выполняется равенство:

4) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости при -R

• 
  Ряды, полученные путем дифференцирования и интегрирования, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд
  

1>1>1>

---

47. Разложение функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов.

Ряды Тейлора и Макларена.

• 
  Формула Тейлора:
  

,

остаточный член в форме Лагранжа

• 
  Если функция f(x) имеет производные любых порядков (то есть бесконечно дифференц.) в окрестности точки и остаточный член , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням , называемое рядом Тейлора
  

• 
  Если в ряде Тейлора
  

ряд Макларена:



Условие:

Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема:

Для того, чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремится к 0 при n , то есть, чтобы
Замечание:

Если ряд Тейлора сходится к порождающей функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора: (т. е. ); .
Теорема: Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки одним и тем же числом M>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора ф-ии f(x) сходится к функции f(x).

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Макларена)

1. 
   Найти производные
   
2. 
   Вычислить значение производных в точке
   
3. 
   Написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости
   
4. 
   Найти интервал (-R;R) в котором остаточный член ряда Макларена
   

---

48. Приближенное вычисление значения функции и определенного интеграла.

• 
  Пусть требуется вычислить значение f(x) при x= , заданной точностью
  

Если ряд f(x) в интервале (-R;R) можно разложить в степенной ряд

,

то точное значение

, абсолютная погрешность равна модулю остатка ряда

• 
  Пусть требуется вычислить определенный интеграл от a до b с точностью до .
  

Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням X и интервал сходимости (-R;R) включит в себя отрезок от [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибка вычислений определяет так же, как и при вычислении значений функций.

49. Основные понятия дифференциальных уравнений. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

ДУ — это уравнение, в которое входит независимая переменная, искомая функция и ее производная

Решением ДУ – называется функция, которая при постановке в уравнение обращает его в тождество

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называют обыкновенным, в противном случае - ДУ в частных производных

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ называется порядком этого уравнения

Пр. y’’’-3y’’+y=0 (3й порядок), y’+5xy= , yz’x=xzy’(1й порядок в част. произв.)

Задача. Материальная точка массой m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 секунды после начала замедления, если V(0)=100 м/с, V(1)=50 м/с.

---

, a=V’(t) , F=-k* , k>0 – коэф. Пропорц. Следовательно функция V=V(t) является решением ДУ. m*V’=-k* или

Решение: , где c=const





м/с

ДУ 1 порядка

Геом смысл

Изоклин

Общее решение ДУ 1 порядка

Частное решение ДУ

Задача Коши

50. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида называют ДУ с разделяющимися переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем – его общий интеграл.

Замечание:

1. 
   При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения, поэтому следует отдельно решить уравнение
   
2. 
   Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого достаточно представить и разделить переменные
   
3. 
   Уравнение где a,b,c – числа, путем замены ax+by+c=U сводится к ДУ с разделяющимися переменными.
   

51. Однородные дифференциальные у равнения.

Функция называется однородной функцией n-го порядка (измерения), если при умножении каждого аргумента на произвольный множитель , -вся функция умножится на

---

.

ДУ называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная функция 0-го порядка.

(однородные функции одного порядка)

52. Линейные дифференциальные уравнения. Метод И. Бернулли.

ДУ 1-го порядка называется линейным, если его можно записать в виде:

Особенность: входят в уравнение в 1-й степени, не перемножаясь между собой.

Метод Бернулли:

53. Метод Лагранжа. Уравнение Я. Бернулли.









,

Полученные в исходное:











54. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Уравнение P(x;y)dx+ Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x;y)



Для того, чтобы выражение где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные непрерывны в некоторой области

---

Смотрите также файлы

• Роль личности в истории. М. Тэтчер.docx

• МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.docx

• Архитектура персонального компьютера.docx

• Автоматическая телефонная станция.docx

• Требования к реферату.docx