ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 375
Скачиваний: 1
6
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
dz
zx
zdy
y
xyzdx
L
∫
+
+
2
2
,
где
L
–
кривая
2
2
2
a
z
x
=
+
,
2
2
2
a
y
z
=
+
,
0
≥
x
,
положительно
ориентирован
-
ная
на
внешней
стороне
первого
цилиндра
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dxdy
zy
dzdx
yx
dydz
xz
2
2
2
,
где
S
–
внешняя
сторона
поверхности
тела
az
z
y
x
2
2
2
2
≤
+
+
,
y
x
≥
,
2
2
2
3
z
y
x
≥
+
.
18.
Найти
div F
JJG
,
если
r
F
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
.
19.
Пусть
v
u
,
–
скалярные
поля
.
Доказать
,
что
v
u
v
u
v
u
div
∇
⋅
∇
+
Δ
=
∇
)
(
.
20.
Найти
работу
поля
F
G
,
где
F
G
–
упругая
,
направленная
к
началу
ко
-
ординат
и
пропорциональная
удалению
точки
от
начала
координат
,
вдоль
кратчайшей
дуги
эллипса
cos ,
sin
x
a
t
y b
t
=
=
от
точки
)
0
,
(
a
A
=
до
точки
)
,
0
(
b
B
=
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
yz
z
j
xy
y
i
x
xy
F
G
G
G
)
(
)
2
2
(
)
(
2
−
+
−
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
2
2
2
:
z
y
x
S
=
+
,
H
z
≤
≤
0
.
Вариант
№
3
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥
≥
≤
≤
+
=
0
,
0
,
3
:
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
a
x
y
a
y
x
y
x
D
.
2.
Вычислить
∫∫
−
+
D
dxdy
y
x
)
4
sgn(
2
2
,
где
{
}
9
:
)
,
(
2
2
≤
+
=
y
x
y
x
D
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
2
2
2
4
4
4
4
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
b
y
a
x
k
y
h
x
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
2
b
x
y
a
≤
+
≤
,
0
2
2
2
≥
−
−
z
y
x
,
0
≥
x
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
x
z
=
,
если
x
y
x
4
2
≤
≤
,
2
2
≤
x
.
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сферической
системе
координат
,
если
{
,
2
:
)
,
,
(
2
2
2
yR
z
y
x
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
2
2
2
z
y
x
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
2
:
)
,
,
(
≤
+
+
=
z
y
x
z
y
x
D
}
0
,
0
,
4
4
0
2
2
≥
≥
−
−
≤
≤
x
y
y
x
z
.
7
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
x
y
z
x
y
z
z
c
a
b
c
a
b
c
π
⎛
⎞
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
+
+
=
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎝
⎠
.
9.
Найти
массу
куба
со
стороной
a
,
если
плотность
его
в
каждой
точке
равна
квадрату
расстояния
этой
точки
до
фиксированной
вершины
куба
.
10.
Найти
координаты
центра
тяжести
однородной
пластинки
,
имею
-
щей
форму
кругового
сектора
с
углом
α
и
радиусом
R
.
11.
Найти
массу
части
конуса
2
2
2
z
y
x
+
=
,
лежащей
внутри
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
если
плотность
x
=
ρ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
y
x
S
∫∫
−
)
(
,
где
S
–
часть
ци
-
линдра
2
2
2
a
y
x
=
+
,
0
≥
x
,
лежащая
внутри
цилиндра
)
(
2
x
a
a
z
−
=
.
13.
Найти
координаты
силы
притяжения
однородной
полуокружности
массой
M
и
радиусом
R
массы
m
,
помещенной
в
центре
соответст
-
вующей
окружности
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
ds
y
x
)
(
2
2
,
где
L
–
отрезок
АВ
,
А
= (0,1),
В
= (–2,3).
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
dy
xy
ydx
x
)
(
2
2
,
где
:
)
,
{(
y
x
L
=
}
2
2
2
r
y
x
=
+
–
окружность
,
которая
обходится
в
поло
-
жительном
направлении
.
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
вычислить
∫
+
+
+
+
L
zdz
y
dy
x
z
y
xdx
z
2
2
)
(
,
где
L
–
кривая
ax
y
x
=
+
2
2
,
2
2
2
z
y
x
+
=
,
положительно
ориентиро
-
ванная
на
внешней
стороне
цилиндра
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dxdy
yx
dzdx
zy
dydz
yz
2
2
2
,
где
S
–
внешняя
сторона
поверхности
тела
1
2
2
≤
+
y
x
,
0,
0
x
y
≥
≥
,
2
2
0
.
z x
y
≤ ≤
+
18.
Найти
div F
JG
,
если
r
r
F
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
,
|
|
r
r
=
.
19.
Пусть
v
u
,
–
скалярные
поля
.
Доказать
,
что
(
)
grad u v
grad u grad v
+
=
+
.
20.
Найти
работу
поля
F
G
,
где
F
G
–
сила
,
имеющая
постоянную
величину
и
направленную
вдоль
оси
OY
вдоль
кратчайшей
дуги
эллипса
cos ,
sin
x a
t
y b
t
=
=
от
точки
)
0
,
(
a
A
=
до
точки
)
,
0
(
b
B
=
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
y
x
z
j
x
z
y
i
z
y
x
F
G
G
G
)
(
)
(
)
(
+
−
+
+
−
+
+
−
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
1
|
|
|
|
|
|
:
=
+
+
z
y
x
S
.
8
Вариант
№
4
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
{
}
)
(
:
)
,
(
2
2
2
2
2
y
x
y
a
y
x
a
y
x
D
+
+
≤
+
≤
=
.
2.
Вычислить
∫∫
+
D
dxdy
y
x
])
[
]
([
,
где
D
–
квадрат
с
вершинами
O
(0,0),
A
(0,2),
В
(2,0),
С
(2,2).
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
2
2
2
5
4
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
b
y
a
x
c
y
x
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
a
x
az
≤
+
,
2
2
2
4
0
y
x
a
az
−
−
≤
≤
.
5.
Найти
площадь
поверхности
xy
cz
=
,
если
(
)
xy
c
y
x
2
2
2
2
2
≤
+
,
0
≥
z
.
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сферической
системе
координат
,
если
{
,
:
)
,
,
(
2
2
2
2
R
z
y
x
z
y
x
D
≥
+
+
=
}
zR
z
y
x
2
2
2
2
≤
+
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
( , , ) : |
|
2,
D
x y z
x y
=
+
≤
}
}
2
2
0
4
.
z
x
y
≤ ≤ −
−
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
k
z
c
z
b
y
a
x
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
4
4
2
2
2
2
2
.
9.
Найти
массу
шара
радиусом
R
,
если
плотность
его
в
каждой
точ
-
ке
равна
удвоенному
расстоянию
этой
точки
до
поверхности
шара
.
10.
Найти
координаты
центра
тяжести
однородной
пластинки
,
зани
-
мающей
область
,
ограниченную
линиями
:
1
,
,
=
−
=
=
x
x
y
x
y
,
если
плотность
пластинки
в
каждой
ее
точке
численно
равна
расстоянию
от
этой
точки
до
начала
координат
.
11.
Найти
массу
части
конуса
2
2
2
z
y
x
=
+
,
4
0
≤
≤
z
,
если
плотность
в
каждой
точке
равна
квадрату
расстояния
до
вершины
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
x
S
∫∫
,
где
S
–
часть
цилинд
-
ра
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
лежащая
вне
гиперболоида
2
2
2
2
a
z
y
x
=
−
+
.
13.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
zx
yz
xy
S
)
(
+
+
∫∫
,
где
{
,
:
)
,
,
(
2
2
y
x
z
z
y
x
S
+
=
=
}
ax
y
x
2
2
2
<
+
.
9
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
xyds
,
где
L
–
контур
квадрата
,
ограниченного
линиями
,
1
=
±
y
x
1
−
=
±
y
x
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
dy
x
y
ydx
)
(
2
,
где
L
–
дуга
параболы
2
2
x
x
y
−
=
от
точки
A
= (2,1)
до
точки
B
= (0,0).
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
∫
+
+
L
dz
y
dy
x
dx
z
2
2
2
,
где
L
–
кривая
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
3
)
(
2
2
y
x
z
+
=
,
положительно
ориентирован
-
ная
на
внешней
стороне
конуса
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
+
+
+
S
dxdy
x
z
dzdx
z
y
dydz
y
x
)
(
)
(
)
(
2
2
2
,
где
S
–
часть
внешней
сторо
-
ны
цилиндра
2
2
2
a
y
x
=
+
,
H
z
≤
≤
0
.
18.
Найти
div F
JG
,
если
k
xy
xyz
f
j
xz
xyz
f
i
yz
xyz
f
F
)
(
2
)
(
)
(
−
+
=
,
где
k
j
i
,
,
–
единич
-
ные
орты
,
а
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
.
19.
Доказать
,
что
(
)
div F
div F div
+ Φ =
+
Φ
G
G
G
G
.
20.
Найти
работу
поля
)
,
2
(
2
x
xy
F
=
G
вдоль
кратчайшей
дуги
эллипса
cos ,
sin
x
a
t
y b
t
=
=
от
точки
)
0
,
(
a
A
=
до
точки
)
,
0
(
b
B
=
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
−
+
=
2
2
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
2
2
2
:
z
y
x
S
=
+
,
H
z
≤
≤
0
.
Вариант
№
5
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
{
}
1
|
|
|
1
|
:
)
,
(
≤
+
−
=
y
x
y
x
D
,
пе
-
рейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вычислить
∫∫
D
xydxdy
,
где
область
D
ограничена
осями
координат
и
кривой
2
/
0
,
sin
,
cos
3
3
π
≤
≤
=
=
t
t
a
y
t
a
x
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
2
2
2
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
b
y
a
x
c
x
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
2
4
y
x
a
az
x
−
−
≤
≤
.
5.
Найти
площадь
поверхности
(
)
4
2
3
2
2
z
c
y
x
=
+
,
если
16
2
2
2
c
y
x
≤
+
.
10
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сферической
системе
координат
,
если
{
,
:
)
,
,
(
2
2
2
2
R
z
y
x
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
zR
z
y
x
2
2
2
2
≤
+
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
:
)
,
,
(
2
2
2
z
y
x
z
y
x
D
+
≥
=
}
2
2
4
5
y
z
x
+
+
≤
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
де
-
картову
,
цилиндрическую
или
сферическую
).
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
3
2
2
2
2
2
2
2
h
xyz
c
z
b
y
a
x
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
9.
Найти
массу
сферического
слоя
между
сферами
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
,
2
2
2
2
4
a
z
y
x
=
+
+
,
если
плотность
его
в
каждой
точке
обратно
про
-
порциональна
расстоянию
точки
от
начала
координат
и
на
внешней
сфере
равна
0
ρ
.
10.
Найти
массу
круглой
пластинки
радиусом
R,
если
плотность
пла
-
стинки
в
каждой
точке
пропорциональна
расстоянию
этой
точки
до
центра
пластины
и
равна
0
ρ
на
краю
пластины
.
11.
Найти
статический
момент
части
цилиндра
Ry
y
x
2
2
2
=
+
,
лежа
-
щей
между
плоскостями
0
=
z
и
c
z
=
,
относительно
плоскости
XZ
,
если
плотность
z
y
+
=
ρ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
∫∫
+
−
)
(
2
2
,
где
S
–
часть
цилиндра
2
2
2
a
y
x
=
+
,
0
≥
x
,
лежащая
между
плоскостями
0
=
+
z
x
и
0
=
−
z
x
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
,
(
z
y
x
L
=
,
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
| |
,
y
x
=
}
0
≥
z
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
xyds
,
где
L
–
четверть
окружности
1
2
2
=
+
y
x
,
лежащая
в
первом
квадранте
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
dy
x
y
ydx
)
(
2
,
где
L
–
контур
,
составленный
линиями
2
1
,
,
0
x
y
x
y
y
−
=
=
=
с
поло
-
жительным
направлением
обхода
.
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
∫
+
+
+
+
+
+
−
−
L
dz
z
x
y
dy
x
z
y
dx
y
x
z
)
2
(
)
(
)
(
3
2
2
,
где
L
–
кривая
2
2
2
z
y
x
+
=
,
0
≥
x
,
az
z
y
x
2
2
2
2
=
+
+
,
положительно
ориентированная
на
внешней
стороне
правой
0
≥
x
полусферы
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
zdxdy
dzdx
y
dydz
x
3
3
,
где
S
–
часть
внутренней
стороны
гипербо
-
лоида
1
2
2
2
=
−
+
z
y
x
,
3
0
≤
≤
z
.