ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 378
Скачиваний: 1
41
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
axyz
z
y
x
=
+
+
2
2
2
2
)
(
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
плоскости
YZ
однородного
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
,
0
=
z
,
0
=
y
,
0
=
z
)
0
,
0
,
0
(
≥
≥
≥
z
y
x
.
10.
Найти
координаты
центра
масс
однородной
пластинки
плотности
ρ
,
ограниченной
линиями
2
x
y
=
,
2
2 ,
y
x
=
1
=
x
,
2
=
x
.
11.
Найти
момент
инерции
однородного
сегмента
сферы
2
2
2
2
R
z
y
x
=
+
+
,
H
z
≥
)
(
R
H
<
плотности
ρ
относительно
оси
OZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
∫∫
+
+
)
(
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
2
z
y
x
+
=
,
0
≥
z
,
лежащая
внутри
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
.
13.
Найти
момент
инерции
однородной
дуги
{
}
( , ) :
(
sin ), (1 cos ) 0
2
L
x y x a t
t
y
a
t
t
π
=
=
−
=
−
≤ ≤
плотности
ρ
относи
-
тельно
оси
OX
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
xzds
,
где
{
:
)
,
,
(
z
r
L
ϕ
=
2
:
(1 cos ),
4 (1 cos
}
r
a
z
a
ϕ
ϕ
=
+
=
−
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
ydy
x
dx
xy
2
2
,
где
}
)
(
)
(
2
:
)
,
{(
2
y
x
y
x
y
x
L
−
=
+
=
от
точки
A
=
(0,2)
до
точки
B
=
(2,0)
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
2
2
(
cos
)
(
sin
)
x
x
L
e
y y dx
e
y x dy
−
−
−
+
−
∫
,
где
L
–
пра
-
вая
полуокружность
ax
y
x
2
2
2
=
+
, (
a
x
≥
)
от
точки
)
,
(
a
a
A
=
до
точки
)
,
(
a
a
B
−
=
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
+
+
+
S
dxdy
x
z
dzdx
z
y
dydz
y
x
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
,
где
S
–
внутренняя
сторо
-
на
поверхности
тела
2
2
2
2
a
z
y
x
≤
+
+
,
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
z
y
x
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
)
(
r
f
c
F
G
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
G
,
| |
r
r
=
G
,
)
(
u
f
–
непрерыв
-
но
дифференцируемая
функция
,
c
G
–
постоянный
вектор
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
(
)
div uF
udiv F Fgrad u
=
+
G
G
G
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
y
x
j
z
x
i
z
y
x
F
G
G
G
)
(
)
2
(
)
2
3
(
−
+
+
+
+
+
=
вдоль
контура
L
,
где
L
–
контур
треугольника
MNPM
,
),
0
,
0
,
2
(
=
M
),
0
,
3
,
0
(
=
N
)
1
,
0
,
0
(
=
P
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
2
2
2
+
−
=
через
поверхность
тела
2
2
2
2
3
R
z
y
x
≤
+
+
,
2
2
2
0
R
y
x
z
−
+
≤
≤
в
направлении
внешней
нормали
.
42
Вариант
№
25
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
коор
-
динатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
+
≥
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
1
,
4
1
2
1
:
)
,
(
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
D
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
D
xydxdy
,
где
{
}
x
y
x
bx
y
x
y
x
D
β
α
≤
≤
≤
≤
=
,
a
:
)
,
(
2
3
2
.
3.
Производя
удобную
замену
переменных
,
найти
площадь
,
ограничен
-
ную
кривыми
,
,
4
5
4
5
b
x
y
a
x
y
=
=
,
,
4
5
4
5
d
y
x
c
y
x
=
=
b
a
d
c
<
<
<
<
0
,
0
,
0
,
0
>
>
y
x
.
4.
Найти
объем
тела
4
0,
x y z
a
+ + −
≥
2
2
2
a
y
x
≤
+
,
0
≥
z
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2 / 3
2 / 3
2 / 3
,
x
z
a
+
=
если
3
/
2
3
/
2
3
/
2
a
y
x
≤
+
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
декартовой
системе
координат
в
интеграле
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
R
R
z
R
z
R
y
z
R
R
y
z
R
dz
z
y
x
f
dy
dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
,
,
(
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
}
2
2
2
2
2
2
( , , ) :
,
2
D
x y z
x
y
a
x
y
z
ax
=
+
≤
−
−
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
xyz
a
z
y
x
3
3
2
2
2
)
(
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
плоскости
XY
однородного
те
-
ла
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностью
xy
a
z
y
x
2
2
2
2
2
)
(
=
+
+
,
0
,
0
>
>
y
x
.
10.
Найти
координаты
центра
масс
однородной
пластинки
плотности
ρ
,
ограниченной
линиями
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
,
0
=
x
,
0
=
y
)
0
,
0
(
≥
≥
y
x
.
11.
Найти
координаты
центра
масс
однородной
полусферы
2
2
2
2
R
z
y
x
=
+
+
,
0
≥
z
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xz
S
∫∫
,
где
S
–
часть
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
лежащая
между
конусом
z
y
x
=
+
2
2
и
параболоидом
a
y
x
z
2
2
2
+
=
.
13.
Найти
момент
инерции
однородной
дуги
{
( , ) :
cos ,
sin
L
x y x a
t
y
a
t
=
=
=
}
α
≤
≤
t
0
плотности
ρ
относительно
оси
OY
.
43
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
−
L
x
ds
ye
,
где
{
:
)
,
(
y
x
L
=
2
ln (1
),
2
3, 0
1}
x
t
y
arctgt t
t
=
+
=
− +
≤ ≤
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
dy
x
xydx
2
,
где
}
0
2
:
)
,
{(
3
2
2
4
=
+
−
=
y
y
x
x
y
x
L
от
точки
A
=
(–1/4,–1/8)
до
точки
B
=
(0,0)
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
вычислить
∫
−
L
dy
x
dx
y
)
3
5
3
5
,
где
L
–
поло
-
жительно
ориентированная
кривая
3
2
3
2
3
2
a
y
x
=
+
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
+
+
+
S
dxdy
x
z
dzdx
z
y
dydz
y
x
)
(
)
(
)
(
2
2
2
,
где
S
–
часть
внешней
сторо
-
ны
цилиндра
2
2
2
a
y
x
=
+
,
H
z
≤
≤
0
.
18.
Найти
F
rot
,
если
)
(
r
f
r
F
G
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
G
,
|
|
r
r
=
,
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
divgrad u
u
Δ
=
,
где
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Δ
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
x
j
y
x
i
z
x
F
G
G
G
+
−
+
+
=
)
(
)
(
вдоль
контура
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
+
=
1
:
)
,
,
(
2
2
2
2
b
y
a
x
z
y
x
L
,
положительно
ориентированного
на
верхней
стороне
плоскости
5
=
z
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
xy
i
x
F
G
G
G
+
−
=
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
S
,
где
S
–
часть
цилиндра
2
2
2
R
y
x
=
+
,
ограниченная
плоскостями
0
=
z
и
R
z
x
=
+
.
44
Литература
1.
Демидович
Б
.
П
.
Сборник
задач
и
упражнений
по
математическому
анализу
/
Б
.
П
.
Демидович
. –
М
. :
Физматлит
, 2002. – 558
с
.
2.
Сборник
задач
по
математическому
анализу
.
Функции
нескольких
переменных
/
Л
.
Д
.
Кудрявцев
[
и
др
.]. –
М
. :
Наука
, 1995. – 495
с
.
3.
Математический
анализ
в
вопросах
и
задачах
/
В
.
Ф
.
Бутузов
[
и
др
.]. –
М
. :
Физматлит
, 2000. – 479
с
.
4.
Фихтенгольц
Г
.
Н
.
Курс
дифференциального
и
интегрального
исчисле
-
ния
:
в
3
т
. /
Г
.
Н
.
Фихтенгольц
. –
СПб
. :
Лань
, 1997. –
Т
. 2. – 800
с
.
5.
Кудрявцев
Л
.
Д
.
Курс
математического
анализа
:
в
2
т
. /
Л
.
Д
.
Кудряв
-
цев
. –
М
. :
Наука
, 1981. –
Т
. 2. – 584
с
.
45
Учебное
издание
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ
КУРСОВОЙ
РАБОТЫ
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
(
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
)
Учебно
-
методическое
пособие
для
вузов
Составители
:
Виноградова
Галина
Анатольевна
,
Ларин
Александр
Александрович
,
Рогова
Наталья
Ивановна
,
Украинский
Павел
Сергеевич
Подписано
в
печать
Формат
60×84/16.
Усл
.
печ
.
л
. 2,3.
Тираж
50
экз
.
Заказ
848.
Издательско
-
полиграфический
центр
Воронежского
государственного
университета
.
394000,
г
.
Воронеж
,
пл
.
им
.
Ленина
, 10.
Тел
. 208-298, 598-026 (
факс
)
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано
в
типографии
Издательско
-
полиграфического
центра
Воронежского
государственного
университета
.
394000,
г
.
Воронеж
,
ул
.
Пушкинская
, 3.
Тел
. 204-133.