Файл: Задача Скорость прямолинейного движения SS(tt)S(t).docx

Сделать презентацию

Скачать файл (3,82Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Решение задач

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.10.2023

Просмотров: 463

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

D на плоскости Oxy, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнения условия .55. Уравнения Лагранжа и Клеро. – Уравнение Лагранжа

y’=p;
, то есть

Уравнение Клеро - 56. Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка. ДУ высших порядков, ДУ 2 порядка, Решение, общее решение, частное решениеМетод понижения порядка: с помощью замены переменной ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Пусть дано уравнение: y’’= f(x); введем p(x)=y’, тогда y’’=p’(x) следовательно p’(x)=f(x) сводится к виду y’=p(x)
Пусть дано уравнение y’’=f(x,y’) не содержащая явно искомой функции y

y’=p, где p=p(x)
y’’=p’ и p’=f(x,p)
p= (x, ) – общее решение ДУ 1-го порядка
p y’; y’=
Общее решение ДУ

Частный случай y’’=f(y’),y’=p(x), y’’=p’= получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными … еще есть…57. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнение вида — это заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка - свободный членРазделим уравнение на

и обозначим ;…; ,

58. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ 2-го порядка , где p и q – постоянные. Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Частное решение в виде (k- некоторое число). Дифференцируем функцию 2 раза и, подставляя найденные значения, получаем – характеристические уравнения

При решении характеристических уравнений возможны 3 случая:

1 случай: Корни уравнения действительные и различные )

Частные решения: – определитель Вронского Общее решение:

2 случай: (D=0)

Частное решение: W(x)=Общее решение:

3 случай: корни комплексные:

Частное решение: и Общее решение: 59. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Задача нахождения общего решения ЛОДУ (n>2) порядка с постоянными коэф. , где – числа, решается аналогично случаю уравнению 2-го порядка с постоянным коэф.Частное решение: , где k- постоянная Характеристическое уравнение: – корни хар-кого уравнения Замечание: не все из корней уравнения обязаны быть различными.Существует 3 случая.1 случай: все корни уравнения действительны и просты (различны). Общее решение:2 случай: все корни действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m_k>1). Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида , а каждому корню k кратности m_k>1 соответствует m частных решений 3 случай: среди корней уравнения, есть комплексно-сопряженные. Тогда каждой паре простых комплексно-сопряженных корней, соответствует 2 частных решения:Частное решение: , а каждой паре α± , корней кратности m_k>1 соответствуют 2m частных решений вида:или60. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. y’’+ – заданная непрерывная на (a,b) функция. Уравнение (2), левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ называется соответствующим ему однородном уравнениям.Теорема: (структура общего решения ЛНДУ).Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения

и общего решения соответствующего однородного уравнения (2), то есть

Метод вариации произвольных постоянных:

Частное решение можно найти из методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть – общее решение уравнения, постоянные

заменяем на неизвестные функции и подбираем их так, чтобы функция

Найдем производную частного решения:

(4)
Тогда
Подставляем
Т.к.
(5)
(6)
т.к это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2). Поэтому система (6) имеет единственное решение: