ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 862
Скачиваний: 1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО
ПО
ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«
ВОРОНЕЖСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
»
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ
КУРСОВОЙ
РАБОТЫ
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
(
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
)
Учебно
-
методическое
пособие
для
вузов
Издательско
-
полиграфический
центр
Воронежского
государственного
университета
2008
2
Утверждено
научно
-
методическим
советом
факультета
ПММ
11
февраля
2008
г
.,
протокол
№
5
Составители
:
Г
.
А
.
Виноградова
,
А
.
А
.
Ларин
,
Н
.
В
.
Рогова
,
П
.
С
.
Украинский
Рецензент
д
.
ф
.-
м
.
н
.
И
.
Я
.
Новиков
Учебное
пособие
подготовлено
на
кафедре
дифференциальных
уравнений
факультета
прикладной
математики
,
информатики
и
механики
Воронеж
-
ского
государственного
университета
.
Рекомендовано
для
студентов
второго
курса
факультета
прикладной
ма
-
тематики
,
информатики
и
механики
Воронежского
государственного
уни
-
верситета
.
Для
специальностей
: 010501 –
Прикладная
информатика
и
механика
,
010901 –
Механика
,
010503 –
Математическое
обеспечение
и
админист
-
рирование
информационных
систем
3
Введение
Курсовая
работа
предусмотрена
программой
курса
математического
анализа
.
Пособие
содержит
25
вариантов
заданий
для
курсовой
работы
по
математическому
анализу
.
Задания
предполагают
индивидуальную
работу
студентов
для
более
глубокого
освоения
раздела
«
интегральное
исчисление
функций
многих
переменных
».
При
решении
задач
можно
использовать
литературу
,
список
которой
приведен
в
конце
пособия
.
Вариант
№
1
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
ϕ
sin
r
y
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
{
}
{
}
4
3
,
min
:
)
,
(
2
2
2
2
2
2
≤
+
≤
−
+
+
+
=
y
x
x
y
x
x
y
x
y
x
D
.
2.
Вычислить
∫∫
+
D
dxdy
y
x
)
(
2
2
,
где
{
}
0
,
0
,
3
:
)
,
(
≥
≥
≤
+
=
y
x
y
x
y
x
D
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
ϕ
cos
r
x
=
,
ϕ
sin
r
y
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
2
2
2
2
4
4
4
4
k
y
h
x
b
y
a
x
+
=
+
.
4.
Найти
объем
cz
z
y
x
2
2
2
2
≤
+
+
,
az
y
x
2
2
2
≥
+
)
2
(
a
c
a
≤
<
.
5.
Найти
площадь
поверхности
xy
z
2
2
=
,
если
,
0
a
x
≤
≤
b
y
≤
≤
0
.
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сфе
-
рической
системе
координат
,
если
{
,
8
8
:
)
,
,
(
2
2
2
−
≤
+
+
=
z
z
y
x
z
y
x
D
}
2
2
2
)
(
3
z
y
x
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
4
0
:
)
,
,
(
2
x
z
z
y
x
D
−
≤
≤
=
}
0
,
0
2
2
≥
≥
−
x
y
x
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
h
z
c
z
b
y
a
x
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
3
2
3
2
3
2
.
9.
Найти
массу
тела
плотностью
y
=
ρ
,
ограниченного
поверхностями
a
z
x
2
2
=
+
,
a
z
x
=
+
,
)
0
(
0
,
2
≥
=
=
y
y
ax
y
.
10.
Плотность
в
каждой
точке
прямоугольника
пропорциональна
квад
-
рату
расстояния
от
этой
точки
до
одной
из
его
вершин
.
Найти
мо
-
мент
инерции
этого
прямоугольника
относительно
его
сторон
,
про
-
ходящих
через
эту
вершину
,
длины
которых
соответственно
равны
a
и
b
.
4
11.
Найти
массу
части
однородного
параболоида
),
(
2
1
2
2
y
x
z
+
=
1
0
≤
≤
z
плотности
ρ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
y
x
S
∫∫
+
|
|
,
где
S
–
часть
по
-
верхности
геликоида
v
u
x
cos
=
,
v
u
y
sin
=
,
v
z
=
,
π
2
0
≤
≤
v
,
1
0
≤
≤
u
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
винтовой
линии
{
,
cos
:
)
,
,
(
t
a
x
z
y
x
L
=
=
,
sin
t
a
y
=
bt
z
=
,
}
π
≤
≤
t
0
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
−
L
y
x
ds
,
где
L
–
отрезок
АВ
,
А
= (0,–2),
В
= (4,0).
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
xdy
dx
y
)
2
(
,
взятый
вдоль
ориентированной
кривой
:
)
,
{(
y
x
L
=
sin ,
1 cos , 0
2 }
x t
t
y
t
t
π
= −
= −
≤ ≤
,
где
кривая
прохо
-
дится
по
возрастанию
параметра
.
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
2
2
(
)
(
)
,
L
xy z dx
yz x dy y a
x dz
+
+
+
+
−
∫
где
L
–
кривая
ax
z
y
x
2
2
2
2
=
+
+
,
2
2
2
a
y
x
=
+
,
положительно
ориенти
-
рованная
на
внутренней
стороне
цилиндра
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
+
+
+
S
dxdy
x
z
dzdx
z
y
dydz
y
x
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
,
где
S
–
внутренняя
сторона
поверхности
тела
2
2
2
2
a
z
y
x
≤
+
+
,
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
z
y
x
.
18.
Найти
div F
JG
,
если
2
2
y
x
kz
jy
ix
F
+
+
+
−
=
,
где
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
2
(
)
(
) .
div u u
u u
u
∇
= Δ + ∇
20.
Под
действием
силы
g
G
,
направленной
по
оси
OZ
,
тело
единичной
массы
скатывается
от
точки
)
2
,
0
,
(
b
a
A
π
=
до
точки
)
0
,
0
,
(
a
B
=
по
спи
-
рали
,
cos
ϕ
a
x
=
sin ,
y
a
ϕ
=
)
2
(
ϕ
π
−
=
b
z
.
Найти
работу
поля
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
xy
z
j
xz
y
i
yz
x
F
G
G
G
)
(
)
(
)
(
3
3
3
+
+
+
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
16
:
2
2
2
=
+
+
z
y
x
S
,
0
≥
z
.
Вариант
№
2
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
коор
-
динатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
{
}
2
2
( , ) :
max (2 , 2 )
D
x y x
y
ax ay
=
+
≤
.
5
2.
Вычислить
∫∫
−
D
dxdy
y
x
|
|
2
,
где
{
}
2
0
,
1
|
|
:
)
,
(
≤
≤
≤
=
x
y
y
x
D
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
4
4
4
4
c
y
x
b
y
a
x
=
+
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
2
a
z
y
x
≤
+
+
,
)
2
(
2
2
z
a
a
y
x
−
≥
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
y
x
z
+
=
,
если
ax
y
x
2
2
2
≤
+
.
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сферической
системе
координат
,
если
{
,
2
:
)
,
,
(
2
2
2
yR
z
y
x
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
2
2
2
z
y
x
≥
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
4
0
:
)
,
,
(
x
z
z
y
x
D
−
≤
≤
=
}
2
2
2
+
≤
x
y
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
k
z
c
z
b
y
a
x
.
9.
Найти
массу
тела
плотностью
2
z
=
ρ
,
ограниченного
поверхностями
2
2
2
4
4
2
2
a
az
ay
ax
y
x
=
+
−
−
+
,
0
4
4
2
2
2
2
=
+
−
−
+
az
ay
ax
y
x
,
0
=
z
( , , )
M a a a
V
∈
.
10.
Найти
момент
инерции
относительно
начала
координат
однородной
пластинки
плотности
ρ
,
занимающей
область
,
ограниченную
ли
-
ниями
9
2
2
=
+
y
x
,
0
=
+
y
x
,
0
=
−
y
x
(
0
≥
x
).
11.
Найти
массу
части
цилиндра
az
z
x
2
2
2
=
+
,
лежащей
внутри
конуса
2
2
2
,
x
y
z
+
=
если
плотность
| |
y
ρ
=
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xy
S
∫∫
|
|
,
где
S
–
поверхность
тела
,
образованного
пересечением
цилиндров
2
2
2
,
x
z
a
+
=
2
2
2
a
z
y
=
+
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
{
( , , ) :
(
sin ),
L
x y z x
a t
t
=
=
−
(1 cos ),
y
a
t
=
−
2
4 sin
t
z
a
=
,
}
π
2
0
≤
≤
t
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
yds
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
π
≤
≤
=
x
x
y
0
,
sin
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
+
L
y
x
xdy
ydx
2
2
1
,
где
L
–
отрезок
АВ
,
А
= (0,0)
и
B
= (1,1).