Файл: Задача Скорость прямолинейного движения SS(tt)S(t).docx

Скачать файл (3,82Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Решение задач

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.10.2023

Просмотров: 102

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

D на плоскости Oxy, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнения условия .

55. Уравнения Лагранжа и Клеро.

– Уравнение Лагранжа

y’=p;
, то есть

Уравнение Клеро -

56. Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка.

ДУ высших порядков, ДУ 2 порядка, Решение, общее решение, частное решение
Метод понижения порядка: с помощью замены переменной ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Пусть дано уравнение: y’’= f(x); введем p(x)=y’, тогда y’’=p’(x) следовательно p’(x)=f(x) сводится к виду y’=p(x)
Пусть дано уравнение y’’=f(x,y’) не содержащая явно искомой функции y

y’=p, где p=p(x)
y’’=p’ и p’=f(x,p)
p= (x, ) – общее решение ДУ 1-го порядка
p y’; y’=
Общее решение ДУ

Частный случай y’’=f(y’),

y’=p(x), y’’=p’=

получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными

… еще есть…

57. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида

— это заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка

- свободный член

Разделим уравнение на

и обозначим

;…;

58. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ 2-го порядка

, где p и q – постоянные. Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Частное решение в виде

(k- некоторое число). Дифференцируем функцию 2 раза и, подставляя найденные значения, получаем

– характеристические уравнения

При решении характеристических уравнений возможны 3 случая:

1 случай: Корни уравнения действительные и различные )

Частные решения:

– определитель Вронского

Общее решение:

2 случай: (D=0)

Частное решение:

W(x)=

Общее решение:

3 случай: корни комплексные:

Частное решение:

Общее решение:

59. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Задача нахождения общего решения ЛОДУ (n>2) порядка с постоянными коэф.

, где

– числа, решается аналогично случаю уравнению 2-го порядка с постоянным коэф.

Частное решение:

, где k- постоянная

Характеристическое уравнение:

– корни хар-кого уравнения

Замечание: не все из корней уравнения обязаны быть различными.

Существует 3 случая.

1 случай: все корни уравнения действительны и просты (различны). Общее решение:

2 случай: все корни действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m_k>1). Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида

, а каждому корню k кратности m_k>1 соответствует m частных решений

3 случай: среди корней уравнения, есть комплексно-сопряженные. Тогда каждой паре

простых комплексно-сопряженных корней, соответствует 2 частных решения:

Частное решение:

, а каждой паре α±

, корней кратности m_k>1 соответствуют 2m частных решений вида:

или

60. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

y’’+

– заданная непрерывная на (a,b) функция. Уравнение

(2), левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ называется соответствующим ему однородном уравнениям.

Теорема: (структура общего решения ЛНДУ).

Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения

и общего решения

соответствующего однородного уравнения (2), то есть

Метод вариации произвольных постоянных:

Частное решение

можно найти из

методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть

– общее решение уравнения, постоянные

заменяем на неизвестные функции и подбираем их так, чтобы функция

Найдем производную частного решения:

(4)
Тогда
Подставляем
Т.к.
(5)
(6)
т.к это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2). Поэтому система (6) имеет единственное решение: