ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 466
Скачиваний: 1
56
ее
центр
масс
,
который
при
колебаниях
перемещается
вдоль
оси
вращения
.
Положение
трифилярного
подвеса
можно
однозначно
задать
углом
поворота
φ
платформы
A’B’C’
вокруг
оси
OO’
.
При
малых
углах
отклонения
от
положения
равновесия
платформа
совершает
гармонические
колебания
по
закону
:
0
2
sin
t
T
π
ϕ ϕ
⋅
=
⋅
, (18)
где
φ
0
–
максимальный
угол
отклонения
платфор
-
мы
(
амплитуда
колебаний
),
Т
–
период
колебаний
.
Если
пренебречь
работой
сил
трения
,
то
можно
записать
закон
сохранения
механической
энергии
для
колеблющейся
плат
-
формы
:
потенциальная
энергия
,
которую
платформа
приобретает
при
от
-
клонении
от
положения
равновесия
за
счет
поднятия
центра
масс
на
высоту
h
,
переходит
в
кинетическую
энергию
вращения
при
прохождении
положе
-
ния
равновесия
:
2
0
1
,
2
m g h
J
ω
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
(19)
где
ω
0
–
максимальное
значение
угловой
скорости
d
dt
ϕ
.
Из
уравнения
(18)
находим
:
0
2
2
cos
max
d
t
dt
T
T
ϕ
π
π
ϕ
⋅
⋅
⎛
⎞
=
⋅
⋅
=
⎜
⎟
⎝
⎠
при
2
cos
1
t
T
π
⋅
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎝
⎠
,
то
есть
ω
0
=
=
φ
0
· (2
π
/T)
.
Подстановка
полученного
выражения
для
ω
0
в
уравнение
(19)
дает
:
2
2
0
2
2
m g h
J
T
π ϕ
⋅
⋅
⋅ ⋅ =
⋅
. (20)
Высоту
h
можно
найти
из
условия
нерастяжимости
нитей
А
A’
,
BB’
и
CC’
.
При
колебаниях
платформы
длина
нитей
2
2
2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
=
−
+
−
+
−
A
не
изменяется
.
Для
выражения
длины
нити
удобно
связать
прямоугольную
систему
координат
с
неподвижным
диском
,
поместив
начало
координат
в
центр
диска
O
и
направив
ось
х
вдоль
радиуса
OA
,
ось
z
–
вдоль
оси
вра
-
57
щения
вниз
,
ось
у
–
перпендикулярно
к
ним
.
Тогда
для
нити
А
A’
координа
-
ты
точки
А
,
которые
в
процессе
колебаний
не
изменяются
,
равны
:
x
A
= r,
y
A
= 0, z
A
= 0.
Координаты
точки
A’
в
направлении
вращения
равны
:
(0)
(0)
(0)
'
'
'
,
0,
A
A
A
x
R y
z
=
=
=
A
.
При
повороте
нижней
платформы
на
максимальный
угол
φ
0
коорди
-
наты
точки
A’
равны
:
x
A’
= R · cos
φ
0
, y
A’
= R · sin
φ
0
, z
A’
=
ℓ
– h
.
Условие
по
-
стоянства
длины
нити
А
A’
можно
записать
в
виде
:
2
2
2
(0)
2
(0)
2
(0)
2
'
'
'
'
'
'
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) .
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
Подстановка
значений
координат
дает
:
2
2
2
2
2
2
0
0
(
cos
)
sin
(
)
(
)
.
R
r
R
h
R r
ϕ
ϕ
⋅
−
+
⋅
+ −
=
−
+
A
A
Раскрывая
скобки
и
приводя
подобные
члены
,
можно
получить
:
0
2
(1 cos ) (2
)
R r
h h
ϕ
⋅ ⋅ ⋅ −
= ⋅ − ⋅
A
,
откуда
можно
выразить
величину
h
:
2
0
0
4
sin
2
(1 cos )
2 .
2
2
R r
R r
h
h
h
ϕ
ϕ
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −
=
=
⋅ −
⋅ −
A
A
При
малых
углах
отклонения
sin(
φ
0
/2)
≈
φ
0
/2
,
а
h << 2 ·
ℓ
,
поэтому
H = R · r ·
φ
0
2
/( 2 ·
ℓ
).
(21)
Подстановка
выражения
(21)
в
уравнение
(10)
позволяет
получить
ра
-
бочую
формулу
для
вычисления
момента
инерции
:
2
2
2
m g R r
J
T
π
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
A
. (22)
Здесь
m = m
пл
+ m
т
,
где
m
пл
–
масса
платформы
,
m
т
–
масса
тела
,
которое
находится
на
платформе
,
J
–
момент
инерции
платформы
с
телом
.
Исполь
-
зуя
свойство
аддитивности
момента
инерции
,
можно
определить
момент
инерции
тела
т
пл
J
J J
= −
,
измерив
предварительно
момент
инерции
нена
-
груженной
платформы
J
пл
.
В
соответствии
с
уравнением
(22)
момент
инер
-
ции
ненагруженной
платформы
равен
:
2
2
.
2
пл
пл
пл
m
g R r
J
T
π
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
A
(23)
58
Из
полученных
соотношений
следует
,
что
погрешность
момента
инерции
может
быть
рассчитана
по
формуле
:
2
2
т
пл
J
J
J
Δ
= Δ
+ Δ
, (24)
где
погрешность
J
Δ
определения
момента
инерции
системы
из
платформы
и
тела
вычисляется
по
формуле
:
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
пл
т
J
пл
т
m
m
R
r
T
E
m
m
R
r
T
Δ
+ Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
A
A
, (25)
J
J
E J
Δ =
⋅
. (26)
III.
ВЫПОЛНЕНИЕ
РАБОТЫ
Задание
1.
Определить
момент
инерции
ненагруженной
платформы
1.
Включить
осветитель
и
установить
световой
зайчик
в
центре
шкалы
.
2.
Привести
платформу
во
вращательное
движение
,
для
чего
плавно
потянуть
шнур
,
расположенный
слева
от
установки
,
а
затем
резко
его
от
-
пустить
.
Колебания
должны
быть
такими
,
чтобы
смещение
светового
зай
-
чика
не
превышало
40–50
см
в
каждую
сторону
шкалы
.
3.
Измерить
время
n =
30–50
полных
колебаний
.
Опыт
повторить
5
раз
.
Вычислить
среднее
время
колебаний
<t>
.
4.
Определить
период
колебаний
T = <t>/n
.
5.
По
формуле
(23)
вычислить
момент
инерции
платформы
.
6.
Определить
погрешность
измерения
момента
инерции
платформы
.
Задание
2.
Определить
момент
инерции
кольца
(
или
другого
тела
по
указанию
преподавателя
)
относительно
оси
симметрии
1.
На
платформы
трифилярного
подвеса
положить
кольцо
так
,
чтобы
центр
кольца
совпал
с
центром
масс
платформы
.
Для
этого
воспользоваться
нанесенными
на
платформе
концентрическими
окружностями
,
центры
ко
-
торых
совпадают
с
центром
масс
платформы
.
2.
Повторить
операции
,
описанные
в
задании
1
для
нагруженной
платформы
.
Момент
инерции
нагруженной
платформы
вычислить
по
фор
-
муле
(22),
а
момент
инерции
кольца
к
J
рассчитать
по
формуле
к
пл
J
J J
= −
.
59
Задание
3.
Проверка
теоремы
Гюйгенса
-
Штейнера
1.
Определить
момент
инерции
стержня
J
0
относительно
оси
,
прохо
-
дящей
через
его
центр
масс
перпендикулярно
продольной
геометрической
оси
.
Для
этого
положить
стержень
на
платформу
так
,
чтобы
его
центр
масс
совпадал
с
центром
платформы
,
используя
нанесенные
на
платформе
кон
-
центрические
окружности
.
2.
Повторить
операции
,
описанные
в
задании
2
и
вычислить
момент
инерции
стержня
J
0
и
погрешность
Δ
J
0
его
измерения
,
используя
соответст
-
венно
формулы
0
пл
J
J J
= −
, (24)
и
(25),
где
m
т
= m
ст
.
3.
Определить
момент
инерции
J
а
стержня
относительно
оси
,
находя
-
щейся
на
расстоянии
а
от
центра
масс
стержня
.
Для
этого
на
платформу
трифилярного
подвеса
положить
два
одинаковых
стержня
,
для
которых
уже
определен
момент
инерции
J
0
,
симметрично
относительно
платформы
на
расстоянии
2 ·
а
друг
от
друга
.
Расстояние
между
центрами
масс
стержней
определяется
линейкой
так
,
чтобы
она
проходила
через
центр
платформы
,
2 ·
а
= 15–20
см
(
по
указанию
преподавателя
).
4.
Повторить
действия
,
описанные
в
задании
2,
и
вычислить
момент
инерции
двух
стержней
относительно
оси
вращения
платформы
по
форму
-
ле
:
2
2
2
(
2
)
4
ст
пл
ст
пл
R r g
J
m
m
T
J
π
⋅ ⋅
=
⋅
+ ⋅
⋅
−
⋅
⋅
A
.
5.
Вычислить
момент
инерции
J
а
одного
стержня
,
находящегося
на
расстоянии
а
от
оси
вращения
:
J
а
= J
ст
/2
.
Рассчитать
погрешность
Δ
J
а
.
6.
Вычислить
погрешность
определения
суммы
J
0
+ m · a
2
.
Предста
-
вить
отдельно
левую
и
правую
часть
проверяемого
равенства
J
а
= J
0
+ m · a
2
с
указанием
их
погрешностей
.
Если
указанные
доверительные
интервалы
пересекаются
,
то
справедливость
теоремы
Гюйгенса
-
Штейнера
подтвер
-
ждена
экспериментально
.
7.
Сделать
выводы
.
60
IV.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1.
Дайте
определение
момента
инерции
относительно
оси
вращения
:
а
)
материальной
точки
;
б
)
системы
материальных
точек
;
в
)
сплошного
твер
-
дого
тела
.
2.
Установить
связь
моментов
инерции
тела
относительно
оси
и
точки
.
3.
Вывести
формулу
момента
инерции
тонкого
сплошного
диска
от
-
носительно
оси
вращения
,
проходящей
через
его
центр
:
а
)
перпендикуляр
-
ной
плоскости
диска
,
б
)
расположенной
в
плоскости
диска
.
4.
Доказать
теорему
Гюйгенса
-
Штейнера
.
Как
проверить
ее
экспери
-
ментально
?
5.
Вывести
формулу
момента
инерции
тонкого
стержня
относительно
оси
,
перпендикулярной
оси
симметрии
стержня
,
проходящей
:
а
)
через
его
центр
;
б
)
через
один
из
концов
.
6.
Какие
физические
законы
применяются
при
выводе
рабочей
формулы
для
определения
момента
инерции
?
Обосновать
возможность
их
применения
.
7.
Вывести
рабочие
формулы
для
расчета
момента
инерции
.
8.
Вывести
формулы
для
вычисления
погрешностей
определения
момента
инерции
.