ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 385
Скачиваний: 1
11
18.
Найти
div F
JJG
,
если
k
z
xy
zf
j
z
xy
yf
i
z
xy
xf
F
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
,
где
k
j
i
,
,
–
еди
-
ничные
орты
,
а
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
( )
div uc
c grad u
=
G
G
,
c
G
–
по
-
стоянный
вектор
.
20.
Найти
работу
поля
)
,
(
y
x
xy
F
+
=
G
вдоль
кратчайшей
дуги
эллипса
cos ,
sin
x
a
t
y b
t
=
=
от
точки
)
0
,
(
a
A
=
до
точки
)
,
0
(
b
B
=
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
+
−
=
2
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
S
тела
4
2
2
2
≤
+
+
z
y
x
,
2
2
3
y
x
z
+
≤
.
Вариант
№
6
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
(
)
{
}
xy
a
y
x
y
x
D
2
2
2
2
:
)
,
(
≤
+
=
,
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
и
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вычислить
∫∫
D
dxdy
x
2
,
где
{
}
( , ) : | | | | 1
D
x y
x
y
=
+
≤
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
2
2
2
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
b
y
a
x
y
x
.
4.
Найти
объем
тела
2
1
0
y
z
−
≤
≤
,
z
x
−
≤
≤
2
0
.
5.
Найти
площадь
поверхности
az
y
x
2
2
2
=
+
,
если
(
)
)
(
2
2
2
3
2
2
y
x
a
y
x
−
≤
+
,
0
≥
x
.
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сферической
системе
координат
,
если
{
,
4
:
)
,
,
(
2
2
2
Rz
z
y
x
Rz
z
y
x
D
≤
+
+
≤
=
}
3
2
2
2
z
y
x
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
),
(
)
(
:
)
,
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
a
y
x
z
y
x
D
−
≤
+
=
}
0
,
)
(
4
0
2
2
≥
+
≤
≤
x
y
x
az
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
2
2
2
3
2
4
2
2
2
)
(
)
)
((
y
x
z
a
z
y
x
+
=
+
+
.
9.
Найти
массу
конуса
,
)
(
)
(
2
2
2
2
2
H
y
x
H
z
R
+
≥
−
0
,
z
H
≤ ≤
если
плот
-
ность
|
|
xy
ρ
=
.
10.
Плоское
кольцо
ограничено
двумя
концентрическими
окружностя
-
ми
,
радиусы
которых
равны
соответственно
1
и
3.
Зная
,
что
плот
-
ность
материала
пропорциональна
расстоянию
от
центра
окружно
-
12
стей
,
найти
массу
кольца
,
если
плотность
на
внутренней
окружности
равна
единице
.
11.
Найти
момент
инерции
однородной
поверхности
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
2
2
2
z
y
x
+
≥
плотности
ρ
относительно
оси
OZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xz
S
∫∫
,
где
S
–
часть
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
лежащая
между
конусом
z
y
x
=
+
2
2
и
параболоидом
a
y
x
z
2
2
2
+
=
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
ϕ
r
L
=
),
cos
1
(
ϕ
+
=
a
r
0
2 .
ϕ
π
≤ ≤
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
ds
y
2
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
:
}
)
2
0
2
,
2
max(
≤
≤
=
x
x
x
y
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
+
L
xydy
dx
y
x
)
(
,
где
L
–
дуга
кривой
1
1
1
4
4
4
x
y
a
+
=
от
точки
A
= (0,
a
)
до
точки
B
= (
a
,0).
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
вычислить
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
L
z
y dx
z
x dy
y
x dz
+
+
+
+
+
∫
,
где
L
–
кривая
x
y
x
2
2
2
=
+
,
z
z
y
x
4
2
2
2
=
+
+
,
положительно
ориенти
-
рованная
на
внешней
стороне
верхней
полусферы
(
2
≥
z
).
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
,
xz
y dydz
yx
z dzdx
zy
x dxdy
S
+
+
+
+
+
∫ ∫
где
S
–
часть
внешней
стороны
конуса
2
2
1
,
z
x
y
− =
+
0
≥
z
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
k
z
x
j
z
y
i
z
x
F
)
(
)
(
)
(
2
+
+
+
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
v
u
,
–
скалярные
поля
.
Доказать
,
что
( )
grad uv
ugrad v vgrad u
=
+
.
20.
Найти
работу
поля
)
,
(
a
y
F
=
G
вдоль
кратчайшей
дуги
эллипса
cos ,
sin
x
a
t
y b
t
=
=
от
точки
)
0
,
(
a
A
=
до
точки
)
,
0
(
b
B
=
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
3
3
3
−
+
−
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
S
куба
,
0
a
x
≤
≤
a
y
≤
≤
0
,
a
z
≤
≤
0
.
13
Вариант
№
7
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
( )
{
}
0
,
1
1
:
)
,
(
2
2
≥
+
≤
+
−
=
x
y
y
x
y
x
D
,
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вычислить
∫∫
D
dxdy
y
x
5
3
,
где
{
}
1
|
|
|
|
:
)
,
(
≤
+
=
y
x
y
x
D
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
2
2
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
b
y
a
x
c
xy
.
4.
Найти
объем
тела
ax
a
az
y
a
x
2
2
)
(
2
2
2
−
≤
≤
+
−
.
5.
Найти
площадь
поверхности
az
y
x
2
2
2
=
+
,
если
2
2
2
a
y
x
≤
+
,
0
≥
x
,
0
≥
y
,
x
y
≤
.
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
сферической
системе
координат
,
если
{
( , , ) :
1,
2
3
4
y
x
z
D
x y z
=
+
+
≤
,
0
≥
x
,
0
≥
y
}
0
≥
z
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
1
4
:
)
,
,
(
≤
+
+
=
z
y
x
z
y
x
D
}
xy
z
4
0
≤
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
3
2
2
6
2
6
3
2
2
)
(
)
)
((
y
x
z
a
z
y
x
+
=
+
+
.
9.
Найти
массу
прямого
кругового
цилиндра
,
высота
которого
равна
,
H
а
радиус
основания
R
,
если
плотность
в
любой
точке
равна
квад
-
рату
расстояния
этой
точки
от
центра
основания
цилиндра
.
10.
Найти
массу
пластинки
,
имеющей
форму
кольца
,
радиусы
внутрен
-
ней
и
внешней
окружностей
кольца
равны
соответственно
r
и
R
,
если
плотность
пластинки
в
каждой
точке
обратно
пропорциональна
расстоянию
от
этой
точки
до
центра
кольца
.
11.
Найти
момент
инерции
однородной
поверхности
плотности
ρ
,
по
-
лученной
при
вращении
одной
арки
циклоиды
(
sin )
x
a
ϕ
ϕ
=
−
,
(1 cos )
y
a
ϕ
=
−
вокруг
оси
,
OX
относительно
оси
OX
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
∫∫
+
+
)
(
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
2
z
y
x
+
=
,
0
≥
z
,
лежащая
внутри
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
,
(
z
y
x
L
=
:
cos ,
t
x e
t
=
sin ,
t
y
e
t
=
,
t
e
z
=
}
0
≤
<
∞
−
t
.
14
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
yds
x
2
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
0
,
0
2
sin
,
cos
4
≥
≥
=
=
y
x
t
y
t
x
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
ydy
x
dx
xy
2
2
,
где
}
)
(
)
(
2
:
)
,
{(
2
y
x
y
x
y
x
L
−
=
+
=
от
точки
A
= (0,2)
до
точки
B
= (2,0).
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
∫
+
+
L
dz
x
dy
z
dx
y
2
2
2
,
где
L
–
контур
сечения
куба
,
построенного
на
положительных
единичных
векторах
осей
координат
,
плоскостью
,
проходящей
через
точки
P =
(1,0,0), Q = (0,1,0), R = (1,0,1),
положительно
ориентированный
на
правой
стороне
плоскости
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
3
3
3
,
S
x dydz y dzdx z dxdy
+
+
∫ ∫
где
S
–
верхняя
сторона
части
параболоида
z
y
x
−
=
+
2
2
2
,
0
≥
z
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
k
z
x
j
z
y
i
y
x
F
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единич
-
ные
орты
.
19.
Доказать
,
что
[
]
div F
rot F Frot
× Φ = Φ
−
Φ
G
G
G
G
G
G
.
20.
Найти
работу
поля
k
x
j
y
i
xy
F
G
G
G
2
2
2
−
+
=
вдоль
кривой
AB
L
=
(
часть
кривой
2
2
2
2
2
x
y
z
+
−
=
,
x
y
=
от
точки
)
0
,
1
,
1
(
=
A
до
точки
)
1
,
2
,
2
(
=
B
).
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
xyz
j
xy
i
y
x
F
G
G
G
+
+
=
2
2
через
поверх
-
ность
тела
2
2
2
2
R
z
y
x
≤
+
+
,
,
0
≥
x
,
0
≥
y
0
≥
z
в
направлении
внешней
нормали
.
Вариант
№
8
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
( )
{
}
0
1
,
1
1
:
)
,
(
2
2
≤
≤
−
≤
−
+
=
x
y
x
y
x
D
,
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вычислить
∫ ∫
−
−
1
0
1
1
2
x
x
xydy
dx
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычислить
площадь
области
,
ограниченной
кривыми
ax
y
x
=
+
2
2
,
by
y
x
=
+
2
2
,
точ
-
ка
(
)
/ 2, / 2
M b
a
D
∈
.
4.
Найти
объем
тела
a
y
x
12
4
3
≤
+
,
2
2
0
y
a
az
−
≤
≤
,
0
,
0
≥
≥
y
x
.
5.
Найти
площадь
поверхности
az
y
x
2
2
2
=
+
,
если
cz
z
y
x
2
2
2
2
≤
+
+
.
15
6.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
интеграл
в
виде
одного
из
повторных
в
ци
-
линдрической
системе
координат
,
если
{
,
3
3
5
|
:|
)
,
,
(
2
2
y
x
z
z
y
x
D
+
−
≤
=
}
1
2
2
2
+
+
≤
y
x
z
.
7.
Выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сферическую
),
записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
инте
-
грала
,
если
{
,
:
)
,
,
(
y
x
z
y
x
D
≤
=
}
2
2
2
3
0
y
x
z
+
−
≤
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
2
2
2
2
2
2
2
2
2
p
x
c
z
b
y
a
x
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
.
9.
Найти
статический
момент
относительно
плоскости
XY
однородного
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
az
z
y
x
2
2
2
2
=
+
+
,
,
2
2
2
2
α
tg
z
y
x
=
+
,
2
2
2
2
β
tg
z
y
x
=
+
)
2
0
(
π
β
α
<
<
<
.
10.
Найти
массу
квадратной
пластины
со
стороной
a
,
если
плотность
пластины
в
каждой
точке
пропорциональна
квадрату
расстояния
от
этой
точки
до
одной
из
вершин
квадрата
и
равна
0
ρ
в
центре
квадрата
.
11.
Найти
момент
инерции
части
однородного
цилиндра
2
2
,
x
y
ax
+
=
плотности
ρ
,
лежащей
внутри
сферы
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
относительно
плоскости
XZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xz
yz
xy
S
∫∫
+
+
)
(
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
2
z
y
x
=
+
,
0
≥
z
,
лежащая
внутри
цилиндра
ax
y
x
2
2
2
=
+
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
,
(
z
y
x
L
=
:
cos ,
x
a
t
=
sin ,
y
a
t
=
,
bt
z
=
}
π
2
0
≤
≤
t
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
yds
,
где
L
–
ду
-
га
параболы
x
y
2
2
=
от
точки
A
(2,–2)
до
точки
B
(8,4).
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
dy
x
xydx
2
,
где
}
0
2
:
)
,
{(
3
2
2
4
=
+
−
=
y
y
x
x
y
x
L
от
точки
A
= (–1/4,–1/8)
до
точки
B
= (0,0).
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
∫
+
+
L
dz
x
dy
z
xydx
2
2
2
,
где
L
–
эллипс
2
2
2
2
2
z
y
x
=
+
,
a
z
x
=
+
,
положительно
ориентированный
на
верхней
стороне
плоскости
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
zdxdy
ydzdx
xdydz
,
где
S
–
правая
сторона
части
цилиндра
1
2
=
+
y
x
,
2
0
≤
≤
z
,
0
≥
x
.
18.
Найти
rot F
JJG
,
если
k
x
j
y
i
z
F
3
3
3
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
(
)
div uF
udiv F Fgrad u
=
+
G
G
G
.