ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 134
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
14
координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.
Основные свойства технических моделей
Построение любой математической модели можно условно представить состоящим из 7 этапов (рис. 2.4).
1. Содержательная постановка задачи моделирования:перечень сформулированных в содержательной форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих исследователя.
Основным назначением этого этапа является анализ неопределенностей и формализация понятия цели моделирования.
Рис. 2.4. Этапы построения и использования математической модели
2. Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформули- рованный в терминах конкретных дисциплин (физики, математики, теоретиче- ской механики и т. д.) перечень основных вопросов, интересующих исследова- теля, и совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моде- лирования.
15
На этом этапе строится некоторая идеализированная модель объекта, для чего формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодей- ствии с окружающей средой, изменении внутренних параметров.
Например, могут быть сделаны следующие предположения относительно физических свойств объекта: невесомый стержень, прямолинейное распростра- нение световых лучей и т. д.
Таким образом, отбрасываются все факторы и эффекты, которые пред- ставляются не самыми существенными при функционировании объекта моде- лирования, и выделяются наиболее значимые его свойства и связи для целей исследования.
3. Математическая постановка задачи моделирования – это совокуп- ность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объ- екта моделирования.
На этом этапе осуществляется выбор и формулировка закона (вариацион- ного, аналогии, закона сохранения и т. п.), которому подчиняется объект, и его запись в математической форме: выбирается (или строится) «эквивалент» объ- екта, отражающий в математической форме его важнейшие свойства.
4. Выбор и обоснование метода решения задачи.
Выбор метода исследования в значительной степени зависит от квалифи- кации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей.
5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ
(численный эксперимент, аналитические исследования).
При использовании современных математических пакетов (MathCAD,
MatLab, Maple, Excel и т. д.) выполнение данного пункта существенно ускоря- ется.
6. Проверка адекватности модели.
Здесь оценивается степень соответствия результатов, полученных по раз- работанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.
Проверка адекватности модели преследует две цели:
1)
Убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулиро- ванных на этапах концептуальной и математической постановок;
16 2)
Установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.
Проверка разработанной модели выполняется путем сравнения с экспе- риментальными данными о реальном объекте или с результатами других хоро- шо себя зарекомендовавших математических моделей.
В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором – о сравнении с результатами решения тестовой задачи.
7. Практическое использование построенной модели и анализ
результатов моделирования.
Данный этап включает оценку и обобщение результатов вычислений по следующим направлениям:
- выявление закономерностей, которые позволяют оптимизировать или уточнить исследуемый процесс;
- уточнение области применения модели и оценка возможности ее упроще- ния с целью повышения эффективности при сохранении требуемой точности;
- возможности дальнейшего развития модели;
- проведение параметрических исследований с целью определения влияния отдельных характеристик системы или процесса на выходные параметры, кото- рые определяются в результате моделирования.
17
ЛЕКЦИЯ 3. ИЕРАРХИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей в зависимости от уровня иерархии, аспекта, стадии и этапа проектирования.
Слово «иерархия» означает расположение частей или элементов целого в порядке от низшего к высшему.
Любую сложную техническую систему практически невозможно полно и детально описать в рамках единой математической модели. Различные степени системы изучены в разной степени (например, с разной степенью достоверно- сти можно описать процесс перерезания корней растений при работе оборудо- вания для выкопки посадочного материала и процессы в гидроприводе рабоче- го органа), поэтому их математические описания обладают разной точностью, однако при накоплении информации математические модели становятся более точными и адекватными. При использовании единой модели точность модели- рования целиком определяется точностью описания наименее изученных сис- тем, а любая новая информация требует полной переделки модели.
Поэтому наиболее эффективные результаты при описании и изучении сложных систем дает иерархический подход, предусматривающий разбиение системы на вертикально соподчиненные подсистемы разных уровней и разра- ботку модульных моделей каждой из них. Таким образом, возникает много- уровневая иерархическая система моделей, в основе которой лежит модульный принцип, предусматривающий разработку не одной, а семейства взаимосвязан- ных и взаимодействующих между собой моделей. При таком подходе измене- ние представлений об отдельных процессах или об отдельных элементах сис- темы не требует полной переделки модели и затрагивает лишь только отдель- ные ее модули.
Концепции такого иерархического описания предусматривают введение ряда уровней иерархии.
На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают матема-
тические модели элементов и систем.
Понимание физических процессов и точность описания объекта растет с переходом к нижним уровням иерархии. Общие цели и задачи функционирова- ния системы более полно раскрываются на начальных уровнях (рис. 3).
18
Рис. 3. Уровни иерархии при математическом моделировании
Одним из иерархических подходов является подход, реализующий прин- цип «от простого – к сложному», когда следующий шаг делается после доста- точно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает це- почка все более полных и точных моделей, каждая из которых обобщает пре- дыдущие.
При переходе к более высокому иерархическому уровню блочного струк- турирования система низшего уровня становится элементом системы нового уровня и, наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится сис- темой. Обычно, чем ниже уровень иерархии блочного структурирования техни- ческого объекта, тем более детальное описание его физических свойств.
Иерархия математических моделей часто строится и по противоположно- му принципу «от сложного – к простому».
В этом случае из наиболее точно описывающей исследуемый процесс и сложной модели при соответствующих упрощениях получается последователь- ность все более простых (но имеющих уменьшающуюся область применимо- сти) моделей.
В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня:
верхний (метауровень); средний (макроуровень); нижний (микроуровень).
Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на ко- торых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, разра- ботка концепции и технического решения, разработка технического предложе- ния. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории ав- томатического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.
19
На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамиче- скую систему с сосредоточенными параметрами. Математические модели мак- роуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.
На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распреде- ленными параметрами. На микроуровне проектируют неделимые по функцио- нальному признаку элементы технической системы, называемые базовыми
элементами. Примерами таких элементов являются корпусные детали, валы, лемеха, сферические диски и т. д. При этом, естественно, базовый элемент рас- сматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональ- ных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих меж- ду собой и находящихся под воздействием внешней среды и других элементов технического объекта, также являющихся внешней средой по отношению к ба- зовому элементу.
На микроуровне осуществляется детальное описание физических свойств технического объекта. Объекты рассматриваются как сплошные среды, имею- щие конечные области определения, выделяемые в трехмерном геометрическом пространстве. Такие объекты представляют собой динамические системы с распределенными параметрами. Их также называют непрерывными системами.
Функционирование таких систем описывается дифференциальными уравне- ниями в частных производных.
Исследуемые объекты – отдельные детали машин и механизмов, у кото- рых принимаются в расчет все геометрические размеры и другие существенные параметры, например, теплофизические свойства и структура материала.
Общий вид математической модели, описывающей физические свойства технического объекта с распределенными параметрами, может быть представ- лен в виде системы n независимых уравнений
n
i
t
x
x
x
F
i
i
i
2
,
1
,
0
)
,
,
,
(
2 2
(3.1)
Независимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты x
i
, i = 1, 2…n и время t.
Модели микроуровня универсальны, поскольку дают наиболее полное описание физических свойств технического объекта. Однако они чрезвычайно
20 сложны даже для отдельного элемента машины или механизма и требуют зна- чительных затрат времени на их составление.
Поэтому при моделировании достаточно сложных технических объектов и технологических процессов приходится принимать ряд допущений и упроще- ний и переходить к моделированию на макроуровне.
Объекты моделирования на макроуровне рассматриваются как сложные системы, состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. На мак-
роуровне объект имеет сложную неоднородную структуру, состоящую из эле- ментов – объектов проектирования микроуровня, которые в дальнейшем рас- сматриваются как неделимые единицы.
Математической моделью объектов на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений
)
,
(
t
V
F
dt
V
d
,
(3.2) где t – независимая переменная – время; V – вектор фазовых координат, кото- рый требуется определить в процессе решения задачи.
21
1 2 3 4 5 6 7
ЛЕКЦИЯ 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНИКЕ
В настоящее время моделирование является важнейшим элементом лю- бого прикладного исследования или инженерной разработки.
Термин «моделирование» охватывает широкий диапазон разделовчело- веческой деятельности – от истории до экономики.
В технике, в соответствии с различными назначениями методов модели- рования, понятие «моделирование» используется не только и не столько с це- лью получения объяснений различных явлений, сколько для создания и совер- шенствования объектов и процессов искусственной технической среды. Любые научно-технические расчеты (на прочность, устойчивость, надежность и т. п.), связанные с реализацией большинства типовых процедур профессиональной деятельности инженера, в сущности, являются специализированными видами моделирования.
Моделирование в классическом естествознании обычно всегда ассоции- ровалось с каким-либо натурным экспериментом. Компьютерные технологии ввели в практику так называемый «вычислительный эксперимент», отли- чающийся от обычного «прямого» натурного эксперимента тем, что в процесс познания включается «промежуточное звено» – компьютерная модель, яв- ляющаяся одновременно и средством, и объектом экспериментального иссле- дования, заменяющим изучаемую систему.
Компьютерное моделирование позволяет изучать такие объекты, прямой эксперимент над которыми затруднѐн, экономически невыгоден, либо вообще невозможен в силу тех или иных причин.
Сами компьютерные технологии порождают технические объекты, суще- ствующие только виртуально (например, программное обеспечение). Отсутст- вуя как материальноеявление, они, тем не менее, обеспечивают производи- тельную деятельность множества людей, имеют определенный состав средств, сложную структуру, производят ценную продукцию, при этом не всегда мате- риальную (например, электронная техническая документация, компьютерные модели, виртуальные изображения, компьютерная анимация).
Однозначная классификация видов моделирования затруднительна в силу многозначности понятия «модель» в науке и технике.
22
Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования систем и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирова- ния. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.
Классификация математических моделей, используемых при проектиро- вании технических систем, приведена на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Классификация математических моделей технических объектов
По аналогии с моделями можно, прежде всего, различать:
- практическое, материальное, натурное (физическое) моделирование;
- теоретическое (абстрактное) моделирование.
Абстрактное (теоретическое) моделированиев науке и технике основа- но на использовании знаковых систем. На верхнем уровне абстрагирования вы- деляют концептуальное моделирование, при котором совокупность уже извест- ных фактов или представлений относительно исследуемого объекта или систе- мы истолковывается с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними, с помощью естественного или искусственного языков.
При знаковом моделировании моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и пред-
ложения в некотором алфавите (естественного или искусственного языка).