-x+y=0

Если неявная функция задана уравнением F(x;y)=0, достаточно продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х.

2. 
   Функция, заданная параметрически.
   

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде уравнений , где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.10. Производные высших порядков явно заданной функции. Механический смысл производной второго порядка.

1. 
   Производные высших порядков явно заданной функции.
   

• 
  Производная y`=f `(x) функции y=f (x) называется производная 1-ого порядка
  
• 
  Если функция f `(x) дифференцируема, то ее производная называется производной 2-ого порядка. y``; f ``(x);
  
• 
  Производной n-ого порядка называется производная от производной (n-1)-ого порядка
  

• 
  Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Обозначаются:
  

2. 
   Механический смысл производной второго порядка.
   

Вторая производная от пути времени, есть величина ускорения прямолинейного движения точки S``(t)=a11. Производные высших порядков неявно заданной функции. Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В не войдут х, у и у`. Подставляя найденное значение у` в выражение второй производной, выразим y`` через х и у.Аналогично поступаем для нахождения производной n-ого порядка.12. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически. ; ;

---

13. Понятие и геометрический смысл дифференциала функции. Основные теоремы о дифференциалах. - главная часть приращения функции ∆у(числитель предела)Дифференциалом функции y=f (x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy ( или df(x)); dy=f `(x)*∆x.Дифференциал dy называют также дифференциалом 1-ого порядка dy=f `(x)dx.Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.Геометрический смысл дифференциала функции.

AB=f `(x)*∆x dy=AB – длина

Дифференциал функции y=f (x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.Основные теоремы о дифференциалах:dy(const)=0 dy=0*dx

• 
  Дифференциал суммы, произведения и частого двух дифференциальных функций определяется следующими формулами:
  

d*(u+v) = du + dvd(u*v) = v*du+u*du

• 
  Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента dy=y`(u)*du.
  
• 
  Инвариантность (неизменность) формулы первого дифференциала заключается в том, что независимо, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
  

14. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков.

1. 
   Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
   

Или

---

– это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

2. 
   Дифференциалы высших порядков.
   

Дифференциал от дифференциала функции y=f (x) называется ее вторым дифференциалом .Дифференциал n-ого порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка:Рассматриваемые выше формулы справедливы, если х – независимая переменная.

---

15. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции

1. 
   Формула Тейлора для многочлена
   

Пусть функция f(x) есть многочлен в степени n.

2. 
   Формула Тейлора для произвольной функции
   

Т еорема: если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до (n+1)-ого порядка (включительно), то для любого х из этой окрестности найдется точка С, принадлежащая интервалу Сє( ;х) такая, что справедлива формула:(C= +Ѳ(x- )), 0<Ѳ<1Сокращенная формула:

• 
  – многочлен Тейлора ;
  
• 
  – остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранджа.
  

При получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Макларена: (C=Ѳx, 0<Ѳ<1)16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.

---

Теорема 1 (Ролль): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдётся хотя бы одна точка Сϵ(a; b), в которой производная обращается в 0, т.е. Теорема 2 (Коши): Если ф-и f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) причём для Xϵ(a; b), то найдётся хотя бы одна точка Сϵ(a; b) такая, что выполняется равенство Теорема 3 (Лагранж): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдётся хотя бы одна точка Сϵ(a; b) такая, что выполняется равенство - формула Лагранжа (формула о конечном приращении).Следствие 1: Если производная функции равна 0 на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.Следствие 2: Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Правило Лопиталя:Теорема 1 (Правило Лопиталя, раскрытие неопределённости вида ).Пусть ф-и f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращаются в 0 в этой точке (f(x₀)= (x₀)=0). Пусть в окрестности т. x_0. Если существует предел , то .Теорема 2 (Правило Лопиталя, раскрытие неопределённости вида [ Пусть ф-и f(x) и

---

Смотрите также файлы

• Роль личности в истории. М. Тэтчер.docx

• МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.docx

• Архитектура персонального компьютера.docx

• Автоматическая телефонная станция.docx

• Требования к реферату.docx