Теорема (необходимый признак сходимости): Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда): Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

39. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд.

1. 
   Гармонический ряд
   

(5)



Однако ряд (5) расходится

2. 
   Обобщенный гармонический ряд.
   

, где p>0 – действительное число. (p>1 - сходится, иначе расх)

40. Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера.

1. 
   Признаки сравнения рядов
   

Теорема: пусть даны два знакоположительных ряда.

(6) и (7)

Если для всех n выполняется неравенство u_n , то из сходимости ряда (7) следует сходимость ряда (6), из расходимости ряда (6) следует расходимость ряда (7).
Теорема (предельный признак сравнения): пусть даны два знакоположительных ряда (6) и (7).

Если существует конечный, отличный от 0 предел , то ряды (6) и (7) сходятся и расходятся одновременно.

2. 
   Признак Даламбера
   

Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при d<1 и расходится при d>1

Замечания

1. 
   Если d=1, то ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся
   
2. 
   Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или uⁿ
   

41. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.

---

1. 
   Радикальный признак Коши.
   

Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный и бесконечный предел =k. Тогда ряд сходится при k<1 и расходится при k>1.

2. 
   Интегральный признак Коши.
   

Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; + ) функции так что a1= , а2= …, аn= ,…, то:

1. 
   Если сходится, то сходится и ряд (1)
   
2. 
   Если расходится, то расходится также ряд (1)
   

Замечания:

Вместо интеграла можно брать интеграл , где , k>1

42. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида U1-U2+U3-U4+…+ Un+…+= = Un, где Un>0, (1)

Теорема (Достаточный признак сходимости. Признак Лейбница)

Знакочередующийся ряд сходится если:

1. 
   Условие: Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает U1>U2>U3>…>Un>…;
   
2. 
   Условие: Общий член ряда стремится к 0. . При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам 0

Замечания

1. 
   Исследование знакочередующегося ряда вида -U1+U2-U3+U4-… сводится путем умножения всех его членов на -1 к исследованию ряда (1). Ряды, для которых выполняется условие теоремы Лейбница называются рядами Лейбница.
   
2. 
   Соотношение 0

---

43. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1. 
   Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
   

Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Теорема (общий достаточный признак сходимости):

Пусть дан знакопеременный ряд U1+U2+…+Un+…. Если сходится ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд. Обратное утверждение не справедливо!

2. 
   Свойства абсолютно сходящихся рядов.
   

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Основные св-ва абс:

1. 
   Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится, и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (относится к теореме Дирихле)
   
2. 
   Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2 (S1-S2)
   
3. 
   Под произведением двух рядов u1+u2+… и v1+v2+… понимают ряд вида
   

(U1V1)+(U1V2+U2V1)+(U1V3+U2V2+U3V1)+…+(U1Vn+U2Vn-1+…+UnV1)+… . Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1*S2

Действия над знакопеременными рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости.

44. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

• 
  Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
  
• 
  Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
  

Основные свойства

4. 
   Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный, из него перестановкой членов, также сходится, и имеет туже сумм S, что и исходный ряд (относится к теореме Дрихле)
   
5. 
   Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2 (S1-S2)
   
6. 
   Под произведением двух рядов u1+u2+… и v1+v2+… понимают ряд вида
   

---

(U1V1)+(U1V2+U2V1)+(U1V3+U2V2+U3V1)+…+(U1Vn+U2Vn-1+…+UnV1)+… . Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1*S2

Действия над знакопеременными рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости.

45. Основные понятия для функционального ряда. Сходимость степенных рядов. Теорема Н. Абеля.

Функциональные ряды:

• 
  Ряд, членами которого является функция от х, называется функциональным:
  

• 
  Придавая х определенное значение , мы получим числовой ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся
  
• 
  Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда, если же ряд расходится – точка расходимости функционального ряда.
  
• 
  Совокупность числовых значений аргумента xпри которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
  
• 
  В области сходимости функционального ряда, его сумма является некоторой функцией от х, то есть S=S(x). Определяется в области сходимости равенством:
  

• 
  Степенной ряд – это ряд, членами которого является степенные функции аргумента x
  

• 
  Действительные (или комплексные) числа , называются коэффициентами ряда
  
• 
  Степенной ряд, разложенный (расположенный) по степеням
  

• 
  Область сходимости степенного ряда содержит, по крайне мере, одну точку x=0
  

Теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

---

Следствие: Если ряд расходится при , то он расходится и при всех Х, удовлетворяющих неравенству

46. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

• 
  Интервал , называется интервал сходимости степенного ряда. Пусть сходимости степенного ряда. , то ряд абсолютно сходится, то ряд расходится
  
• 
  Радиус абсолютной сходимости: -(Признак Даламбера)
  
• 
  – (радикальный признак Коши)
  

Замечание:

1. 
   Если =0, то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси .
   

Если

2. 
   Интервал сходимости степенного ряда, разложенного по степеням , находят из неравенства – интервал сходимости
   
3. 
   Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признак Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.
   

Основные свойства степенных рядов:

1) Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости от

(-R;R)

2) Степенные ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать.

3) Степенной ряд, внутри интервала сходимости, можно почленно дифференц., при этом для ряда

---

Смотрите также файлы

• Роль личности в истории. М. Тэтчер.docx

• МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.docx

• Архитектура персонального компьютера.docx

• Автоматическая телефонная станция.docx

• Требования к реферату.docx