ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 453
Скачиваний: 1
èñ.
18
x
2
+
y
2
= 4
x
,
r
2
cos
2
ϕ
+
r
2
sin
2
ϕ
= 4
r
cos
ϕ
,
r
= 4 cos
ϕ
è
äëÿ
âòîðîé:
x
2
+
y
2
= 8
x
,
r
2
cos
2
ϕ
+
r
2
sin
2
ϕ
= 8
r
cos
ϕ
,
r
= 8 cos
ϕ
.
Èñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
(10),
çàïèøåì
äâîéíîé
èíòåãðàë
â
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò:
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
Z Z
Ω
1
r
4
rdrdϕ.
3.
Câåäåì
ïîëó÷åííûé
èíòåãðàë
ê
ïîâòîðíîìó
è
âû÷èñ-
ëèì
åãî.
Ñíà
÷àëà
îïðåäåëèì,
ÿâëÿåòñ
ÿ
ëè
îáëàñòü
ïðîñòîé
èëè
íåò
.
Äëÿ
ýòîãî
ñîâìåñòèì
ïîëÿðíóþ
ñèñòåìó
ê
îîð
äèíàò
ñ
äåê
àðòîâîé
è
ïðîâåäåì
äâà
ëó÷à,
èñ
õ
î
äÿùèõ
èç
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
,
ò
àê,
÷òîáû
âñå
òî÷êè
îáëàñòè
D
ëåæ
àëè
âíóò-
ðè
ìåæäó
íèìè,
à
ñàìè
ëó÷è
ñî
äåð
æ
àëè
õ
îò
ÿ
áû
î
äíó
ãðà-
íè÷íóþ
òî÷êó
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
(ðèñ.
18).
Â
íàøåì
ïðèìåðå
ýòî
ëó÷è
ϕ
=
−
π
2
è
ϕ
=
π
2
.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
äëÿ
âñåõ
òî÷åê
îáëàñòè
ïîëÿðíûé
óãîë
ó
äîâëåòâîð
ÿåò
ó
ñëîâèþ
−
π
2
≤
ϕ
≤
π
2
.
Ò
åïåðü
ïðîâåäåì
ëó÷è,
èñ
õ
î
äÿùèå
èç
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
è
ïåðåñåê
àþùèå
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
(ðèñ.
18).
Êàæäûé
ò
àê
îé
ëó÷
ïåðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îáëàñòè
â
äâóõ
36
òî÷ê
àõ,
ïðè÷åì
ñíà
÷àëà
ïåðåñåê
àåò
îêðóæíîñòü
r
= 4 cos
ϕ
,
à
çàòåì
îêðóæíîñòü
r
= 8 cos
ϕ
(íàâëåíèå
óê
àçàíî
ñòðåëê
à-
ìè
íà
ðèñ.
18).
Îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
è
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèÿìè:
−
π
2
≤
ϕ
≤
π
2
,
4 cos
ϕ
≤
r
≤
8 cos
ϕ.
4.
Èñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
(13),
ïîëó÷àåì
Z Z
Ω
1
r
4
rdrdϕ
=
Z Z
Ω
1
r
3
drdϕ
=
π/
2
Z
−
π/
2
dϕ
8 cos
ϕ
Z
4 cos
ϕ
1
r
3
dr
=
=
π/
2
Z
−
π/
2
dϕ
−
1
2
r
2
8 cos
ϕ
4 cos
ϕ
=
1
2
π/
2
Z
−
π/
2
−
1
64 cos
2
ϕ
+
1
16 cos
2
ϕ
dϕ
=
=
3
128
π/
2
Z
−
π/
2
1
cos
2
ϕ
dϕ
=
3
128
−
1
cos
ϕ
π/
2
−
π/
2
=
−
3
64
.
Îòâåò:
−
3
64
.
Ïðèìåð
6
Ïåðåõ
î
äÿ
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì,
âû÷èñëèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
RR
D
q
1
−
x
2
a
2
+
y
2
b
2
dxdy
,
ã
äå
D
x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤
1
.
åøåíèå
1.
Îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
ïðåäñò
àâëÿåò
ñîáîé
âíóò-
ðåííîñòü
ýëëèïñà
ñ
öåíòðîì
â
íà
÷àëå
ê
îîð
äèíàò
(ðèñ.
19).
2.
Â
äàííîì
ïðèìåðå
ïåðåõ
î
ä
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
ïî
îðìó
ëàì
x
=
r
cos
ϕ
,
y
=
r
sin
ϕ
íå
ÿâëÿåòñ
ÿ
öåëåñî-
îáðàçíûì,
ò
àê
ê
àê
ïðè
ò
àê
îé
çàìåíå
ïåðåìåííûõ
ïî
äûíòå-
ãðàëüíàÿ
óíêöèÿ
ïðèìåò
äîñò
àòî÷íî
ñëî
æíûé
âèä:
f
(
r
cos
ϕ, r
sin
ϕ
) =
r
1
−
(
r
cos
ϕ
)
2
a
2
+
(
r
sin
ϕ
)
2
b
2
37
èñ.
19
è
ñèëüíî
ó
ñëî
æíèò
âû÷èñëåíèÿ.
Ïîýòîìó
âîñïîëüçó
åìñ
ÿ
îáîáùåííûìè
ïîëÿðíûìè
ê
îîð-
äèíàò
àìè
(11).
Ïðè
ò
àê
îé
çàìåíå
ïî
äûíòåãðàëüíàÿ
óíê-
öèÿ
èìååò
âèä
f
(
a r
cos
ϕ, b r
sin
ϕ
) =
√
1
−
r
2
.
3.
Çàïèøåì
ãðàíèöó
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
â
íîâûõ
ê
î-
îð
äèíàò
àõ:
r
2
= 1
èëè
r
= 1
.
Èç
ðèñóíê
à
ëåãê
î
ó
ñò
àíî-
âèòü,
÷òî
îáëàñòü
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
è
çàäàåòñ
ÿ
ó
ñëîâèÿìè:
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
0
≤
r
≤
1
.
Âû÷èñëèì
äâîéíîé
èíòåãðàë,
èñïîëüçó
ÿ
(12)
è
ñâåäÿ
åãî
ê
ïîâòîðíîìó:
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
ab
·
2
π
Z
0
dϕ
Z
1
0
r
√
1
−
r
2
dr
=
=
−
ab
2
2
π
Z
0
dϕ
Z
1
0
√
1
−
r
2
d
(1
−
r
2
) =
−
2
πab
(1
−
r
2
)
3
/
2
3
1
0
=
2
3
πab.
Îòâåò:
2
3
πab.
38
Çàäà
֏
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ
Çàäà
ֈ
4
Âû÷èñëèòü
äâîéíûå
èíòåãðàëû,
ïåðåéäÿ
ê
ïîëÿðíûì
ê
î-
îð
äèíàò
àì:
1)
Z Z
D
xy
2
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≤
9
, x
≥
0
;
2)
Z Z
D
ydxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≥
2
x, x > y
;
3)
Z Z
D
y
2
x
2
+
y
2
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≤
2
x
;
4)
Z Z
D
p
9
−
x
2
−
y
2
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
3
y
≤
x
2
+
y
2
≤
9
, x
≥
0
,
y
≥
0
;
5)
Z Z
D
y
x
2
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
1
≤
x
2
+
y
2
≤
2
x
;
6)
Z Z
D
xdxdy,
39
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
2
x
≤
x
2
+
y
2
≤
4
x, y
≥
0
;
7)
Z Z
D
(
x
+
y
)
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≤
4
, y
−
x
≥
0
;
8)
Z Z
D
(
x
−
y
)
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≤
3
, x
−
y
≤
0
;
9)
Z Z
D
cos(
π
p
x
2
+
y
2
)
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≤
1
;
10)
Z Z
D
e
−
(
x
2
+
y
2
)
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
≤
4
, y
≥
0
, x
≥
0
;
11)
Z Z
D
p
x
2
+
y
2
−
9
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
9
≤
x
2
+
y
2
≤
25
;
12)
Z Z
D
(
x
2
+
y
2
)
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
3
x
≤
x
2
+
y
2
≤
6
x, y
≥
0
;
13)
Z Z
D
dxdy
(
x
2
+
y
2
)
2
,
40