Файл: main_matan-2013-10Nov2013.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю. К. Тимошенко

РЕШЕНИЕ ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ

МАТЕМАТИКИ MAXIMA

Примеры и задания

для лабораторного практикума

ЧЕРНОВИК

ВЕРСИЯ ОТ 10.11.2013

Воронежский государственный университет

2013

Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.

1

Содержание

Содержание

1

1 MAXIMA: базовые понятия

2

1.1

Общие сведения и установка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Числовые константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Последовательности. Пределы последовательностей. Функции одной

переменной: пределы, графики, производные, экстремумы, ряд Тейло-
ра.

7

2.1

Примеры суммирования последовательностей

. . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Примеры вычисления пределов последовательностей . . . . . . . . . .

7

2.3

Функции: простые преобразования

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4

Примеры вычисления пределов функций . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.5

Примеры вычисления производных

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Примеры построения графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7

Примеры вычисления экстремумов функций . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8

Примеры разложения функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . .

18

2.9

Примеры суммирования рядов с абсолютной и машинной точностью .

18

2.10 Задания для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Предметный указатель

19

Список литературы

20

Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.

2

1.

MAXIMA: базовые понятия

1.1.

Общие сведения и установка

За последние двадцать лет

системы компьютерной математики

(СКМ), ко-

торые также часто называют

системами компьютерной алгебры

, получили по-

всеместное распространение и являются неотъемлемым инструментом современ-
ных образовательных технологий и научных исследований. Под СКМ понимают
программные продукты, позволяющие выполнять на компьютере численные расче-
ты, аналитические (символьные) преобразования, создавать и анализировать раз-
личные мультимедийные объекты. Наиболее популярны в настоящее время СКМ
Mathematica, Maple, MATLAB и MathCad, являющиеся проприетарными компью-
терными программами. Лицензии на обладание этими СКМ весьма д´ороги. Это
обстоятельство заставляет обращать взоры на СКМ со свободным кодом, распро-
страняемые бесплатно. Качество и возможности некоторых таких СКМ в последние
годы заметно возросли, хотя и всё ещё не достигают уровня коммерческих программ
аналогичного назначения. В частности, это относится и к СКМ MAXIMA [1]. Эта
программа написана на языке LISP (

LIS

t

P

rocessing) и является кроссплатформен-

ным программным продуктом, работающим под ОС Windows, Linux, UNIX, Mac
OS и даже на КПК под управлением Windows CE/Mobile. Maxima – консоль-
ная программа. Имеется несколько графических интерфейсов для работы с СКМ
MAXIMA: wxMaxima, xMaxima и TeXmacs.

В настоящем пособии будет рассмотрена работа с СКМ MAXIMA под ОС

Windows XP. Использовался установочный файл maxima-5.25.1-gcl.exe, который
был загружен с http://sourceforge.net/projects/maxima. Процесс установки програм-
мы чрезвычайно прост. По умолчанию устанавливаются графические интерфейсы
wxMaxima и xMaxima. Пользователь имеет возможность отказаться от установки
одного из графические интерфейсов или вообще не устанавливать их, а работать
затем лишь в командной строке. Будем полагать, что выбран наиболее популярный
графический интерфейс wxMaxima. Установленная программа имеет встроенную
поддержку языка GNU COMMON LISP (один из диалектов LISP) и позволяет со-
здавать графические объекты не только в wxMaxima, но и с помощью консольной
графической утилиты gnuplot.

После запуска wxMaxima открывается окно, см. рис. 1. Разумеется, можно (и

нужно) развернуть это окно на весь экран. Пункты меню «Уравнения», «Алгебра»,
«Анализ», «Упростить», «Графики», «Численные расчеты» позволяют использовать
программу в режиме «научного калькулятора». Этот режим интуитивно понятен и
здесь рассматриваться не будет. Для запуска собственно СКМ MAXIMA необхо-
димо в окне wxMaxima выполнить любую операцию, например, арифметическую.

Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.

3

Рис. 1. Окно wxMaxima.

Если набрать «2+3» и затем нажать Shift + Enter (как и в СКМ Mathematica), то
получим результат выполнения этой операции. При наборе первого же символа в
левой части окна появляется скобка. При нажатии Shift + Enter скобка обводит-
ся прямоугольной рамкой. Это означает, что выполняются вычисления. После их
завершения окно приобретает вид, представленный на рис. 2.

Рис. 2. Выполнение арифметической операции.

Как видим, скобка разделилась на две части: в верхней части вводимая инструкция
(input-скобка) получила номер

(%

i

1)

, а строка результата (output-скобка) снабжена

номером

(%

o

1)

. Важно отметить, что инструкция в input-скобке

автоматически

завершена «;». Все инструкции СКМ MAXIMA должны завершаться либо «;», ли-
бо «$». В последнем случае вывод output-скобки подавляется. Упомянутые выше
скобки также называются ячейками (cells). Для работы с ними предназначен пункт
меню «Cell».

Заметим, что выполнение input-скобки можно вызвать нажатием клавиши Enter,

если в меню «Правка | Настройка» отметить режим «Enter evaluates cells». При

Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.

4

написании программ этот режим неудобен для работы, поэтому рекомендую его не
использовать.

Документ wxMaxima представляет собой последовательность ячеек. Сохранить

его в файл можно обычным образом. Файл получает расширение wxm. Использо-
вать СКМ MAXIMA с максимальной эффективностью позволяет владение языком
программирования этой системы. Для тех, кто привык программировать в СКМ
Mathematica, обнаружит идеологически (и не только) схожие моменты в написании
программ для этих систем. Основы программирования в СКМ MAXIMA изложены
ниже.

1.2.

Числовые константы

Числовые константы подразделяются на целые, рациональные дроби, веществен-

ные с фиксированной точкой, вещественные с плавающей точкой обычной и задан-
ной точности. Кроме того, имеются ещё комплексные константы вида

a

+ %

i

∗

b

,

где

%

i

– мнимая единица, а

a

и

b

– целые или вещественные константы. Помимо

%

i

имеются и другие встроенные константы:

%

pi

- это 3.141592653589793, а

%

e

-

основание натурального логарифма.

Целые константы имеют обычный вид, то есть представляют собой положитель-

ные или отрицательные числа без десятичной точки. Пример:

12

−

100

1917

Рациональные дроби записываются с помощью знака «/»:

1

/

3

−

12

/

87

123

/

7

С числовыми константами и переменными можно выполнять арифметические опе-
рации, символы которых приведены в табл. 1. Пример:

(%i1)

1/5 + 3/11;

(%o1)

26

55

Вещественные числа с фиксированной точкой:

3

.

141592653589793

−

1

.

32

12

.

0

Далее, вещественные числа с плавающей точкой:

3

.

141592653589793

e

0

−

13

E

7

3

.

12345

e

−

34

−

5

.E

0