ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 451
Скачиваний: 1
îñè
Ox
:
0
≤
y
≤
5
(ðèñ.
10)
è
èññëåäó
åì
êðèâûå,
îãðàíè÷è-
âàþùèå
îáëàñòü
ñëåâà
è
ñïðàâà.
èñ.
10
Â
ýòîì
ñëó÷àå
ìî
æ
åì
ïðèìåíèòü
îðìó
ëó
(4),
ïðåäå-
ëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
ðàññò
àâëÿåì
àíàëîãè÷íî
ðàññìîòðåííî-
ìó
âûøå,
îò
ëè÷èå
çàêëþ÷àåòñ
ÿ
ëèøü
â
òîì,
÷òî
ïðåæäå,
÷åì
ðàññò
àâëÿòü
ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
âî
âíóòðåííåì
èíòåã-
ðàëå
(îíè
â
äàííîì
ñëó÷àå
áó
äóò
çàâèñåòü
îò
ïåðåìåííîé
y
),
íóæíî
äëÿ
óíêöèé,
îïèñûâàþùèõ
ãðàíèöó
îáëàñòè
ñïðà-
âà
è
ñëåâà,
íàéòè
îáðàòíûå
óíêöèè.
Íà
íèæíèé
ïðåäåë
ñò
àâèì
óíêöèþ,
îáðàòíóþ
óíêöèè,
îïèñûâàþùåé
ëåâóþ
ãðàíèöó
,
ýòî
x
= 0
,
à
íà
âåð
õíèé
ïðåäåë
óíêöèþ,
îá-
ðàòíóþ
óíêöèè,
îïèñûâàþùåé
ïðàâóþ
ãðàíèöó
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ,
ýòî
x
=
−
y
+ 5
,
òî
åñòü
ïðåäåëû
ðàññò
àâ-
ëÿåì
ïî
ñòðåëê
å
âäîëü
ïîëî
æèòåëüíîãî
íàïðàâëåíèÿ
îñè
Ox
(ðèñ.
10).
Â
ðåçó
ëü
ò
àòå
äâîéíîé
èíòåãðàë
ñâåäåòñ
ÿ
ê
ïîâòîðíîìó:
Z Z
D
(
x
+
y
)
dxdy
=
5
Z
0
dy
−
y
+5
Z
0
(
x
+
y
)
dx.
Ò
åïåðü
ñíà
÷àëà
âû÷èñëÿåì
âíóòðåííèé
èíòåãðàë
ïî
ïåðå-
ìåííîé
x
,
à
ïåðåìåííóþ
y
ñ÷èò
àåì
ïîñòî
ÿííîé.
Çàòåì
âû-
÷èñëÿåì
âíåøíèé
èíòåãðàë
ïî
ïåðåìåííîé
y
:
16
5
Z
0
dy
−
y
+5
Z
0
(
x
+
y
)
dx
=
5
Z
0
dy
x
2
2
+
xy
−
y
+5
0
=
=
5
Z
0
(
−
y
+ 5)
2
2
+ (
−
y
+ 5)
y
dy
=
=
5
Z
0
y
2
−
10
y
+ 25
2
−
y
2
+ 5
y
dy
=
1
2
5
Z
0
(25
−
y
2
)
dy
=
=
1
2
25
y
−
y
3
3
5
0
=
1
2
125
−
125
3
= 41
2
3
.
Â
ðåçó
ëü
ò
àòå
ïîëó÷àåì
òîò
æ
å
îòâåò
,
÷òî
è
ïåðâûé
ðàç.
Ïðèìåð
2
Âû÷èñëèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
RR
D
f
(
x, y
)
dxdy
îò
óíêöèè
f
(
x, y
) =
xy
ïî
îáëàñòè
D
,
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
y
=
x
2
,
y
=
x
+ 2
.
åøåíèå
1.
Èçîáðàçèì
ãðàè÷åñêè
îáëàñòü
D
(ðèñ.
11).
Íàéäåì
ê
îîð
äèíàòû
òî÷åê
ïåðåñå÷åíèÿ
ãðàèê
îâ
óíê-
öèé
y
=
x
2
,
y
=
x
+ 2
.
Äëÿ
ýòîãî
ðåøèì
ñèñòåìó
óðàâíåíèé
y
=
x
2
;
y
=
x
+ 2
.
Â
ðåçó
ëü
ò
àòå
ïîëó÷èì
äâå
òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ:
A
(
−
1
,
1)
è
B
(2
,
4)
.
2.
Îïðåäåëèì,
ÿâëÿåòñ
ÿ
ëè
îáëàñòü
ïðîñòîé.
17
èñ.
11
Cíà
÷àëà
äëÿ
âñåõ
òî÷åê
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
îïðåäå-
ëèì
ïðîìåæóòîê
èçìåíåíèÿ
ê
îîð
äèíàòû
x
.
Äëÿ
ýòîãî
ïðî-
âåäåì
ïð
ÿìûå,
ïàðàëëåëüíûå
îñè
Oy
,
ò
àê,
÷òîáû
îíè
ïðî
õ
î-
äèëè
÷åðåç
òî÷êè
îáëàñòè,
à
ñàìà
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ëåæ
àëà
âíóòðè
ïîëîñû
ìåæäó
íèìè.
Â
íàøåì
ñëó÷àå
ýòî
ïð
ÿìûå
x
=
−
1
è
x
= 2
,
è
âñå
òî÷êè
îáëàñòè
îê
àçàâàþòñ
ÿ
çàêëþ÷åííûìè
âíóòðè
ïîëîñû
−
1
≤
x
≤
2
(ðèñ.
11).
Âèäèì,
÷òî
ê
àæäàÿ
âåðòèê
àëüíàÿ
ïð
ÿìàÿ,
ïðî
õ
î
äÿùàÿ
÷åðåç
ê
àæäóþ
òî÷êó
îòðåçê
à
[
−
1
,
2]
îñè
Ox
,
ïåðåñåê
àåò
ãðà-
íèöó
îáëàñòè
D
ðîâíî
â
äâóõ
òî÷ê
àõ,
ïðè÷åì
íèæíÿÿ
è
âåð
õíÿÿ
ãðàíèöû
îáëàñòè
îïèñûâàþòñ
ÿ
ê
àæäàÿ
î
äíèì
óðàâ-
íåíèåì,
òî
åñòü
îáëàñòü
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðàâèëüíîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
è
ìî
æ
åì
äëÿ
âû÷èñëåíèÿ
èíòåãðàëà
èñïîëüçîâàòü
îðìó
ëó
(3).
3.
àññò
àâèì
ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
âî
âíåøíåì
è
âíóò-
ðåííåì
èíòåãðàëàõ.
Ïðåäåëû
âíåøíåãî
èíòåãðàëà
ïî
ïåðåìåííîé
x
ðàññò
àâ-
ëÿåì
èñ
õ
î
äÿ
èç
ó
ñëîâèÿ
−
1
≤
x
≤
2
(íèæíèé
ïðåäåë
ñîîò-
âåòñòâó
åò
íàìåíüøåìó
âîçìî
æíîìó
çíà
÷åíèþ
ïåðåìåííîé
x
,
òî
åñòü
çíà
÷åíèþ
x
=
−
1
,
à
âåð
õíèé
ïðåäåë
íàèáîëüøåìó
18
âîçìî
æíîìó
çíà
÷åíèþ
äëÿ
òî÷åê
îáëàñòè,
òî
åñòü
x
= 2
).
Ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
âíóòðåííåãî
èíòåãðàëà
äîëæíû
çàâèñåòü
îò
ïåðåìåííîé
x
,
ïîñê
îëüêó
èíòåãðèðîâàíèå
â
íåì
èäåò
ïî
y
.
Íà
íèæíèé
ïðåäåë
ñò
àâèì
óíêöèþ
y
=
x
2
,
çà-
äàþùóþ
íèæíþþ
ãðàíèöó
îáëàñòè,
à
íà
âåð
õíèé
ïðåäåë
óíêöèþ
y
=
x
+ 2
,
îïèñûâàþùóþ
âåð
õíþþ
ãðàíèöó
îáëà-
ñòè.
Ò
î
åñòü
ïðè
ðàññò
àíîâê
å
ïðåäåëîâ
âî
âíóòðåííåì
èí-
òåãðàëå
äëÿ
ê
àæäîé
èê
ñèðîâàííîé
òî÷êè
x
∈
[
−
1
,
2]
äâè-
æ
åìñ
ÿ
âíóòðü
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
ïî
ñòðåëê
å
â
ïîëî-
æèòåëüíîì
íàïðàâëåíèè
îñè
Oy
(ðèñ.
11).
Ïîëó÷àåì
Z Z
D
xydxdy
=
2
Z
−
1
dx
x
+2
Z
x
2
xydy.
4.
Âû÷èñëèì
ïîëó÷åííûé
ïîâòîðíûé
èíòåãðàë:
2
Z
−
1
dx
x
+2
Z
x
2
xydy
=
2
Z
−
1
dx
x
y
2
2
x
+2
x
2
=
=
2
Z
−
1
(
x
(
x
+ 2)
2
−
xx
4
)
2
dx
=
2
Z
−
1
x
3
+ 4
x
2
+ 4
x
−
x
5
2
dx
=
=
1
2
x
4
4
+
4
x
3
3
+
4
x
2
2
−
x
6
6
2
−
1
=
=
1
2
16
4
+
32
3
+ 8
−
32
3
−
1
4
+
4
3
−
2 +
1
6
2
−
1
= 5
5
8
.
Îòâåò:
5
5
8
.
åøèì
ýòîò
æ
å
ïðèìåð
äðóãèì
ñïîñîáîì.
Äëÿ
ýòîãî
ïðî-
âåðèì,
ÿâëÿåòñ
ÿ
ëè
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ïðîñòîé
îòíî-
ñèòåëüíî
îñè
Ox
.
19
Ñíà
÷àëà
çàèê
ñèðó
åì
îáëàñòü
èçìåíåíèÿ
ïåðåìåííîé
y
äëÿ
âñåõ
òî÷åê
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Äëÿ
ýòîãî
ïðîâå-
äåì
ïð
ÿìûå,
ïàðàëëåëüíûå
îñè
Ox
,
ò
àê,
÷òîáû
îíè
ïðî
õ
î-
äèëè
÷åðåç
òî÷êè
îáëàñòè,
à
ñàìà
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ëåæ
àëà
âíóòðè
ïîëîñû
ìåæäó
íèìè.
Ýòî
ïð
ÿìûå
y
= 0
è
y
= 4
.
Êàæäàÿ
ãîðèçîíò
àëüíàÿ
ïð
ÿìàÿ,
ïðî
õ
î
äÿùàÿ
÷åðåç
ê
àæäóþ
òî÷êó
îòðåçê
à
[0
,
4]
îñè
Oy
,
ïåðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îá-
ëàñòè
D
ðîâíî
â
äâóõ
òî÷ê
àõ,
î
äíàê
î
ïðàâàÿ
÷àñòü
ãðàíèöû
îáëàñòè
îïèñûâàåòñ
ÿ
î
äíèì
óðàâíåíèåì,
à
ëåâàÿ
äâóìÿ
óðàâíåíèÿìè
(ñîñòîèò
èç
äâóõ
ó÷àñòê
îâ).
Çíà
÷èò
,
íàøà
îá-
ëàñòü
íå
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Ox
.
Ïîýòîìó
ïðåæäå,
÷åì
âîñïîëüçîâàòüñ
ÿ
îðìó
ëîé
(4),
ðà-
çîáüåì
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
íà
äâå
ïðîñòûõ.
Ýòî
ìî
æíî
ñ
äåëàòü
ïð
ÿìîé,
ïàðàëëåëüíîé
îñè
Ox
è
ïðî
õ
î
äÿùåé
÷åðåç
òî÷êó
A
(
−
1
,
1)
,
â
ê
îòîðîé
ñîåäèíÿþòñ
ÿ
äâà
ó÷àñòê
à
ëåâîé
ãðàíèöû
(ðèñ.
12).
èñ.
12
Ïîëó÷èëè
äâå
îáëàñòè
D
1
è
D
2
(ðèñ.
12),
ê
ê
àæäîé
èç
ê
îòîðûõ
óæ
å
ìî
æíî
ïðèìåíÿòü
îðìó
ëó
(4).
Èò
àê,
ñîã
ëàñíî
ñâîéñòâó
3
(ñì.
ñ.
5),
èìååì
20