1. Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1. Скорость прямолинейного движения



∆S=S(t+∆t)-S(t)


S=S(t) – закон движения точки
Предел средней скорости движения при стремлении к 0 промежутка времени ∆t, называется скорость движения точки в данной момент времени или мгновенной скоростью.

или

Задача 2. Касательная к криво й

(M; ) -секущая

– угловой коэффициент касательной

Пример:



V=S`<sub>t</sub>; ; I=Q`_t

2. Определение производной, ее механический и геометрический смысл.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (а;b)

1. 
   x є (a;b); x+ xє(a;b)
   
2. 
   ∆y = f(x+∆x) – f(x)
   
3. 
   
   
4. 
   – этот предел (если он существует) называют производной функцией f(x)
   

Обозначение производной:

Производной функцией y=f(x) в точке

---

называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Механический смысл производной:скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t (v=S`t) .

Физический смысл производной: если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y` есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной: производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной графику функции y=f(x) в точке, абсцисса которой равна x.

3. Уравнение касательной и нормали к кривой.

– уравнение касательной

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью кривой.



-уравнение нормали

4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней, но обратная теорема не верна; непрерывная функция может не иметь производной.

Замечание:

1. 
   Существуют односторонние пределы функции y=|x| в точке x=0:
   ; – функция имеет односторонние производные
   

– левая производная функция f в т.

– правая производная функция f в т.

---

Если , то производная в точке не существует

Производной не существует в точке разрыва.

2. 
   Производная y’=f’(x) непрерывной функции y=f’(x) сама необязательно является непрерывной.
   

Если функция y=f(x) имеет непрерывную производную y’=f’(x) в некотором интервале (a;b), то функция называется гладкой

5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции.

1. 
   Производная суммы, разности, произведения и частного функций
   

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции в интервале (a;b).

Теорема: производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций

Теорема о производной: производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй + произведение первого сомножителя на производную второго.

Следствие 1: (C*u)’ = C*u’, C=const

Следствие 2: (u*v*w)’=u’vw+uv’w+uvw’

Теорема: производная частного двух функций , если v(x)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби v на производную числителя и числителя дроби u на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя. , v≠0

Следствие 1: , C=const

Следствие 2: , C=const

2. 
   Производная сложной и обратной функции.
   

Пусть y=f(u) и u= , тогда – сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом x.

Теорема: если функция имеет производную u`(x) в точке х, а функция y=f(u) имеет производную y`(u) в соответствующей точке

---

, то сложная функция имеет производную y`(x) в точке х, которая находится по формуле: y`(x)=y`(u)*u`(x)

Если промежуточных аргументов несколько: y=f(u), u= , v=g(x), то y`(x)=y`(u)*u`(v)*v`(x)

y=f(u( (v(x))))

Производная обратной функции

Пусть y=f(x) и x= – взаимно обратные функции

Теорема: если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет не равную 0 производную f `(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x= также имеет производную в соответствующей точке, определенную равенством: или

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции:

6. Производные основных элементарных функций. Гиперболические функции и их производные.

1. 
   Производные основных элементарных функций
   

1. 
   Степенная функция:
   

2. 
   Показательная функция:
   

3. 
   Логарифмическая функция:
   

4. 
   Тригонометрические функции:
   

---

5. 
   Обратные тригонометрические функции
   

2. 
   Гиперболические функции и их производные
   

– гиперболический синус

-гиперболический косинус

– гиперболический тангенс

– гиперболический котангенс



7. Правила дифференцирования и основные формулы дифференцирования. Таблица производных.

См. вопрос 5

8. Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Данную операцию называют логарифмическим дифференцированием.

-степенно-показательная функция



9. Неявно заданная функция. Функция, заданная параметрически.

1. 
   Неявно заданная функция.
   

Если функция задана уравнением y=f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, неразрешенного относительно y.

Явная функция переходит в неявную. Неявная функция не переходит в явную

Пример неявной функции: y+2x+cosy-1=0;

---

Смотрите также файлы

• Роль личности в истории. М. Тэтчер.docx

• МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.docx

• Архитектура персонального компьютера.docx

• Автоматическая телефонная станция.docx

• Требования к реферату.docx