - не выгодно.Значение 73> 0 в столбце x2
означает, что использование x2 - не выгодно.Значение 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - выгодно.Задание № 7. Графический метод. Постановка задачи: для изготовления двух видов продукции имеются три вида ресурсов, объемы которых ограничены величинами b1, b2, b3 соответственно. Расход i-го вида ресурса на изготовление одной единицы j-го вида продукции равен aij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен число x1* и x2* единиц, прибыль, получаемая от реализации одной единицы изготовленной продукции равна с1 и с2 соответственно. Данные задачи могут быть представлены в форме таблицы:
Требуется составить план выпуска продукции (число единиц продукции по каждому виду), удовлетворяющий принятым ограничениям и приносящий максимум прибыли после реализации выпущенной продукции, имея следующие данные:Решение.Исходные данные:
Математическая модель задачи:Обозначим х1, х2 – число единиц продукции вида 1 и 2, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (3х1 + 11х2) единиц ресурса 1, (2х1 + 3х2) единиц ресурса 2, (8х1 + х2) единиц ресурса 3. Потребление ресурсов не должно превышать их запасов, соответственно 165, 58 и 144 единиц. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен 17 и 14 единиц соответственно.Тогда экономико-математическую модель задачи можно сформулировать так:Найти план выпуска продукции Х = (х1, х2), удовлетворяющий системе ограничений:и условию х1, х2 ≥ 0,при котором функция F = 7х1 + 2х2= 0 принимает максимальное значение.Для графического решения задачи построим множество допустимых решений, задаваемое неравенствами-ограничениями (1) – (5):Ограничение (1) в задаче определяетсяпрямой 3x1+ 11x2 = 165, проходящей через точки:
Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (1) получается верное неравенство: 3·0 + 11·0 ≤ 165.Ограничение (2) в задаче определяетсяпрямой 2x1+ 3x2 = 58, проходящей через точки:
Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (2) получается верное неравенство: 2·0+ 3·0≤ 58.Ограничение (3) в задаче определяетсяпрямой 8x1+ x2 = 144, проходящей через точки:
Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (3) получается верное неравенство: 8·0+ 0≤ 144.Ограничение (4) в задаче определяетсяпрямой x1= 17, параллельной оси х2. Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (3) получается верное неравенство: 0≤ 17.Ограничение (5) в задаче определяетсяпрямой x2 = 14, параллельной оси х1. Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (3) получается верное неравенство: 0≤ 14.Ограничения х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 в задаче задают 1-ю четверть координатной плоскости.Множество допустимых решений включает все точки, в которых ограничения выполняются одновременно. Отметим крайние точки получившегося множества: A, B,С, D, E.П остроим градиент функции f (X) = (7, 2)Тв точке (0, 0)Т.Построим линию уровня функции f (X) = C , проходящую через точку (0, 0)Т. Для этого найдем значениеконстантыC,подставивкоординатыточкивцелевуюфункцию:C= 7·0 + 2·0 =0,и затем построим прямую 7x1 + 2x2= 0. Построенная линия уровня перпендикулярна градиенту и пересекает множество допустимых решений.Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации f(X).Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует наибольшее значение f(x), поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
| Базис | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
| x4 | 260 | 3 | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 |
| x5 | 400 | 22 | 14 | 18 | 0 | 1 | 0 |
| x6 | 128 | 10 | 14 | 8 | 0 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -30 | -25 | -56 | 0 | 0 | 0 |
| Базис | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | min |
| x4 | 260 | 3 | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 130 |
| x5 | 400 | 22 | 14 | 18 | 0 | 1 | 0 | 200/9 |
| x6 | 128 | 10 | 14 | 8 | 0 | 0 | 1 | 16 |
| F(X1) | 0 | -30 | -25 | -56 | 0 | 0 | 0 | |
Пересчитаем симплекс-таблицу по правилу прямоугольника. Получаем новую симплекс-таблицу:
| Базис | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
| x4 | 228 | 1/2 | 3/2 | 0 | 1 | 0 | -1/4 |
| x5 | 112 | -1/2 | -35/2 | 0 | 0 | 1 | -9/4 |
| x3 | 16 | 5/4 | 7/4 | 1 | 0 | 0 | 1/8 |
| F(X1) | 896 | 40 | 73 | 0 | 0 | 0 | 7 |
означает, что использование x2 - не выгодно.Значение 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - выгодно.Задание № 7. Графический метод. Постановка задачи: для изготовления двух видов продукции имеются три вида ресурсов, объемы которых ограничены величинами b1, b2, b3 соответственно. Расход i-го вида ресурса на изготовление одной единицы j-го вида продукции равен aij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен число x1* и x2* единиц, прибыль, получаемая от реализации одной единицы изготовленной продукции равна с1 и с2 соответственно. Данные задачи могут быть представлены в форме таблицы:
| Номер ресурса | Объем ресурса (запас) | Номер продукции | |
| 1 | 2 | ||
| 1 | b1 | a11 | a12 |
| 2 | b2 | a21 | a22 |
| 3 | b3 | a31 | a32 |
| Ограничения по выпуску | x1* | x2* | |
| Прибыль | с1 | с2 | |
| Номер ресурса | Объем ресурса (запас) | Номер продукции | |
| 1 | 2 | ||
| 1 | 165 | 3 | 11 |
| 2 | 58 | 2 | 3 |
| 3 | 144 | 8 | 1 |
| Ограничения по выпуску | 17 | 14 | |
| Прибыль | 7 | 2 | |
Математическая модель задачи:Обозначим х1, х2 – число единиц продукции вида 1 и 2, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (3х1 + 11х2) единиц ресурса 1, (2х1 + 3х2) единиц ресурса 2, (8х1 + х2) единиц ресурса 3. Потребление ресурсов не должно превышать их запасов, соответственно 165, 58 и 144 единиц. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен 17 и 14 единиц соответственно.Тогда экономико-математическую модель задачи можно сформулировать так:Найти план выпуска продукции Х = (х1, х2), удовлетворяющий системе ограничений:и условию х1, х2 ≥ 0,при котором функция F = 7х1 + 2х2= 0 принимает максимальное значение.Для графического решения задачи построим множество допустимых решений, задаваемое неравенствами-ограничениями (1) – (5):Ограничение (1) в задаче определяетсяпрямой 3x1+ 11x2 = 165, проходящей через точки:
| x1 | x2 |
| 0 | 15 |
| 55 | 0 |
| x1 | x2 |
| 2 | 18 |
| 29 | 0 |
| x1 | x2 |
| 0 | 144 |
| 18 | 0 |
Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (3) получается верное неравенство: 8·0+ 0≤ 144.Ограничение (4) в задаче определяетсяпрямой x1= 17, параллельной оси х2. Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (3) получается верное неравенство: 0≤ 17.Ограничение (5) в задаче определяетсяпрямой x2 = 14, параллельной оси х1. Множество допустимых решений в задаче будет ограничено этой прямой, и будет содержать точку (0, 0)Т, так как при подстановке координат этой точки в ограничение (3) получается верное неравенство: 0≤ 14.Ограничения х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 в задаче задают 1-ю четверть координатной плоскости.Множество допустимых решений включает все точки, в которых ограничения выполняются одновременно. Отметим крайние точки получившегося множества: A, B,С, D, E.П остроим градиент функции f (X) = (7, 2)Тв точке (0, 0)Т.Построим линию уровня функции f (X) = C , проходящую через точку (0, 0)Т. Для этого найдем значениеконстантыC,подставивкоординатыточкивцелевуюфункцию:C= 7·0 + 2·0 =0,и затем построим прямую 7x1 + 2x2= 0. Построенная линия уровня перпендикулярна градиенту и пересекает множество допустимых решений.Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации f(X).Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует наибольшее значение f(x), поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: