ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 467
Скачиваний: 1
6
том
случае
,
если
U
зависит
не
от
двух
переменных
х
1
и
х
2
порознь
,
а
только
от
их
разности
х
=
х
1
–
х
2
:
U (x
1
, x
2
) = U (
х
1
–
х
2
) = U(x)
.
При
этом
условии
силы
,
действующие
на
первую
и
вторую
частицу
,
равны
соответственно
:
1
2
1,2
1
1
1
1
2
2,1
2
2
2
( , )
( )
( )
,
( , )
( )
( )
,
U x x
U x
U x
x
U
F
x
x
x
x
x
U x x
U x
U x
x
U
F
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
⎧
= −
= −
= −
⋅
= −
⎪
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
⎨
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
= −
= −
= −
⋅
= +
⎪
∂
∂
∂
∂
∂
⎩
где
F
1,2
–
сила
,
действующая
на
частицу
1
со
стороны
частицы
2
,
F
2,1
–
сила
,
действующая
на
частицу
2
со
стороны
частицы
1.
Из
полученных
соотно
-
шений
следует
,
что
в
соответствии
с
третьим
законом
Ньютона
F
1,2
= –F
2,1
.
Складывая
уравнения
движения
частиц
1
1,2
/
dp dt F
=
G
G
и
2
2,1
/
dp dt
F
=
G
G
,
где
1
p
G
и
2
p
G
–
импульсы
частиц
,
получим
:
(
)
1
2
1
2
1,2
2,1
0.
dp
dp
d
p
p
F
F
dt
dt
dt
+
=
+
=
+
=
G
G
G
G
G
G
Следовательно
,
0
i
i
p
=
∑
G
. (2)
Уравнение
(2)
выражает
закон
сохранения
импульса
:
если
на
систему
не
действуют
внешние
силы
или
их
векторная
сумма
равна
нулю
,
то
сум
-
марный
импульс
системы
с
течением
времени
не
изменяется
.
Для
матери
-
альной
точки
закон
сохранения
импульса
означает
,
что
в
отсутствие
внешних
сил
она
движется
прямолинейно
с
постоянной
скоростью
.
Для
системы
мате
-
риальных
точек
закон
сохранения
импульса
утверждает
,
что
в
отсутствие
внешних
сил
центр
масс
системы
движется
прямолинейно
и
равномерно
.
Уравнение
(2)
может
быть
представлено
в
виде
суммы
трех
скаляр
-
ных
уравнений
:
1
2
3
,
,
xi
yi
zi
i
i
i
p
const
p
const
p
const
=
=
=
∑
∑
∑
,
то
есть
не
только
сумма
векторов
импульсов
,
но
и
сумма
проекций
этих
векторов
на
координатные
оси
остаются
постоянными
.
Возможна
ситуа
-
ция
,
когда
система
материальных
точек
или
отдельная
материальная
точка
7
не
изолирована
,
но
внешние
силы
действуют
лишь
в
определенных
направ
-
лениях
,
а
в
других
направлениях
отсутствуют
.
Тогда
можно
так
выбрать
систему
координат
,
чтобы
одна
или
две
проекции
внешних
сил
обратились
в
нуль
.
Рассмотрим
частный
случай
,
когда
внешние
силы
,
действующие
на
составные
части
системы
,
перпендикулярны
некоторому
направлению
,
на
-
пример
,
осям
ОХ
и
ОУ
,
то
есть
F
x
= 0, F
y
= 0, F
z
≠
0
.
В
этом
случае
уравне
-
ние
движения
/
dp dt
F
=
G
G
,
записанное
в
компонентах
величин
по
координат
-
ным
осям
,
примет
следующий
вид
:
0;
0;
.
y
x
z
z
dp
dp
dp
F
dt
dt
dt
=
=
=
(3)
Интегрируя
первые
два
уравнения
системы
(3),
получим
:
р
х
= const;
р
у
= const
. (4)
Из
уравнений
(4)
следует
,
что
в
направлениях
,
параллельных
плоско
-
сти
Х
–
У
,
система
ведет
себя
как
изолированная
.
Например
,
вблизи
поверх
-
ности
Земли
силы
тяготения
направлены
вертикально
,
а
горизонтальные
со
-
ставляющие
отсутствуют
.
Поэтому
в
данном
случае
систему
материальных
точек
относительно
движения
в
горизонтальном
направлении
можно
рас
-
сматривать
как
изолированную
,
если
учитывать
только
силы
тяготения
.
Потенциальное
силовое
поле
Если
в
каждой
точке
пространства
на
частицу
действует
определенная
сила
,
это
означает
,
что
частица
находится
в
силовом
поле
.
Примерами
сило
-
вого
поля
являются
поле
сил
тяжести
,
поле
упругих
сил
,
поле
сил
сопро
-
тивления
в
потоке
жидкости
или
газа
.
Таким
образом
,
часть
пространства
,
в
которой
действуют
силы
на
внесенные
в
нее
тела
,
называется
силовым
полем
.
Поле
,
не
изменяющееся
во
времени
,
называется
стационарным
.
Поле
,
стационарное
в
одной
системе
отсчета
,
может
оказаться
нестационарным
в
другой
системе
отсчета
.
Различают
два
вида
силовых
полей
:
поле
консервативных
сил
и
поле
неконсервативных
сил
.
Сила
,
работа
которой
не
зависит
от
пути
,
по
ко
-
торому
точка
ее
приложения
переходит
из
начального
положения
в
конеч
-
8
ное
,
называется
консервативной
.
Работа
консервативных
сил
не
зависит
от
траектории
,
по
которой
движется
точка
приложения
силы
.
Это
означает
,
что
работа
перемещения
точки
из
положения
1
в
2
по
пути
1–3–2
и
по
пути
1–4–2
(
рис
. 2)
одинакова
,
если
она
совершается
консервативными
силами
,
то
есть
А
132
=
А
142
.
Так
как
силы
зависят
от
конфигурации
системы
,
то
А
132
=
= –
А
241
,
где
А
241
–
работа
,
совершаемая
при
переходе
из
положения
2
в
по
-
ложение
1
по
пути
2–4–1
.
Таким
образом
,
А
132
+
А
241
=0
.
Но
сумма
А
132
+
А
241
равна
работе
,
совершенной
силами
при
перемещении
точки
по
замкнутому
контуру
.
Следовательно
,
работа
консервативных
сил
при
перемещении
по
замкнутому
контуру
равна
нулю
.
Векторное
поле
,
циркуляция
которого
по
произвольному
замкнутому
контуру
равна
нулю
,
называется
потенциальным
.
Поэтому
поле
,
в
котором
действуют
только
консервативные
силы
,
называется
потенциальным
.
Консервативны
-
ми
являются
,
например
,
электростатические
силы
,
упругости
,
тяготения
.
Закон
сохранения
механической
энергии
Рассмотрим
систему
N
материальных
точек
массами
m
1
, m
2
,…m
i
,…m
N
,
между
которыми
действуют
только
консервативные
силы
.
Запишем
для
ка
-
ждой
точки
уравнение
второго
закона
Ньютона
:
1
1
12
13
1
1
1
2
2
2
21
23
2
2
2
1,(
2)
1
2
,
1
...
;
...
;
.........................................................................
...
N
N
j
j
N
N
j
j
j
N
N
N
N
N N
N
d
m
F
F
F
F
F
dt
d
m
F
F
F
F
F
dt
d
m
F
F
F
F
dt
υ
υ
υ
=
=
≠
−
⋅
=
+
+ +
=
=
⋅
=
+
+ +
=
=
⋅
=
+
+ +
=
∑
∑
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
1
1
;
N
j
N
j
F
−
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎩
∑
G
(5)
где
ij
F
G
–
консервативная
сила
,
действующая
на
i
-
ю
точку
со
стороны
j
-
й
точ
-
ки
.
Суммарная
сила
,
действующая
на
i
-
ю
точку
со
стороны
всех
остальных
точек
системы
,
равна
1(
)
.
N
i
ij
j
j i
F
F
=
≠
=
∑
G
G
Рис
. 2
9
Пусть
за
время
dt
радиус
-
векторы
точек
системы
изменились
на
1
2
,
,...
N
dr dr
dr
G
G
G
.
Умножая
уравнения
системы
(5)
скалярно
на
соответствую
-
щие
перемещения
и
учитывая
,
что
i
i
i
i
d
dr
d
dt
υ
υ
υ
⋅
= ⋅
G
G
G
G
,
получим
:
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
(
)
0;
(
)
0;
......................................
(
)
0.
N
N
N
N
N
m
d
F dr
m
d
F dr
m
d
F dr
υ υ
υ
υ
υ
υ
⎧
⋅
− ⋅
=
⎪
⋅
−
⋅
=
⎪
⎨
⎪
⎪
⋅
−
⋅
=
⎩
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
(6)
Поскольку
1
2
, ,...
N
F F
F
G G
G
–
консервативные
силы
,
то
работа
каждой
та
-
кой
силы
,
взятая
с
обратным
знаком
,
равна
изменению
потенциальной
энер
-
гии
соответствующей
материальной
точки
в
силовом
поле
всех
остальных
точек
.
Например
,
работа
силы
i
F
G
при
перемещении
i
-
й
точки
на
i
dr
G
равна
:
i
i
i
F dr
dU
− ⋅
=
G
G
, (7)
где
dU
i
–
изменение
потенциальной
энергии
i
-
й
материальной
точки
.
Учиты
-
вая
равенство
(7),
а
также
соотношение
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
m
m
d
d m
d
υ
υ
υ υ
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
G
G
G
=
dE
ki
,
систему
уравнений
(6)
можно
записать
в
виде
:
1
1
2
2
0;
0;
........................
0.
k
k
kN
N
dE
dU
dE
dU
dE
dU
+
=
⎧
⎪
+
=
⎪
⎨
⎪
⎪
+
=
⎩
(8)
Суммируя
уравнения
системы
(8),
получим
:
1
1
0.
N
N
ki
i
i
i
dE
dU
=
=
+
=
∑
∑
По
-
скольку
ki
dE
и
i
dU
в
данном
случае
–
полные
дифференциалы
функции
,
вынося
знак
дифференциала
за
знак
суммы
,
получим
:
1
1
0.
N
N
ki
i
i
i
d
E
U
=
=
⎛
⎞
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
(9)
10
Здесь
сумма
1
N
ki
k
i
E
E
=
=
∑
обозначает
полную
кинетическую
энергию
систе
-
мы
,
а
сумма
1
N
i
i
U
U
=
=
∑
–
полную
энергию
взаимодействия
всех
частиц
меж
-
ду
собой
,
то
есть
полную
потенциальную
энергию
системы
.
Тогда
соотно
-
шение
(9)
можно
записать
в
виде
:
d (E
k
+ U)= 0
,
следовательно
:
E
k
+ U = E = const
. (10)
Уравнение
(10)
выражает
закон
сохранения
механической
энергии
системы
материальных
точек
:
полная
механическая
энергия
изолированной
системы
,
в
которой
действуют
только
консервативные
силы
,
есть
вели
-
чина
постоянная
,
какие
бы
механические
изменения
не
происходили
внутри
системы
.
Полная
механическая
энергия
системы
материальных
точек
равна
сумме
ее
полной
кинетической
энергии
и
полной
потенциальной
энергии
.
Если
изолированная
система
не
консервативна
,
то
есть
в
ней
дейст
-
вуют
диссипативные
силы
,
то
механическая
энергия
такой
системы
убыва
-
ет
:
уменьшение
механической
энергии
обусловлено
тем
,
что
она
расходует
-
ся
на
работу
против
диссипативных
сил
,
действующих
в
системе
.
При
этом
механическая
энергия
не
исчезает
бесследно
:
она
переходит
в
другую
фор
-
му
–
во
внутреннюю
энергию
тел
.
Опыт
показывает
,
что
увеличение
внут
-
ренней
энергии
замкнутой
системы
равно
убыли
полной
механической
энергии
системы
.
Поэтому
,
опираясь
только
на
опыт
,
можно
сформулиро
-
вать
универсальный
закон
сохранения
энергии
:
энергия
никогда
не
создает
-
ся
и
не
уничтожается
,
она
может
только
переходить
из
одной
формы
в
другую
или
обмениваться
между
отдельными
частями
материи
.
Закон
сохранения
механической
энергии
в
общей
формулировке
есть
исключительно
опытный
закон
.
Из
него
следует
как
частный
случай
закон
сохранения
механической
энергии
в
изолированных
системах
,
в
которых
действуют
только
консервативные
силы
.
Закон
сохранения
механической
энергии
в
изолированных
системах
можно
получить
как
следствие
законов
Ньютона
.
Однако
в
общем
случае
закон
сохранения
энергии
является
опыт
-
ным
и
не
может
быть
выведен
из
законов
динамики
.