ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 376
Скачиваний: 1
36
полагая
ϕ
cos
r
x
=
,
ϕ
sin
r
y
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
y
x
xy
)
(
,
где
{
}
1
1
,
/
2
/
1
:
)
,
(
≤
−
≤
−
≤
≤
=
y
x
x
y
x
y
x
D
.
3.
Производя
удобную
замену
переменных
,
найти
площадь
,
ограничен
-
ную
кривыми
,
,
q
xy
p
xy
=
=
,
,
2
2
bx
y
ax
y
=
=
b
a
q
p
<
<
<
<
0
,
0
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
2
1,
x
y
a
b
+
≤
1
2
2
2
2
≤
+
b
z
a
x
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
,
x
y
z
=
+
если
2
2
2
a
y
x
≤
−
,
b
y
≤
|
|
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
цилиндрической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
4
x
:
)
,
,
(
2
2
2
2
R
z
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
2
2
2
R
y
x
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
0
,
1
2
:
)
,
,
(
≥
≤
−
=
x
y
x
z
y
x
D
}
2
2
0
y
x
z
−
≤
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
2
2
2
3
2
2
2
)
(
)
(
y
x
az
z
y
x
+
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностью
z
a
z
y
x
3
2
2
2
2
)
(
=
+
+
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривыми
4
=
xy
,
8
=
xy
,
y
x
2
=
,
y
x
=
, (
0
>
y
)
относительно
оси
OY
.
11.
Найти
момент
инерции
относительно
плоскости
XY
части
однород
-
ного
конуса
α
2
2
2
2
tg
z
y
x
=
+
,
2
2
2
R
y
x
≤
+
)
2
/
0
(
π
α
<
<
,
массой
М
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
a
S
2
2
2
+
+
∫∫
,
где
S
–
часть
параболоида
yz
ax
=
,
лежащая
внутри
цилиндра
yz
b
z
y
2
2
2
2
2
)
(
=
+
.
13.
Найти
момент
инерции
однородной
дуги
плотности
ρ
{
( , , ) :
cos ,
sin ,
2
ht
L
x y z x a
t
y
a
t
z
π
=
=
=
=
}
π
2
0
≤
≤
t
относительно
оси
OX
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
+
L
ds
z
y
x
)
(
2
2
2
,
где
{
:
)
,
,
(
z
y
x
L
=
cos ,
sin ,
, 0
2 }
x
t
y
t
z
t
t
π
=
=
=
≤ ≤
.
37
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
dy
x
y
ydx
)
(
2
,
где
L
–
дуга
параболы
2
2
x
x
y
−
=
от
точки
A
= (2,1)
до
точки
B
=
(0,0).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
∫
+
+
−
L
dy
y
x
dx
y
x
2
2
)
(
)
(
,
где
L
–
ломаная
линия
АВС
,
где
A
=
(0,0)
до
точки
B
= (
2,2)
,
С
=
(0,1)
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
−
S
dxdy
z
y
x
)
6
2
(
2
2
,
где
S
–
часть
нижней
стороны
цилиндра
z
y
6
2
=
,
6
≤
z
,
3
0
≤
≤
x
.
18.
Найти
rot F
JJG
,
если
k
x
j
y
i
z
F
3
3
3
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
( )
div uc
cgrad u
=
G
G
,
c
G
–
посто
-
янный
вектор
.
20.
Найти
работу
поля
j
x
i
xy
F
G
G
2
2
+
=
вдоль
кривой
AB
L
=
(
наименьшая
дуга
окружности
1
2
2
=
+
y
x
от
точки
)
0
,
1
(
=
A
до
точки
)
1
,
0
(
=
B
).
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
2
2
2
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
нижнюю
полусферу
1
:
2
2
2
=
+
+
z
y
x
S
,
0
≤
z
.
Вариант
№
22
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
D
–
треугольник
с
вершина
-
ми
O
(0,0),
А
(1,0),
В
(1,1),
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
по
-
лагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
D
dxdy
x
2
,
где
{
}
x
y
x
x
y
x
y
x
D
6
2
,
2
:
)
,
(
3
3
≤
≤
≤
≤
=
.
3.
Производя
удобную
замену
переменных
,
найти
площадь
,
ограничен
-
ную
кривыми
,
,
q
xy
p
xy
=
=
,
,
bx
y
ax
y
=
=
b
a
q
p
<
<
<
<
0
,
0
.
4.
Найти
объем
тела
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
y
x
a
y
x
−
≤
+
2
2
0
y
x
bz
+
≤
≤
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
,
x
y
z
=
+
если
ay
x
≤
2
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
цилиндрической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
x
:
)
,
,
(
2
2
2
2
z
k
y
z
y
x
D
≤
+
=
}
H
z
≤
≤
0
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
a
:
)
,
,
(
2
2
2
2
b
y
x
z
y
x
D
≤
+
≤
=
}
0
,
0
2
2
2
≥
≥
−
−
x
z
y
x
.
38
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
4
2
3
2
2
2
)
(
z
a
z
y
x
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
плоскости
XZ
однородного
те
-
ла
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
2
2
2
2
z
k
y
x
=
+
,
h
z
=
.
10.
Найти
координаты
центра
масс
однородной
пластинки
плотности
ρ
,
ограниченной
линиями
2
2
x
x
y
−
=
,
0
=
y
.
11.
Найти
момент
инерции
однородной
поверхности
(
cos ) cos
x
b a
ψ
ϕ
= +
,
ϕ
ψ
sin
)
cos
(
a
b
x
+
=
,
ψ
sin
a
z
=
)
(
a
b
>
плотности
ρ
относительно
оси
OX
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xyz
S
∫∫
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
z
xy
=
,
0
≥
z
,
лежащая
внутри
цилиндра
2
2
2
a
y
x
=
+
.
13.
Найти
момент
инерции
однородной
дуги
{
3
2
3
2
3
2
x
:
)
,
(
a
y
y
x
L
=
+
=
,
0
≥
x
,
}
0
≥
y
плотности
ρ
относительно
оси
OY
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
y
x
ds
z
2
2
2
,
где
{
:
)
,
,
(
z
y
x
L
=
cos ,
sin ,
, 0
2 }
x a
t
y
a
t
z
at
t
π
=
=
=
≤ ≤
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
dy
x
y
ydx
)
(
2
,
где
L
–
контур
,
составленный
линиями
2
0,
,
1
y
y
x y
x
=
=
=
−
с
по
-
ложительным
направлением
обхода
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
∫
+
L
dy
xy
xydx
2
2
,
где
L
–
кон
-
тур
треугольника
АВС
,
где
A
=
(1,0)
до
точки
B
=
(0,1)
,
С
=
(0,0)
с
от
-
рицательным
направлением
обхода
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dxdy
z
a
y
x
)
2
(
2
2
4
4
,
где
S
–
часть
нижней
стороны
параболоида
az
xy
=
,
лежащая
в
первом
октанте
и
внутри
цилиндра
bxy
y
x
=
+
2
2
2
)
(
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
k
y
x
j
x
z
i
z
y
F
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
v
u
,
–
скалярные
поля
.
Доказать
,
что
( )
grad uv
ugrad v vgrad u
=
+
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
z
j
z
x
y
i
x
F
G
G
G
4
)
(
)
1
3
(
+
+
−
+
−
=
вдоль
контура
L
,
где
L
–
контур
треугольника
ABCA
,
C
B
A
,
,
–
точ
-
ки
пересечения
плоскости
0
2
2
2
=
+
−
−
z
y
x
соответственно
с
осями
координат
OZ
OY
OX
,
,
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
x
j
z
i
y
F
G
G
G
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
S
пирамиды
a
z
y
x
≤
+
+
,
,
0
≥
x
,
0
≥
y
0
≥
z
.
39
Вариант
№
23
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
D
–
треугольник
с
вершина
-
ми
O
(0,0)
,
А
(1,1)
,
В
(–1,1)
,
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
по
-
лагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
y
x
xy
)
(
,
где
{
}
x
y
x
y
x
y
x
D
−
≤
≤
−
+
≤
≤
−
=
1
1
x
-
,
1
1
:
)
,
(
.
3.
Производя
удобную
замену
переменных
,
найти
площадь
,
ограничен
-
ную
кривыми
,
,
2
2
qy
x
py
x
=
=
,
,
2
2
bx
y
ax
y
=
=
b
a
q
p
<
<
<
<
0
,
0
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
0
2 ,
az
a
y
≤
≤
−
2
2
2
a
y
x
≤
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
ax
z
x
2
2
2
=
+
,
если
px
y
2
2
≤
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
цилиндрической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
x
:
)
,
,
(
2
2
2
R
y
z
y
x
D
≤
+
=
}
H
z
≤
≤
0
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
}
2
2
2
2
2
2
( , , ) : 3z
,
2
D
x y z
x
y
x
y
z
=
≤
+
=
−
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
y
x
az
z
y
x
+
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
плоскости
XZ
однородного
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
az
y
x
a
=
−
−
2
2
2
,
0
=
z
.
10.
Найти
координаты
центра
масс
однородной
пластинки
плотности
ρ
,
ограниченной
линиями
4
4
+
=
x
y
,
4
2
2
+
−
=
x
y
.
11.
Найти
момент
инерции
однородного
параболоида
cz
y
x
2
2
2
=
+
,
c
z
≤
≤
0
плотности
ρ
относительно
оси
OZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xz
yz
xy
S
∫∫
+
+
)
(
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
2
z
y
x
=
+
,
0
≥
z
,
лежащая
внутри
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
.
13.
Найти
момент
инерции
однородной
дуги
{
a
y
x
y
x
L
=
+
=
:
)
,
(
}
a
x
≤
≤
0
плотности
ρ
относительно
оси
OX
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
+
L
ds
z
y
x
)
(
2
2
2
,
где
{
}
1
( , , ):
(1 cos ),
(
sin ),
4 sin 2
L
x y z x
t
x a t
t
z
a
=
= −
=
−
=
от
точки
A
=
(0,0,0)
до
точки
)
0
,
0
,
2
(
π
a
B
=
.
40
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
+
L
xydy
dx
y
x
)
(
,
где
L
–
дуга
кривой
1
1
1
4
4
4
x
y
a
+
=
от
точки
A
= (
0
,
a
)
до
точки
B
= (
a
,
0
).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
вычислить
∫
+
−
L
xydy
dx
y
x
2
)
(
2
2
,
где
L
–
контур
треугольника
АВС
,
где
A
=
(1,1)
до
точки
B
=
(3,1)
,
С
= (3,3)
с
положительным
направлением
обхода
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
S
dxdy
z
y
)
(
2
2
,
где
S
–
часть
верхней
стороны
цилиндра
2
2
x
a
z
−
=
,
b
y
≤
≤
0
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
r
F
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
.
19.
Доказать
,
что
[
]
div F
rot F Frot
Φ
Φ
Φ
×
=
−
G
G
G
G
G
G
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
z
y
j
z
x
i
y
x
F
G
G
G
)
(
)
(
)
(
+
+
−
+
+
=
вдоль
контура
L
,
где
L
–
контур
треугольника
,
MNPM
),
0
,
0
,
0
(
=
M
),
0
,
1
,
0
(
=
N
)
1
,
0
,
0
(
=
P
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
F
G
G
+
=
2
в
направлении
внешней
нормали
через
часть
параболоида
z
y
x
S
=
+
2
2
:
,
2
≤
z
.
Вариант
№
24
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
D
–
треугольник
с
вершина
-
ми
O
(0,0),
А
(1,0),
В
(0,1),
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
по
-
лагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
D
xydxdy
,
где
{
}
qx
y
x
bx
y
x
y
x
D
≤
≤
≤
≤
=
2
3
3
p
,
a
:
)
,
(
.
3.
Производя
удобную
замену
переменных
,
найти
площадь
,
ограничен
-
ную
кривыми
,
,
2
2
bx
y
ax
y
=
=
,
,
2
2
qx
y
px
y
=
=
b
a
q
p
<
<
<
<
0
,
0
.
4.
Найти
объем
тела
a
z
y
x
≤
+
+
2
2
2
a
y
x
≤
+
,
0
≥
z
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2 / 3
2 / 3
2 / 3
,
x
z
a
+
=
если
px
y
2
2
≤
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
декартовой
системе
координат
в
интеграле
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
−
R
z
R
z
R
y
z
R
y
z
R
dx
z
y
x
f
dy
dz
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
,
,
(
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
0
3
3
:
)
,
,
(
2
2
2
≤
+
−
=
z
y
x
z
y
x
D
}
ay
z
y
x
2
2
2
2
≤
+
+
.