ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 972

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

A

Приложение.

Некоторые понятия общей алгебры

101

Доказательство.

Цепочка равенств

(

a

·

b

)

·

(

b

1

·

a

1

) =

a

·

b

·

b

1

·

a

1

=

a

·

e

·

a

1

=

a

·

a

1

=

e

доказывает первое утверждение.

Если

a

·

b

=

a

·

c

, то

a

1

·

(

a

·

b

) =

a

1

·

(

a

·

c

)

a

1

·

a

·

b

=

a

1

·

a

·

c

,

то есть

b

=

c

.

Третье утверждение сразу следует из определения обратного элемен-

та, поскольку

a

·

a

1

=

e

.

Теперь мы будем писать

xy

вместо

x

·

y

.

Теорема A.5.

В группе однозначно разрешимо уравнение

ax

=

b

(

x

неизвестная,

a

и

b

— фиксированные элементы группы).

Доказательство.

ax

=

b

a

1

(

ax

) =

a

1

b

x

=

a

1

b

.

Пусть

[

G,

·

]

— группа. Подмножество

G

0

G

, такое, что

g

G

0

g

1

G

0

, и

g

1

, g

2

G

0

g

1

g

2

G

0

, называется

подгруппой

группы

G

.

Если

G

0

G

— подгруппа, то

g

G

0

g

1

G

0

gg

1

=

e

G

0

.

Поэтому подгруппа сама является группой.

Примеры:

[

Z

,

+]

— подгруппа в

[

R

,

+]

. В любой группе есть подгруппа

{

e

}

.

Если групповая операция коммутативна, то и сама группа называет-

ся

коммутативной

, или

абелевой

.

Задача A.1.

Подмножество обратимых элементов в произвольном

моноиде

[

S,

]

образует группу.

Задача A.2.

Группа обратимых элементов моноида

[

X

X

,

]

некомму-

тативна, если

X

содержит больше двух элементов.

A.3.2

Свободная группа. Циклические группы

Рассмотрим некоторый (абстрактный) элемент

a

. Будем формально об-

разовывать его степени:

a

2

=

a

·

a, a

3

=

a

·

a

·

a

и т. д. Если счи-

тать, что

a

n

6

=

a

m

при

n

6

=

m

, то мы получим бесконечное множе-

ство

{

a, a

2

, . . . , a

n

, . . .

}

, которое является коммутативной полугруппой,

изоморфной

N

(понятно, что

a

m

+

n

=

a

m

a

n

). Если к этому множеству

присоединить нейтральный элемент

e

=

a

0

, то оно станет моноидом,

изоморфным

Z

+

, а если добавить еще обратные элементы

(

a

n

)

1

=

a

n

,

то получится абелева группа, изоморфная

Z

. Она называется

свободной

группой, порожденной элементом

a

. Сам этот элемент называется

об-

разующей

. Таким образом, множество целых чисел является свободной

группой, порожденной единицей.

Если мы полагаем, что

a

6

=

e, a

2

6

=

e, . . . , a

n

1

6

=

e, a

n

=

e

, то получа-

ется конечная группа

{

e, a, . . . , a

n

1

}

, которая называется

циклической


background image

A

Приложение.

Некоторые понятия общей алгебры

102

группой порядка

n

. Так,

[

{−

1

,

1

}

,

·

]

— циклическая группа второго по-

рядка с образующей

1

.

Любую циклическую группу можно записать аддитивно. Если

n

Z

, p

N

, то

n mod p

означает остаток от деления

n

на

p

. Множество

{

0

,

1

, . . . , p

1

}

всех возможных остатков обозначается

Z

p

. Определим

на нем операцию:

n

m

:= (

n

+

m

)

mod p

. Легко проверить, что

[

Z

p

,

]

— циклическая группа порядка

p

, порожденная единицей.

Контрольное упражнение A.1.

В чем разница между полугруппой

и подгруппой?

Контрольное

упражнение

A.2.

Какой

элемент

в

группе

{

e, a, . . . , a

n

1

}

является обратным к

a

? Какой элемент в группе

Z

5

является обратным к

2

?

Контрольное упражнение A.3.

В любой группе

ba

=

ca

b

=

c

.

A.4

Поля

A.4.1

Определение поля

Полем

называется алгебраическая структура

[

P

,

,

]

с двумя бинарны-

ми операциями (они называются сложением и умножением), для кото-
рых выполняются следующие условия:

(

F

1)

x

y

=

y

x

коммутативность сложения,

(

F

2) (

x

y

)

z

=

x

(

y

z

)

ассоциативность сложения,

(

F

3)

0 : 0

x

=

x

x

существование нуля (нейтраль-
ного по сложению элемента),

(

F

4)

x

x

:

x

x

= 0

существование противополож-
ного элемента (= обратного
по сложению),

(

F

5)

x

y

=

y

x

коммутативность умножения,

(

F

6) (

x

y

)

z

=

x

(

y

z

)

ассоциативность умножения,

(

F

7)

1

6

= 0 : 1

x

=

x

x

существование единицы
(нейтрального по умножению
элемента),

(

F

8)

x

6

= 0

b

x

:

x

b

x

= 1

существование обратного
по умножению элемента,

(

F

9)

x

(

y

z

) = (

x

y

)

(

x

z

)

дистрибутивность умножения
относительно сложения.

Свойства

F

1

F

9

называются

аксиомами поля

.

Примеры полей:

R

,

C

,

Q

.


background image

A

Приложение.

Некоторые понятия общей алгебры

103

A.4.2

Поле

Z

2

Множество

{

0

,

1

}

с операциями

2

сложения по модулю 2 и обычного

умножения является полем. Доказать это утверждение — значит прове-
рить выполнение всех аксиом поля. В п. A.3.2 мы выяснили, что

[

Z

2

,

2

]

— абелева группа, то есть выполнены аксиомы

F

1

F

4

. Аксиомы

F

5

F

9

проверяются легко.

Задача A.3.

Построить поле из трех элементов.

Задача A.4.

Существует ли поле, состоящее из

4

,

5

, . . . , n

элементов?

Задача A.5.

В любом поле выполняются равенства:

0

·

x

=

x

·

0 = 0;

x

·

(

y

) = (

x

)

·

y

=

(

x

·

y

);

(

x

y

)

·

z

=

x

·

z

y

·

z.

Контрольный вопрос A.4.

Проверьте выполнение аксиом поля

F

5

F

9

в

Z

2

.


background image

B

Приложение.

Векторное и смешанное произведения в

R

3

104

B

Приложение.

Векторное и смешанное произ-

ведения в

R

3

Мы определим две весьма употребительные конструкции в евклидовом
пространстве

R

3

со стандартным скалярным произведением.

Поскольку стандартное скалярное произведение в

R

3

определяет “при-

вычную” геометрию с длинами и углами, здесь, в отличие от основ-
ной части пособия, можно без страха пользоваться иллюстрациями: они
адекватно передадут математическую реальность.

Векторное произведение векторов определим сначала геометрически.

Определение.

Пусть

a, b

R

3

.

Векторным произведением

векто-

ров

a

и

b

называется вектор (мы будем обозначать его

a

×

b

, а другое

принятое обозначение векторного произведения таково:

[

a, b

]

), который

обладает следующими свойствами:
1)

k

a

×

b

k

=

k

a

k · k

b

k ·

sin

ϕ

, где

ϕ

— угол между векторами

a

и

b

;

2)

a

×

b

a

,

a

×

b

b

;

3) Векторы

a, b, a

×

b

образуют правую тройку.

Поскольку в определении векторного произведения участвует угол

между векторами

a

и

b

, сразу можно сказать, что векторное произведе-

ние не определено, если один из векторов

a, b

нулевой.

Определения такого сорта требуют, разумеется, доказательства кор-

ректности. В данном случае необходимо, во-первых, выяснить условия,
при которых вектор

a

×

b

существует

, а во-вторых, проверить, что если

он существует, то

определен однозначно

. Но мы такую проверку прово-

дить не будем, а сообщим сразу результат: для любых двух ненулевых
векторов

a, b

R

3

вектор

a

×

b

определен единственным образом. Коорди-

наты вектора

a

×

b

, как можно проверить, выражаются через координаты

векторов

a

и

b

следующим образом: если

a

= (

a

1

a

2

a

3

)

T

,

b

= (

b

1

b

2

b

3

)

T

,

то

a

×

b

=

a

2

a

3

b

2

b

3

 

a

3

a

1

b

3

b

1

 

a

1

a

2

b

1

b

2

T

.

(48)

Как из данного нами определения, так и из выражения для коор-

динат (48) можно вывести свойства векторного произведения. Из этих
свойств отметим следующие.

1.

b

×

a

=

a

×

b

(это свойство можно назвать

антикоммутативно-

стью

);

2.

(

λ a

)

×

b

=

a

×

(

λ b

) =

λ

(

a

×

b

)

;

3.

(

a

1

+

a

2

)

×

b

=

a

1

×

b

+

a

2

×

b, a

×

(

b

1

+

b

2

) =

a

×

b

1

+

a

×

b

2

;


background image

B

Приложение.

Векторное и смешанное произведения в

R

3

105

4.

a

×

a

=

θ

;

a

×

b

=

θ

векторы

a

и

b

коллинеарны.

Определение.

Векторным произведением

векторов

a, b,

R

3

на-

зывается число

(

a, b, c

) :=

h

a

×

b, c

i

.

(49)

Легко увидеть, что если

a

= (

a

1

a

2

a

3

)

T

, b

= (

b

1

b

2

b

3

)

T

, c

= (

c

1

c

2

c

3

)

T

,

то

(

a, b, c

) =

a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

c

3

=

a

1

b

1

c

1

a

2

b

2

c

2

a

3

b

3

c

3

,

и, стало быть,

(

a, b, c

)

— это объем параллелепипеда, построенного на

векторах

a, b, c

.