ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 381
Скачиваний: 1
31
21.
Найти
поток
векторного
поля
i
z
y
x
F
G
)
6
3
(
+
−
=
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
S
,
где
S
–
поверхность
пирамиды
,
образуемой
плоскостью
0
4
2
=
−
+
+
−
z
y
x
и
координатными
плоско
-
стями
.
Вариант
№
18
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
( )
{
}
1
x
0
,
1
1
:
)
,
(
2
2
≤
≤
≤
+
−
=
y
x
y
x
D
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
y
y
x
)
(
2
2
2
,
где
{
}
x
y
x
x
y
x
y
x
D
3
,
/
2
/
1
:
)
,
(
≤
≤
≤
≤
=
.
3.
Найти
площадь
петли
кривой
y
ax
y
x
2
4
)
(
=
+
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
0
y
x
bz
≤
≤
ax
y
x
ax
2
2
2
≤
+
≤
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2 ,
x
y
ax
+
=
если
2
2
2
y
x
z
+
≤
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
цилиндрической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
4
x
:
)
,
,
(
2
2
2
2
R
z
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
Rx
y
x
2
2
2
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
:
)
,
,
(
2
a
z
x
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
0
≥
≥
z
x
.
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
)
(
)
(
2
2
3
3
2
2
2
y
x
z
a
z
y
x
−
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностью
1
3
2
3
2
3
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
c
z
b
y
a
x
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривыми
2
2
x
py
=
,
px
y
2
2
=
относительно
осей
координат
.
11.
Найти
момент
инерции
однородной
поверхности
плотности
ρ
,
по
-
лученной
при
вращении
одной
арки
циклоиды
(
sin )
x a
ϕ
ϕ
=
−
,
(1 cos )
y
a
ϕ
=
−
вокруг
оси
,
OX
относительно
оси
.
OX
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
)
(
2
2
+
+
∫∫
,
где
S
–
верх
-
няя
полусфера
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
,
0
≥
z
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
( , ) :
(
)
2
x
x
a
a
a
L
x y
y
e
e
−
=
=
+
,
}
a
x
a
≤
≤
−
.
32
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
ds
y
|
|
,
где
L
–
кривая
(2 cos )
r
a
ϕ
=
+
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
xdy
dx
y
)
2
(
,
взятый
вдоль
ориентированной
кривой
:
)
,
{(
y
x
L
=
sin ,
1 cos , 0
2 },
x t
t
y
t
t
π
= −
= −
≤ ≤
где
кривая
проходится
по
возрас
-
танию
параметра
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
∫
+
L
ydx
xdy
,
где
L
–
часть
кривой
2
2
2
sin1/
4 /
,
0
4 /
,
0
x
x
x
y
x
π
π
⎧
+
≠
= ⎨
=
⎩
от
точки
A
=(0,
2
/
4
π
)
до
точки
)
/
8
,
/
2
(
2
π
π
=
B
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dxdz
z
y
x
)
(
2
2
2
,
где
S
–
часть
внешней
стороны
конуса
y
z
x
=
+
2
2
,
b
y
≤
≤
0
.
18.
Найти
,
div F
JG
если
k
z
xy
zf
j
z
xy
yf
i
z
xy
xf
F
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
,
где
k
j
i
,
,
–
единич
-
ные
орты
,
а
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
.
19.
Пусть
v
u
,
–
скалярные
поля
.
Доказать
,
что
v
u
v
u
v
u
div
∇
⋅
∇
+
Δ
=
∇
)
(
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
y
x
j
xy
i
y
F
G
G
G
)
(
2
2
2
+
+
+
=
вдоль
контура
:
)
,
,
{(
z
y
x
L
=
}
0
,
0
,
,
0
,
0
,
2
2
≥
≥
=
=
=
=
+
y
x
a
z
y
x
az
y
x
,
по
-
ложительно
ориентированного
на
внешней
стороне
параболоида
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
+
−
=
2
в
направлении
внеш
-
ней
нормали
через
поверхность
S
тела
4
2
2
2
≤
+
+
z
y
x
,
2
2
3
y
x
z
+
≤
.
Вариант
№
19
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
коор
-
динатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
(
)
(
)
{
}
1
1
x
,
1
1
:
)
,
(
2
2
2
2
≤
−
+
≤
+
−
=
y
y
x
y
x
D
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
x
y
x
2
)
(
,
где
{
}
x
y
x
x
y
x
y
x
D
2
2
/
,
3
1
:
)
,
(
≤
≤
−
≤
≤
−
=
.
3.
Найти
площадь
петли
кривой
axy
y
x
=
+
3
)
(
.
4.
Найти
объем
тела
0
≥
z
,
1
≤
+
z
x
,
2
y
x
≥
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2 ,
x
y
ax
+
=
если
2
2
0
y
x
az
+
≤
≤
.
33
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
цилиндрической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
4
x
:
)
,
,
(
2
2
2
2
R
z
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
R
z
≥
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
0
:
)
,
,
(
2
2
≤
−
+
+
=
xz
ax
y
x
z
y
x
D
}
0
z
≥
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
)
(
)
(
3
3
3
3
2
2
2
y
x
a
z
y
x
+
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
2
2
2
2
R
z
y
x
=
+
+
,
2
2
2
2
x
y
z tg
α
+
=
(
0
≥
z
,
2
2
2
2
x
y
z tg
α
+
≤
,
2 )
α π
<
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривой
(1 cos )
r
a
φ
=
+
относительно
полярной
оси
.
11.
Найти
момент
инерции
части
однородного
цилиндра
ax
y
x
=
+
2
2
,
плотности
ρ
,
лежащей
внутри
сферы
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
относительно
плоскости
XZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
)
2
3
5
3
(
2
2
2
−
+
+
∫∫
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
y
x
z
+
=
,
лежащая
между
плоскостями
0
=
y
,
b
y
=
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
2
2
2
( , ) :
,
L
x y
x
y
R
=
+
=
}
0
,
0
≥
≥
y
x
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
ds
y
x
)
(
2
2
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
0
,
0
,
2
)
y
(
2
2
2
2
≥
≥
=
+
y
x
xy
a
x
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
+
L
y
x
xdy
ydx
2
2
1
,
где
L
–
отрезок
АВ
,
А
= (0,0)
и
B
= (1,1).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
∫
+
−
+
−
L
dy
x
x
dx
y
x
xy
)
7
5
2
(
)
15
4
(
3
2
2
,
где
L
–
часть
кривой
2
3
2
3
+
−
=
x
x
y
от
точки
A
=
(1–
3
,0
)
до
точки
B
= (
1+
3
,0
).
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
S
dydz
z
x
)
(
2
2
,
где
S
–
часть
внешней
стороны
цилиндра
x
y
=
−
2
9
,
2
0
≤
≤
z
.
18.
Найти
div F
JG
,
если
2
2
y
x
kz
jy
ix
F
+
+
+
−
=
,
где
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
v
u
,
–
скалярные
поля
.
Доказать
,
что
(
)
grad u v
grad u grad v
+ =
+
.
34
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
y
j
x
i
z
F
G
G
G
3
3
3
+
+
=
вдоль
контура
:
)
,
,
{(
z
y
x
L
=
}
0
,
2
2
2
2
2
=
+
=
−
+
y
x
a
y
z
x
,
положительно
ориентирован
-
ного
на
правой
стороне
поверхности
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
3
3
3
−
+
−
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
S
куба
,
0
a
x
≤
≤
a
y
≤
≤
0
,
a
z
≤
≤
0
.
Вариант
№
20
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
ϕ
sin
r
y
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
2
2
1
( , ) :
1, y–2x 0,
0,
0
2
D
x y
x
y
y
x
x
⎧
⎫
=
+
≥
≤
−
≥
≥
⎨
⎬
⎩
⎭
.
2.
Вводя
новые
переменные
u
и
v
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
y
x
)
(
3
3
,
где
{
}
2
2
3
,
/
3
2
/
1
:
)
,
(
x
y
x
x
y
x
y
x
D
≤
≤
≤
≤
=
.
3.
Найти
площадь
петли
кривой
2
2
5
)
(
y
ax
y
x
=
+
.
4.
Найти
объем
тела
2
4 ,
y
x
≤
y
x
4
2
≤
,
.
0
y
z
≤
≤
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
,
x
y
z
=
+
если
2
2
2
a
y
x
≤
+
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
цилиндрической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
2
x
:
)
,
,
(
2
2
2
az
z
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
2
2
2
z
y
x
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
),
(
)
(
:
)
,
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
a
x
y
z
y
x
D
−
≤
+
=
}
0
),
(
4
0
2
2
≥
+
≤
≤
x
y
x
az
.
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
2
2
2
3
2
2
2
)
(
y
z
a
z
y
x
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
3
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
z
y
x
2
2
2
=
+
(
0
≥
z
).
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривой
φ
2
cos
2
2
a
r
=
относительно
полярной
оси
.
11.
Найти
момент
инерции
части
однородной
верхней
полусферы
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
,
0
≥
z
плотности
ρ
,
лежащей
внутри
цилиндра
ax
y
x
=
+
2
2
,
относительно
плоскости
YZ
.
35
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
q
y
p
x
S
∫∫
+
+
2
2
2
2
1
,
где
S
–
лежа
-
щая
внутри
цилиндра
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
q
y
p
x
a
q
y
p
x
часть
параболоида
q
y
p
x
z
2
2
2
2
−
=
,
0
≥
x
.
13.
Найти
момент
инерции
витка
конической
винтовой
линии
L
плот
-
ности
kz
=
ρ
{
bt
z
t
at
y
t
at
x
z
y
x
L
=
=
=
=
,
sin
,
cos
:
)
,
,
(
π
π
}
π
2
0
≤
≤
t
отно
-
сительно
оси
OZ
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
−
L
ds
yz
x
)
2
(
2
,
где
{
:
)
,
,
(
z
y
x
L
=
}
1
0
,
,
3
/
2
2
,
2
/
2
3
2
≤
≤
=
=
=
t
t
z
t
y
t
x
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
−
L
dy
xy
ydx
x
)
(
2
2
,
где
:
)
,
{(
y
x
L
=
}
2
2
2
r
y
x
=
+
–
окружность
,
которая
обходится
в
поло
-
жительном
направлении
.
16.
Пользуясь
формулой
Грина
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
∫
−
+
L
dy
y
x
dx
y
x
2
3
3
)
(
,
где
L
–
ломаная
линия
АВС
,
где
A
=
(2,1),
В
= (0,3),
С
= (–2,1).
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
dydz
cz
by
x
a
)
(
2
2
2
,
где
S
–
правая
сторона
цилиндра
px
y
2
2
=
,
p
x
2
≤
,
q
z
≤
≤
0
.
18.
Найти
rot F
JG
,
если
k
z
x
j
z
y
i
y
x
F
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единич
-
ные
орты
.
19.
Доказать
,
что
(
)
div F
div F div
Φ
Φ
+
=
+
G
G
G
G
.
20.
Найти
работу
поля
k
x
j
y
i
xy
F
G
G
G
2
2
2
−
+
=
вдоль
кривой
AB
L
=
(
часть
кривой
2
2
2
2
2
=
−
+
z
y
x
,
x
y
=
от
точки
)
0
,
1
,
1
(
=
A
до
точки
)
1
,
2
,
2
(
=
B
).
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
xyz
j
xy
i
y
x
F
G
G
G
+
+
=
2
2
через
поверх
-
ность
тела
2
2
2
2
R
z
y
x
≤
+
+
,
,
0
≥
x
,
0
≥
y
0
≥
z
в
направлении
внешней
нормали
.
Вариант
№
21
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
D
–
квадрат
с
вершинами
O
(0,0),
А
(0,1),
В
(1,0),
С
(1,1),
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,