Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 284
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
148
???? = ????;
???????? = ????????????????????????????????????????????????????????[{????????, ????????}, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????}, ???????????????? → ????????????????];
???????? = ????????????????????????????????[{????????????, ????????????????????????????????????[????. ????????], ????????????????????[{????????, ????????}]}];
????????????????[????????, ????????]
□
Положение центра тяжести трехмерного тела определяется по формулам
V
c
z
d
y
d
x
d
x
M
x
1
,
V
c
z
d
y
d
x
d
y
M
y
1
,
V
c
z
d
y
d
x
d
z
M
z
1
, где
V
z
d
y
d
x
d
M
представляет массу тела.
Пример. Найдем центр массы полушара
0 1
2 2
2
z
z
y
x
плотности
1
. В силу симметрии
0
V
z
d
y
d
x
d
x
и
0
V
z
d
y
d
x
d
y
. Далее имеем
???????? = ????????????????????????????????????[???? ????????????????????[????
????
+ ????
????
+ ????
????
≤ ???? && ???? ≥ ????],
{????, −????, ????}, {????, −????, ????}, {????, ????, ????}]
???? = ????????????????????????????????????[????????????????????[????
????
+ ????
????
+ ????
????
≤ ???? && ???? ≥ ????],
{????, −????, ????}, {????, −????, ????}, {????, ????, ????}]
???????? = ????????/????
3 8
Т.о. центр массы единичного полушара находится в точке
8 3
,
0
,
0
□
Пример. Определить положение центра тяжести плоского треугольника, и конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг одного из катетов на оси Oz. Вершина треугольника находится в точке (0,0,h), а длина катета основания равна b (см. следующий рисунок)
Вычисляем положение центра тяжести треугольника
????????????????????[????, ????, ????, ????, ????];
???????????? = ????????????????????[???? ≤ ???? ???? −
????
????
&& ???? ≥ ???? && ???? ≥ ????];
???????????? = ????????????????????????????????[{????, ????, ????}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0];
???? = ???????????????????????????????????? ????????????, ???????????? ;
???????? = ???????????????????????????????????? ???? ∗ ????????????, ???????????? ;
???????? = ???????????????????????????????????? ???? ∗ ????????????, ???????????? ;
149
{????????, ????????} = {????????, ????????}/????
????
3
,
????
3
Вычисляем положение центра тяжести конуса. В силу симметрии его центр тяжести лежит на оси Oz.
???????????? = ????????????????????[???? <= ???? ≤ ????(???? −
????
????
+ ????
????
????
)];
???????????? = ????????????????????????????????[{????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0];
???????? = ???????????????????????????????????? ????????????, ???????????? ;
???????????? = ???????????????????????????????????? ???? ∗ ????????????, ???????????? ;
???????? = ????????????/????????
????
4
Как видим вертикальная координата центра тяжести конуса отличается от вертикальной координаты центра тяжести треугольника.
Нарисуем наши фигуры и положения их центров тяжести (см. предыдущий рисунок)
???? = ????; ???? = ????;
???????? = ????????????????????????[????(???? −
????
????
+ ????
????
????
), {????, −????, ????}, {????, −????, ????},
???????????????????????????????????????????????????????? → ???????????????????????????????? ????, ????, ???? , ????
????
+ ????
????
≤ ????
????
,
???????????????????????????????????? → {????????, ????????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????????????????????[????. ????], ???????????????? → ????????????????];
???????? = ????????????????????????????????????????[{????????????, ????????????????????????????[{{????, ????, ????}, {????, ????, ????}, {????, ????, ????}}],
????????????????, ????????????????????????[{????????, ????, ????????}, ????. ????????],
????????????????????, ????????????????????????[{????, ????, ????????}, ????. ????????]}];
????????????????[????????, ????????, ???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????????? → ????????????????]
□
Механическая работа.
Работа при перемещении тела в силовом поле
z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,
,
,
F
вдоль кривой L выражается криволинейным интегралом
L
L
z
d
R
y
d
Q
x
d
P
d
A
r
F
При движении в плоскости
z
=0 третье слагаемое в криволинейном интеграле отсутствует. Если траектория движения L задана параметрически
t
y
y
t
x
x
,
, то формула принимает вид
1 0
'
,
'
,
t
t
t
d
t
y
t
y
t
x
Q
t
x
t
y
t
x
P
A
, где t
0
и t
1
определяют положение начальной и конечной точек кривой.
Пример. Найти работу поля
y
x
y
x
,
F
при перемещении тела из начала координат
0
,
0
O
в точку
1
,
1
A
по кривой
1
L
(отрезок прямой
x
y
) и по кривой
2
L
(отрезок параболы
x
y
2
).
150
???????? ????_ = ????;
???????? ????_ = ????;
???????????????? = ???????????????????????????????????? ???? ∗ #, ????, ????, ???? + ???????????????????????????????????? ???? + # ???? #, ???? , ????, ????, ???? &;
???????????????? ???????? ????
????????????????[????????[????]]
4 3
37 30
????????????????[{????????[????], ????????[????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????????????????????, ????????????????????????????????????[????. ????????]}}]
□
Момент инерции.
Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение ее массы на квадрат расстояния точки до этой оси.
Для двумерных тел плотностью
y
x,
момент инерции относительно осей Ox и Oy вычисляется по формулам
D
y
d
x
d
y
y
x
Ix
2
,
,
D
y
d
x
d
x
y
x
Iy
2
,
При вычислении моментов инерции геометрических фигур полагаем
1
Пример. Найти момент инерции треугольника с основанием b и высотой h относительно его основания.
Основание треугольника примем за ось Ox, а его высоту – за ось Oy.
Абсциссы точек пересечения боковых сторон с осью Ox обозначим b
1
и b
2
1 2
b
b
b
. Имеем
????????????????????[????????, ????????, ????, ????];
???????????? = ????????????????????????????????????[????
????
????????????????????[
????
????????
+
????
????
≤ ???? &&
????
????????
+
????
????
≤ ???? && ???? ≥ ????],
????, −∞, ∞ , ????, −∞, ∞ , ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???????? < 0 && ???????? > 0];
???????? = ????????????????????????????????[????????????]/. (???????? − ????????) → ????
????????
3 12
???????? = −????; ???????? = ????; ???? = ????;
????????????????????????????????????????[
????
????????
+
????
????
≤ ???? &&
????
????????
+
????
????
<= 1 && ???? ≥ ????, {????, ????????, ????????}, {????, ????, ????}]
151
Пример. Найти момент инерции эллипса
1 2
2 2
2
b
y
a
x
относительно его главных осей.
????????????????????[????, ????, ????, ????];
???????? = ????????????????????????????????????[????
????
????????????????????[
????
????
????
????
+
????
????
????
????
≤ ????], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0]
???????? = ????????????????????????????????????[????
????
????????????????????[
????
????
????
????
+
????
????
????
????
≤ ????], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0]
1 4
???? ????
3
????
1 4
????
3
???? ????
□
3.8
.2 Примеры решения задач распространения тепла
Задача о распространении тепла в тонком однородном неограниченном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована (тепло может распространяться только вдоль оси x), математически формулируется следующим образом
[3, 7]: найти ограниченную функцию
t
x
u ,
x
t
,
0
, удовлетворяющую уравнению теплопроводности
2 2
2
x
u
a
t
u
x
t
,
0
(1) и начальному условию
)
(
)
0
,
(
x
x
u
x
.
(2) где
t
x
u , температура сечения x стержня в момент времени t (стержень тонкий, это значит, что температура точек любого поперечного сечения x одинакова).
Известно, что общее решение этой задачи представляется интегралом Пуассона следующего вида
d
e
t
a
t
x
u
t
a
x
2 2
4
)
(
)
(
2 1
)
,
(
(3)
Если в этом интеграле сделать замену
t
a
x
2
, то мы получим
d
e
t
a
x
t
x
u
2 2
1
,
(4)
152
Пример. Бесконечный стержень. Начальная температура всюду ноль, кроме
отрезка [-1,1], где она равна единице, т.е.
1 1
,
0 1
1
,
1 0
,
x
x
x
x
x
u
. В этом примере интеграл (4) вычисляется символьно и выражается через интеграл ошибок.
???? =. ;
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{????, ???? ≤ −????}, {????, ???? < 1}}, ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????????????????????[
????
????
????????????????????????????????????[????[???? + ???????? ????????]????????????[−????
????
],
????, −∞, ∞ , ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0]]
1 2
Erf
1 − ????
2???? ????
+ Erf
1 + ????
2???? ????
На следующем рисунке представлены графики температуры
t
x
u , в различные моменты времени (коэффициент теплопроводности
1 2
a
).
???? = ???????????????? ????. ???????????? , ???????????????????? ????, ????, ????. ????, ????, ????. ???? ; ???? = ????;
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → {????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}]
□
Рассмотрим задачу о распространении тепла в полуограниченном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, а конец x=0 поддерживается при нулевой температуре, т.е.
0 0
,
0
t
t
u
. Решение этой задачи может быть получено методом продолжения, когда начальная температура
(x), заданная на положительной полуоси Ox, продолжается на отрицательную полуось нечетным образом. Можно показать [3], что решение в форме интеграла Пуассона (3) с любой нечетной функцией
(
) будет представлять решение задачи (1), (2), которое обращается в ноль при x=0. Оно, тем самым, при положительных x будет давать решение поставленной задачи для полубесконечного стержня.
Пример. Полубесконечный стержень. Начальная температура всюду равна 1,
температура на левом конце равна нулю, т.е.
0 1
0
,
x
x
u
,
0 0
,
0
t
t
u
Вначале строим нечетную функцию
0
,
1 0
,
1
x
x
x
и подставляем ее в интеграл (4), который выражается интегралом ошибок. Затем строим графики функции
0
,
x
t
x
u
в некоторые фиксированные моменты времени.
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{−????, ???? ≤ ????}}, ????]; ???? =. ;
153
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????????????????????[
????
????
????????????????????????????????????[????[???? + ???????? ????????]????????????[−????
????
],
{????, −∞, ∞}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0&&???? > 0]]
???? = ????????????????[{????. ????????????}, ????????????????????[????, {????, ????. ????, ????, ????. ????}]]; ???? = ????;
????????????????[???????????????????????????????? ???????????????????? ???? ????, ???? , ????, ???? , ????, ????, ???? , ???????????????????????????????????????????? → ???? ,
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}]
Erf
????
2???? ????
Результирующая последовательность графиков иллюстрирует процесс остывания полубесконечного стержня, левая граница которого поддерживается при нулевой температуре.
□
Пример. Полубесконечный стержень. Начальная температура везде 0, кроме
отрезка у границы, где она имеет треугольную форму. Температура левого
конца равна нулю, т.е.
0 0
,
0
t
t
u
В следующем коде мы строим график функции
x
, которая представляет начальную температуру (следующий рисунок слева) и график функции
x
, которая является ее нечетным продолжением (следующий рисунок справа).
???? ????_ = ???????????????????????????????????? ????, ???? ≤ ???? , ????, ???? < 1 , ???? − ????, ???? < 2 , ???? ;
????????????????[????[????], {????, −????, ????}]
(* график слева *)
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{????, ???? ≤ −????}, {−???? − ????, ???? < −????}, {????, ???? < 1},
{???? − ????, ???? < 2}}, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}]
(* график справа *)
Функцию
x
используем в интеграле (4) для построения решения задачи.
Интеграл вычисляется явно, но из – за длины мы не приводим полный вид его выражения.
???? =. ;
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????????????????????[
????
????
????????????????????????????????????[????[???? + ???????? ????????]????????????[−????
????
],
????, −∞, ∞ , ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0]]
1 2 ????
ⅇ
−
2+????
2 4????
2
????
(2????(−1 + ⅇ
????
????
2
????
)(1 + ⅇ
????
????
2
????
− 2ⅇ
3+2????
4????
2
????
) ???? + ⋯ )
154
???? = ????????????????[{????. ????????????, ????. ????????}, ????????????????????[????, {????, ????. ????, ????. ????, ????. ????}]];
???? = ????;
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}, ???????????????????????????????????????????? → {????}]
□
Пусть начальная температура полубесконечного стержня равна 0
0
)
0
,
(
x
u
, а на его левом конце задана температура
)
(
)
,
0
(
t
t
u
. Решение этой задачи имеет вид ([2], ф.28 стр. 541)
t
t
a
x
d
e
t
a
x
t
x
u
0
)
(
4 2
3 2
2
)
(
)
(
2
)
,
(
Сделав замену переменной интегрирования
t
a
x
2
, выражение для функции
u
приведем к следующему удобному для вычислений виду
t
a
x
d
e
a
x
t
t
x
u
2 2
2 2
2
)
4
(
1
)
,
(
(5)
При вычислениях интегралов по этой формуле следует обращать внимание на особенность решения при t=0. Но формула «работоспособна» для любых
0
t
, где τ может быть сколь угодно малыми положительным числом.
1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Пример. Полубесконечный стержень. Начальная температура всюду 0,
температура на левом конце равна
2
,
0 2
0
,
1
,
0
t
t
t
t
u
Вначале создаем функцию
t
, представляющую граничный режим.
???? ????_ = ???????????????????????????????????? ????, ???? < 0 , ????, ???? ≤ ???? , ???? ; ???? =. ;
????????????????[????[????], {????, ????, ????}]
Теперь строим решение, используя интеграл (5).
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????????????????????[
????
????
????????????????????????????????????[????[???? −
????
????
????????
????
????
????
]????????????[−????
????
], {????,
????
???????? ????
, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > ????&&???? > ????&&???? > ????]]
155 1
2
(Erf[
????
2???? −2 + ????
] − Erf[
????
2???? ????
]) ???? > 0 && ???? > 2 && ???? > 0 1
2
Erfc[
????
2???? ????
]
True
Решение получено в форме кусочной функции. Теперь построим графики решения для моментов времени
2
t
и для моментов
2
t
???? = ????. ????????????, ????. ????, ????. ????, ????, ????, ????. ???????? ; ???? = ????;
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → {????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}](* левый рисунок *)
???? = ????. ????????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????, ???? ;
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → {????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}] (* правый рисунок *)
Скачкообразное изменение граничной температуры в момент времени t=2 меняет качественную картину распределения температуры у торца стержня после этого момента.
□
Пример. Полубесконечный стержень. Начальная температура всюду 0,
температура на левом конце периодически меняется по треугольному закону.
Определим периодическую пилообразную непрерывную кусочно- линейную функцию
2 1
)
,
(
w
x
w
x
w
x
stx
или
w
x
w
w
x
stc
2
cos arccos
2
,
,
(6) где w является периодом этой функции, а квадратные скобки [x] обозначают функцию взятия наибольшего целого, не превосходящего x,
????????????[????_, ????_] =
????
????????
???????????????????????? ????????????
????????????
????
;
????????????????[????????????[????, ????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Используем ее в качестве граничного значения
2
,
,
0
t
stc
t
t
u
Поскольку аналитически интеграл (5) не вычисляется, будем его считать численно.
???? = ????; ????[????_]: = ????????????[????, ????];
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[????[???? −
????
????
????????
????
????
????
]????????????[−????
????
], {????,
????
???????? ????
, ∞},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????];
156
Для построения анимации используем функцию ListAnimate. Вначале создаем список графиков lt, которые будут представлять кадры анимации.
Имейте ввиду, что создание списка lt займет некоторое время.
???????? = ????????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {????????????????????, ????????????????????????????????????[????. ????????]},
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????}}], {????, ????. ????, ????, ????. ????}];
Теперь строим анимацию.
????????????????????????????????????????????[????????, ???????????????????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????]
На следующем рисунке представлено несколько кадров анимации – графиков распределения температуры в полубесконечном стержне в моменты времени
5 2
,
0 2
,
5 1
,
0 1
,
3 0
t
Графики распределения температуры внутри стержня через интервалы времени
2
t
имеют похожую форму. На следующем рисунке слева приведены графики температуры в моменты t = 1,3,5,7,9 и на рисунке справа – в моменты
t = 2,4,6,8,10.
????????????????[{????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → ????, ???? , −????. ????, ???? , ???????????????????????????????????????????? → {????, ????, ????, ????, ????}]
????????????????[{????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {−????. ????, ????}}, ???????????????????????????????????????????? → {????, ????, ????, ????, ????????}]
Графики в более поздние моменты времени имеют более высокий профиль.
□
Решение уравнения теплопроводности для стержня конечной длины l, когда начальная температура задана функцией
(
), а концы стержня поддерживаются при нулевой температуре, можно находить по формуле [5]
d
e
l
x
e
l
x
l
t
x
u
l
l
t
a
l
t
a
0 3
3
)
,
2
(
)
,
2
(
)
(
2 1
)
,
(
2 2
2 2
2 2
,
(7) где
q
z,
3
является тета функция 3-го порядка ([4] стр.334). В пакете
Mathematica она реализуется функцией EllipticTheta[3,z,q].
157
Пример. Конечный стержень длины l. Температура концов ноль. Начальная
температура единица. Вычисления интеграла по формуле (7) реализуем численно.
???? = ????; ???? = ????; ????[????_]: = ????;
????????????[????_, ????_, ????_]: = ????????????????????????????????????????????????????[????, ????
???? − ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
]
????????????[????_, ????_, ????_]: = ????????????????????????????????????????????????????[????, ????
???? + ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
]
????[????_, ????_] ≔
????
????????
????????????????????????????????????????[????[????](????????????[????, ????, ????] − ????????????[????, ????, ????]), {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????]
????????????????[{????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????],
????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????. ????}}, ???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}]
Для решения уравнения теплопроводности на конечном отрезке можно использовать классический метод Фурье [3]. Для рассмотренной нами задачи, когда начальная температура постоянна
0
u
x
, а на обеих границах поддерживается нулевая температура, решение Фурье имеет вид ([6], стр. 54)
2 2
2 0
0 1
2
exp
1 2
sin
1 2
1 4
l
t
n
a
l
x
n
n
u
u
n
Построим манипулятор с графиками температуры в стержне в различные моменты времени.
???????? = ????; ???? = ????; ???? = ????;
???? ????_, ????_ ≔
???? ????????
????
∗
????????????[
????
???????? + ????
????????????[
???????? + ???? ???? ????
????
]????????????[−
????(???????? + ????)
????
????
????
????
????
????
], {????, ????, ????????}]
????????????????????????????????????????[
???????????????? ???? ????, ???? , ????, ????, ???? , ???????????????????????????????????? → ????, ???? , ????, ????. ???? ,
{????, ????. ????????????????, ????. ????}]
Обратите внимание, что для ускорения вычислений мы использовали частичную сумму ряда, представляющего решение (суммировали до n=30).
□
158
Пример. Конечный стержень длины l. Начальная температура равна нулю. На
границах поддерживаются постоянные температуры u
1
и u
2
.
Для поставленной задачи решение Фурье имеет вид ([7], стр. 98, 101, 106)
2 2
2 1
1 2
1 2
1
exp sin
1 2
l
t
n
a
l
x
n
n
u
u
l
x
u
u
u
u
n
n
Представим решение в различные моменты времени, используя манипулятор.
???? = ????; ???? = ????; ???????? = ????; ???????? = ????;
???? = ????????????????????????????????[????????????????[{????. ????????????}, ????????????????????[????. ???????? ∗ ????, {????, ????????}]]];
????????????????????????????????????????????????????[{????},
???? ????_, ????_ ≔ ???????? + ???????? − ????????
????
????
+
????
????
????????????
−????
????
???????? − ????????
????
????????????
???? ???? ????
????
???????????? −
????????
????
????
????
????
????
????
, ????, ????, ???????? ;
????????????????????????????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????, ????},
????????????????????????????????????−> {{????, ????}, {−????. ????, ????????}}, ???????????????????????????????????? → ????], {????, ????}]]
На следующем рисунке представлен манипулятор с графиками решения в моменты времени
5 0
,
2 0
,
1 0
,
05 0
,
001 0
t
Для ускорения вычислений мы использовали частичную сумму ряда с максимальным значением n=50.
В моменты времени
4 0
t
графики распределения температуры практически не изменяются и совпадают с последним графиком. Это значит, что в стержне установилась температура
x
l
u
u
u
t
x
u
1 2
1
)
,
(
и начиная с момента t=0.4 влияние начального условия пренебрежимо мало.
□
Пример. Конечный стержень длины l. Температура концов ноль. Начальная
температура имеет форму треугольника
1 1
x
x
.
???????? ????_ = ???? − ???????????? ???? − ???? ;
????????????????[????????[????], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
В этом примере мы используем решение для бесконечного стержня (4), используя метод продолжения. Нам надо построить нечетное периодическое продолжение начальной функции
x
с отрезка [0,2] на всю вещественную ось. Для этого используем функцию
w
x
stc ,
, определяемую формулой (6).
159
Если L длина отрезка, то соответствующее продолжение будет иметь вид
L
x
stc
x
L
x
,
1
/
????????????[????_, ????_] = ???????????? ???? − ???? ????????????????????
????
????
+
????
????
;
????????????????[????????????[????, ????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
????[????_] = (−????)^????????????????????[????/????]????????????[????, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Подставив полученную функцию в (4), мы получим решение для конечного отрезка. Cтроим решение
???? = ????;
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[???? ???? + ???? ???? ???? ???? ????????????[−????
????
], {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????,
???????????????????????? → "????????????????????????????????????????????????????????????????????????"] и его графики в разные моменты времени
????????????????[{????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????],
????[????, ????. ????], ????[????, ????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????. ????}},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}]
В работе [7] стр. 103 приводится решение в рядах для области
l
x
l
с начальной температурой
l
x
l
u
/
0
и нулевой температурой концов
2 2
2 0
2 2
0 4
1 2
exp
2
)
1 2
(
cos
1 2
1 8
,
l
t
n
a
l
x
n
n
u
t
x
u
n
Используем его для сравнения с решением, полученным выше.
???????? = ????; ???? = ????; ???? = ????;
???? ????_, ????_ ≔
???? ????????
????
????
????????????[
????
(???????? + ????)
????
????????????[
???????? + ???? ???? ????
????????
]????????????[−
????(???????? + ????)
????
????
????
????
????????
????
], {????, ????, ????????}]
???? = {????. ????????????????, ????. ????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????};
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, −????, ????},
???????????????????????????????????? → −????, ???? , ????, ????. ???? , ???????????????????????????????????? → ???????????????????????????????????? ????. ???????? ,
???????????????????????????????????????????? → ????]
160
Для ускорения вычислений мы использовали частичную сумму ряда, представляющего решение (суммировали до n=30).
Когда решение в виде ряда известно, то вычисления происходят значительно быстрее.
□
Пример. Конечный стержень длины L. Температура левого конца ноль.
Правый конец теплоизолирован. Начальная температура линейная функция.
Условие теплоизолированности правого конца математически формулируются как
0
,
x
t
L
u
. Линейность начальной функции означает, что
x
k
x
u
0
,
Продолжим начальную функцию четно относительно точки x=L на отрезок [L,2L], затем полученную функцию с отрезка [0,2L] продолжим нечетно на отрезок [-2L,0], и затем с отрезка [-2L,2L] продолжим периодически на всю ось. Описанное построение в п. 2.4.5 (пример 5.5) мы назвали четно – нечетным периодическим продолжением функции. Если полученную функцию Ф(x) подставить в (4), то получим решение нашей краевой задачи.
Пусть k=1. Четно – нечетное продолжение линейной функции
x
y
с отрезка
L
,
0
на всю ось имеет вид
L
x
stc
x
L
x
,
1
/
, совпадающий с функцией
x
из предыдущего примера.
????[????_] = (−????)^????????????????????[????/????]????????????[????, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Эта функция имеет тот же вид, что и в предыдущем примере, только решение теперь надо рассматривать на отрезке [0,1], а не [0,2]. Имеем
???? = ????;
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[????[???? + ???????? ????????]????????????[−????
????
], {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????? → "????????????????????????????????????????????????????????????????????????"]
???? = {????. ????????????, ????. ????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????};
????????????????[{????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????],
????[????, ????. ????], ????[????, ????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????. ????}},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}, ???????????????????????????????????????????? → ????]
161
Касательная к графику решения на правой границе в любой момент времени горизонтальна, т.е.
0
,
'
t
L
u
x
. Это означает, что тепловой поток равен нулю.
□
Пример. Конечный стержень длины l. Начальная температура ноль.
Температура левого конца равна 1, правого – ноль. В соответствии с формулой
(7) функция вида
d
e
l
x
e
l
x
l
l
t
x
u
l
l
t
a
l
t
a
0 3
3 2
2 2
2 2
2
,
2
,
2 1
2 1
)
,
(
представляет решение уравнения теплопроводности с нулевыми граничными условиями и начальной температурой
l
x
x
u
/
1 0
,
. Тогда функция
)
,
(
1
)
,
(
t
x
u
l
x
t
x
u
будет представлять решение нашей задачи, поскольку она удовлетворяет уравнению теплопроводности, на левом конце принимает значение 1, на правом x=l – принимает значение 0, и значение функции
)
,
( t
x
u
при t=0 для всех 0 будет 0. Т.о. общее решение нашей задачи будет иметь вид
d
e
l
x
e
l
x
l
l
l
x
t
x
u
l
l
t
a
l
t
a
0 3
3
)
,
2
(
)
,
2
(
)
1
(
2 1
1
)
,
(
2 2
2 2
2 2
Построим графики распределения температуры в стержне для этой задачи.
???? = ????; ???? = ????; ????[????_]: = ???? −
????
????
;
????????????[????_, ????_, ????_]: = ???????????????????????????????????????????????????? ????, ????
???? − ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
????????????[????_, ????_, ????_]: = ???????????????????????????????????????????????????? ????, ????
???? + ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
????[????_, ????_] ≔ ???? −
????
????
−
????
????????
????????????????????????????????????????[????[????](????????????[????, ????, ????] − ????????????[????, ????, ????]),
{????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????]
???? = {????. ????????????, ????. ????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????. ????};
????????????????[{????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????],
????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {−????. ????, ????. ????}},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}, ???????????????????????????????????????????? → ????]
В моменты времени
5 0
t
графики распределения температуры практически не изменяются и совпадают с последним графиком. Это значит, что в стержне установилась температура
x
t
x
u
1
)
,
(
и начиная с момента t=0.5 влияние начального условия пренебрежимо мало.
□
162
Решение задачи распространения тепла в неограниченном во всех направлениях двумерном теле, имеющего в нулевой момент времени температуру
y
x
y
x
u
,
0
,
,
, дается следующей формулой.
d
d
e
t
a
t
y
x
u
t
a
y
x
2 2
2 4
)
(
)
(
2
)
,
(
4 1
)
,
,
(
Если начальная температура такова, что может быть представлена в виде
y
x
y
x
2 1
,
, то этот интеграл преобразуется в произведение двух интегралов
d
e
d
e
t
a
t
y
x
u
t
a
y
t
a
x
2 2
2 2
4 2
4 1
2 4
1
,
,
Если в них сделать замену
t
a
x
2
и
t
a
y
2
, то мы получим
d
e
t
a
y
d
e
t
a
x
t
y
x
u
2 2
2 1
2 1
,
,
2 1
(8)
1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 19
температура на левом конце равна
2
,
0 2
0
,
1
,
0
t
t
t
t
u
Вначале создаем функцию
t
, представляющую граничный режим.
???? ????_ = ???????????????????????????????????? ????, ???? < 0 , ????, ???? ≤ ???? , ???? ; ???? =. ;
????????????????[????[????], {????, ????, ????}]
Теперь строим решение, используя интеграл (5).
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????????????????????[
????
????
????????????????????????????????????[????[???? −
????
????
????????
????
????
????
]????????????[−????
????
], {????,
????
???????? ????
, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > ????&&???? > ????&&???? > ????]]
155 1
2
(Erf[
????
2???? −2 + ????
] − Erf[
????
2???? ????
]) ???? > 0 && ???? > 2 && ???? > 0 1
2
Erfc[
????
2???? ????
]
True
Решение получено в форме кусочной функции. Теперь построим графики решения для моментов времени
2
t
и для моментов
2
t
???? = ????. ????????????, ????. ????, ????. ????, ????, ????, ????. ???????? ; ???? = ????;
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → {????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}](* левый рисунок *)
???? = ????. ????????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????, ???? ;
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → {????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}] (* правый рисунок *)
Скачкообразное изменение граничной температуры в момент времени t=2 меняет качественную картину распределения температуры у торца стержня после этого момента.
□
Пример. Полубесконечный стержень. Начальная температура всюду 0,
температура на левом конце периодически меняется по треугольному закону.
Определим периодическую пилообразную непрерывную кусочно- линейную функцию
2 1
)
,
(
w
x
w
x
w
x
stx
или
w
x
w
w
x
stc
2
cos arccos
2
,
,
(6) где w является периодом этой функции, а квадратные скобки [x] обозначают функцию взятия наибольшего целого, не превосходящего x,
????????????[????_, ????_] =
????
????????
???????????????????????? ????????????
????????????
????
;
????????????????[????????????[????, ????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Используем ее в качестве граничного значения
2
,
,
0
t
stc
t
t
u
Поскольку аналитически интеграл (5) не вычисляется, будем его считать численно.
???? = ????; ????[????_]: = ????????????[????, ????];
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[????[???? −
????
????
????????
????
????
????
]????????????[−????
????
], {????,
????
???????? ????
, ∞},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????];
156
Для построения анимации используем функцию ListAnimate. Вначале создаем список графиков lt, которые будут представлять кадры анимации.
Имейте ввиду, что создание списка lt займет некоторое время.
???????? = ????????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {????????????????????, ????????????????????????????????????[????. ????????]},
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????}}], {????, ????. ????, ????, ????. ????}];
Теперь строим анимацию.
????????????????????????????????????????????[????????, ???????????????????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????]
На следующем рисунке представлено несколько кадров анимации – графиков распределения температуры в полубесконечном стержне в моменты времени
5 2
,
0 2
,
5 1
,
0 1
,
3 0
t
Графики распределения температуры внутри стержня через интервалы времени
2
t
имеют похожую форму. На следующем рисунке слева приведены графики температуры в моменты t = 1,3,5,7,9 и на рисунке справа – в моменты
t = 2,4,6,8,10.
????????????????[{????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → ????, ???? , −????. ????, ???? , ???????????????????????????????????????????? → {????, ????, ????, ????, ????}]
????????????????[{????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {−????. ????, ????}}, ???????????????????????????????????????????? → {????, ????, ????, ????, ????????}]
Графики в более поздние моменты времени имеют более высокий профиль.
□
Решение уравнения теплопроводности для стержня конечной длины l, когда начальная температура задана функцией
(
), а концы стержня поддерживаются при нулевой температуре, можно находить по формуле [5]
d
e
l
x
e
l
x
l
t
x
u
l
l
t
a
l
t
a
0 3
3
)
,
2
(
)
,
2
(
)
(
2 1
)
,
(
2 2
2 2
2 2
,
(7) где
q
z,
3
является тета функция 3-го порядка ([4] стр.334). В пакете
Mathematica она реализуется функцией EllipticTheta[3,z,q].
157
Пример. Конечный стержень длины l. Температура концов ноль. Начальная
температура единица. Вычисления интеграла по формуле (7) реализуем численно.
???? = ????; ???? = ????; ????[????_]: = ????;
????????????[????_, ????_, ????_]: = ????????????????????????????????????????????????????[????, ????
???? − ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
]
????????????[????_, ????_, ????_]: = ????????????????????????????????????????????????????[????, ????
???? + ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
]
????[????_, ????_] ≔
????
????????
????????????????????????????????????????[????[????](????????????[????, ????, ????] − ????????????[????, ????, ????]), {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????]
????????????????[{????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????],
????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????. ????}}, ???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}]
Для решения уравнения теплопроводности на конечном отрезке можно использовать классический метод Фурье [3]. Для рассмотренной нами задачи, когда начальная температура постоянна
0
u
x
, а на обеих границах поддерживается нулевая температура, решение Фурье имеет вид ([6], стр. 54)
2 2
2 0
0 1
2
exp
1 2
sin
1 2
1 4
l
t
n
a
l
x
n
n
u
u
n
Построим манипулятор с графиками температуры в стержне в различные моменты времени.
???????? = ????; ???? = ????; ???? = ????;
???? ????_, ????_ ≔
???? ????????
????
∗
????????????[
????
???????? + ????
????????????[
???????? + ???? ???? ????
????
]????????????[−
????(???????? + ????)
????
????
????
????
????
????
], {????, ????, ????????}]
????????????????????????????????????????[
???????????????? ???? ????, ???? , ????, ????, ???? , ???????????????????????????????????? → ????, ???? , ????, ????. ???? ,
{????, ????. ????????????????, ????. ????}]
Обратите внимание, что для ускорения вычислений мы использовали частичную сумму ряда, представляющего решение (суммировали до n=30).
□
158
Пример. Конечный стержень длины l. Начальная температура равна нулю. На
границах поддерживаются постоянные температуры u
1
и u
2
.
Для поставленной задачи решение Фурье имеет вид ([7], стр. 98, 101, 106)
2 2
2 1
1 2
1 2
1
exp sin
1 2
l
t
n
a
l
x
n
n
u
u
l
x
u
u
u
u
n
n
Представим решение в различные моменты времени, используя манипулятор.
???? = ????; ???? = ????; ???????? = ????; ???????? = ????;
???? = ????????????????????????????????[????????????????[{????. ????????????}, ????????????????????[????. ???????? ∗ ????, {????, ????????}]]];
????????????????????????????????????????????????????[{????},
???? ????_, ????_ ≔ ???????? + ???????? − ????????
????
????
+
????
????
????????????
−????
????
???????? − ????????
????
????????????
???? ???? ????
????
???????????? −
????????
????
????
????
????
????
????
, ????, ????, ???????? ;
????????????????????????????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????, ????},
????????????????????????????????????−> {{????, ????}, {−????. ????, ????????}}, ???????????????????????????????????? → ????], {????, ????}]]
На следующем рисунке представлен манипулятор с графиками решения в моменты времени
5 0
,
2 0
,
1 0
,
05 0
,
001 0
t
Для ускорения вычислений мы использовали частичную сумму ряда с максимальным значением n=50.
В моменты времени
4 0
t
графики распределения температуры практически не изменяются и совпадают с последним графиком. Это значит, что в стержне установилась температура
x
l
u
u
u
t
x
u
1 2
1
)
,
(
и начиная с момента t=0.4 влияние начального условия пренебрежимо мало.
□
Пример. Конечный стержень длины l. Температура концов ноль. Начальная
температура имеет форму треугольника
1 1
x
x
.
???????? ????_ = ???? − ???????????? ???? − ???? ;
????????????????[????????[????], {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
В этом примере мы используем решение для бесконечного стержня (4), используя метод продолжения. Нам надо построить нечетное периодическое продолжение начальной функции
x
с отрезка [0,2] на всю вещественную ось. Для этого используем функцию
w
x
stc ,
, определяемую формулой (6).
159
Если L длина отрезка, то соответствующее продолжение будет иметь вид
L
x
stc
x
L
x
,
1
/
????????????[????_, ????_] = ???????????? ???? − ???? ????????????????????
????
????
+
????
????
;
????????????????[????????????[????, ????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
????[????_] = (−????)^????????????????????[????/????]????????????[????, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Подставив полученную функцию в (4), мы получим решение для конечного отрезка. Cтроим решение
???? = ????;
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[???? ???? + ???? ???? ???? ???? ????????????[−????
????
], {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????,
???????????????????????? → "????????????????????????????????????????????????????????????????????????"] и его графики в разные моменты времени
????????????????[{????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????],
????[????, ????. ????], ????[????, ????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????. ????}},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}]
В работе [7] стр. 103 приводится решение в рядах для области
l
x
l
с начальной температурой
l
x
l
u
/
0
и нулевой температурой концов
2 2
2 0
2 2
0 4
1 2
exp
2
)
1 2
(
cos
1 2
1 8
,
l
t
n
a
l
x
n
n
u
t
x
u
n
Используем его для сравнения с решением, полученным выше.
???????? = ????; ???? = ????; ???? = ????;
???? ????_, ????_ ≔
???? ????????
????
????
????????????[
????
(???????? + ????)
????
????????????[
???????? + ???? ???? ????
????????
]????????????[−
????(???????? + ????)
????
????
????
????
????????
????
], {????, ????, ????????}]
???? = {????. ????????????????, ????. ????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????};
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]], {????, −????, ????},
???????????????????????????????????? → −????, ???? , ????, ????. ???? , ???????????????????????????????????? → ???????????????????????????????????? ????. ???????? ,
???????????????????????????????????????????? → ????]
160
Для ускорения вычислений мы использовали частичную сумму ряда, представляющего решение (суммировали до n=30).
Когда решение в виде ряда известно, то вычисления происходят значительно быстрее.
□
Пример. Конечный стержень длины L. Температура левого конца ноль.
Правый конец теплоизолирован. Начальная температура линейная функция.
Условие теплоизолированности правого конца математически формулируются как
0
,
x
t
L
u
. Линейность начальной функции означает, что
x
k
x
u
0
,
Продолжим начальную функцию четно относительно точки x=L на отрезок [L,2L], затем полученную функцию с отрезка [0,2L] продолжим нечетно на отрезок [-2L,0], и затем с отрезка [-2L,2L] продолжим периодически на всю ось. Описанное построение в п. 2.4.5 (пример 5.5) мы назвали четно – нечетным периодическим продолжением функции. Если полученную функцию Ф(x) подставить в (4), то получим решение нашей краевой задачи.
Пусть k=1. Четно – нечетное продолжение линейной функции
x
y
с отрезка
L
,
0
на всю ось имеет вид
L
x
stc
x
L
x
,
1
/
, совпадающий с функцией
x
из предыдущего примера.
????[????_] = (−????)^????????????????????[????/????]????????????[????, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Эта функция имеет тот же вид, что и в предыдущем примере, только решение теперь надо рассматривать на отрезке [0,1], а не [0,2]. Имеем
???? = ????;
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[????[???? + ???????? ????????]????????????[−????
????
], {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????? → "????????????????????????????????????????????????????????????????????????"]
???? = {????. ????????????, ????. ????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????};
????????????????[{????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????],
????[????, ????. ????], ????[????, ????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????. ????}},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}, ???????????????????????????????????????????? → ????]
161
Касательная к графику решения на правой границе в любой момент времени горизонтальна, т.е.
0
,
'
t
L
u
x
. Это означает, что тепловой поток равен нулю.
□
Пример. Конечный стержень длины l. Начальная температура ноль.
Температура левого конца равна 1, правого – ноль. В соответствии с формулой
(7) функция вида
d
e
l
x
e
l
x
l
l
t
x
u
l
l
t
a
l
t
a
0 3
3 2
2 2
2 2
2
,
2
,
2 1
2 1
)
,
(
представляет решение уравнения теплопроводности с нулевыми граничными условиями и начальной температурой
l
x
x
u
/
1 0
,
. Тогда функция
)
,
(
1
)
,
(
t
x
u
l
x
t
x
u
будет представлять решение нашей задачи, поскольку она удовлетворяет уравнению теплопроводности, на левом конце принимает значение 1, на правом x=l – принимает значение 0, и значение функции
)
,
( t
x
u
при t=0 для всех 0
d
e
l
x
e
l
x
l
l
l
x
t
x
u
l
l
t
a
l
t
a
0 3
3
)
,
2
(
)
,
2
(
)
1
(
2 1
1
)
,
(
2 2
2 2
2 2
Построим графики распределения температуры в стержне для этой задачи.
???? = ????; ???? = ????; ????[????_]: = ???? −
????
????
;
????????????[????_, ????_, ????_]: = ???????????????????????????????????????????????????? ????, ????
???? − ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
????????????[????_, ????_, ????_]: = ???????????????????????????????????????????????????? ????, ????
???? + ????
????????
, ⅇ
−
????
????
????
????
????
????
????
????[????_, ????_] ≔ ???? −
????
????
−
????
????????
????????????????????????????????????????[????[????](????????????[????, ????, ????] − ????????????[????, ????, ????]),
{????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????]
???? = {????. ????????????, ????. ????????, ????. ????????, ????. ????, ????. ????, ????. ????, ????. ????};
????????????????[{????[????, ????. ????????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????????], ????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????],
????[????, ????. ????], ????[????, ????. ????]}, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {−????. ????, ????. ????}},
???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}, ???????????????????????????????????????????? → ????]
В моменты времени
5 0
t
графики распределения температуры практически не изменяются и совпадают с последним графиком. Это значит, что в стержне установилась температура
x
t
x
u
1
)
,
(
и начиная с момента t=0.5 влияние начального условия пренебрежимо мало.
□
162
Решение задачи распространения тепла в неограниченном во всех направлениях двумерном теле, имеющего в нулевой момент времени температуру
y
x
y
x
u
,
0
,
,
, дается следующей формулой.
d
d
e
t
a
t
y
x
u
t
a
y
x
2 2
2 4
)
(
)
(
2
)
,
(
4 1
)
,
,
(
Если начальная температура такова, что может быть представлена в виде
y
x
y
x
2 1
,
, то этот интеграл преобразуется в произведение двух интегралов
d
e
d
e
t
a
t
y
x
u
t
a
y
t
a
x
2 2
2 2
4 2
4 1
2 4
1
,
,
Если в них сделать замену
t
a
x
2
и
t
a
y
2
, то мы получим
d
e
t
a
y
d
e
t
a
x
t
y
x
u
2 2
2 1
2 1
,
,
2 1
(8)
1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 19