ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 972
Скачиваний: 2
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
101
Доказательство.
Цепочка равенств
(
a
·
b
)
·
(
b
−
1
·
a
−
1
) =
a
·
b
·
b
−
1
·
a
−
1
=
a
·
e
·
a
−
1
=
a
·
a
−
1
=
e
доказывает первое утверждение.
Если
a
·
b
=
a
·
c
, то
a
−
1
·
(
a
·
b
) =
a
−
1
·
(
a
·
c
)
⇒
a
−
1
·
a
·
b
=
a
−
1
·
a
·
c
,
то есть
b
=
c
.
Третье утверждение сразу следует из определения обратного элемен-
та, поскольку
a
·
a
−
1
=
e
.
Теперь мы будем писать
xy
вместо
x
·
y
.
Теорема A.5.
В группе однозначно разрешимо уравнение
ax
=
b
(
x
—
неизвестная,
a
и
b
— фиксированные элементы группы).
Доказательство.
ax
=
b
⇔
a
−
1
(
ax
) =
a
−
1
b
⇔
x
=
a
−
1
b
.
Пусть
[
G,
·
]
— группа. Подмножество
G
0
⊂
G
, такое, что
∀
g
∈
G
0
g
−
1
∈
G
0
, и
∀
g
1
, g
2
∈
G
0
g
1
g
2
∈
G
0
, называется
подгруппой
группы
G
.
Если
G
0
⊂
G
— подгруппа, то
g
∈
G
0
⇒
g
−
1
∈
G
0
⇒
gg
−
1
=
e
∈
G
0
.
Поэтому подгруппа сама является группой.
Примеры:
[
Z
,
+]
— подгруппа в
[
R
,
+]
. В любой группе есть подгруппа
{
e
}
.
Если групповая операция коммутативна, то и сама группа называет-
ся
коммутативной
, или
абелевой
.
Задача A.1.
Подмножество обратимых элементов в произвольном
моноиде
[
S,
◦
]
образует группу.
Задача A.2.
Группа обратимых элементов моноида
[
X
X
,
◦
]
некомму-
тативна, если
X
содержит больше двух элементов.
A.3.2
Свободная группа. Циклические группы
Рассмотрим некоторый (абстрактный) элемент
a
. Будем формально об-
разовывать его степени:
a
2
=
a
·
a, a
3
=
a
·
a
·
a
и т. д. Если счи-
тать, что
a
n
6
=
a
m
при
n
6
=
m
, то мы получим бесконечное множе-
ство
{
a, a
2
, . . . , a
n
, . . .
}
, которое является коммутативной полугруппой,
изоморфной
N
(понятно, что
a
m
+
n
=
a
m
a
n
). Если к этому множеству
присоединить нейтральный элемент
e
=
a
0
, то оно станет моноидом,
изоморфным
Z
+
, а если добавить еще обратные элементы
(
a
n
)
−
1
=
a
−
n
,
то получится абелева группа, изоморфная
Z
. Она называется
свободной
группой, порожденной элементом
a
. Сам этот элемент называется
об-
разующей
. Таким образом, множество целых чисел является свободной
группой, порожденной единицей.
Если мы полагаем, что
a
6
=
e, a
2
6
=
e, . . . , a
n
−
1
6
=
e, a
n
=
e
, то получа-
ется конечная группа
{
e, a, . . . , a
n
−
1
}
, которая называется
циклической
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
102
группой порядка
n
. Так,
[
{−
1
,
1
}
,
·
]
— циклическая группа второго по-
рядка с образующей
−
1
.
Любую циклическую группу можно записать аддитивно. Если
n
∈
Z
, p
∈
N
, то
n mod p
означает остаток от деления
n
на
p
. Множество
{
0
,
1
, . . . , p
−
1
}
всех возможных остатков обозначается
Z
p
. Определим
на нем операцию:
n
⊕
m
:= (
n
+
m
)
mod p
. Легко проверить, что
[
Z
p
,
⊕
]
— циклическая группа порядка
p
, порожденная единицей.
Контрольное упражнение A.1.
В чем разница между полугруппой
и подгруппой?
Контрольное
упражнение
A.2.
Какой
элемент
в
группе
{
e, a, . . . , a
n
−
1
}
является обратным к
a
? Какой элемент в группе
Z
5
является обратным к
2
?
Контрольное упражнение A.3.
В любой группе
ba
=
ca
⇒
b
=
c
.
A.4
Поля
A.4.1
Определение поля
Полем
называется алгебраическая структура
[
P
,
⊕
,
⊗
]
с двумя бинарны-
ми операциями (они называются сложением и умножением), для кото-
рых выполняются следующие условия:
(
F
1)
x
⊕
y
=
y
⊕
x
–
коммутативность сложения,
(
F
2) (
x
⊕
y
)
⊕
z
=
x
⊕
(
y
⊕
z
)
–
ассоциативность сложения,
(
F
3)
∃
0 : 0
⊕
x
=
x
∀
x
–
существование нуля (нейтраль-
ного по сложению элемента),
(
F
4)
∀
x
∃
x
:
x
⊕
x
= 0
–
существование противополож-
ного элемента (= обратного
по сложению),
(
F
5)
x
⊗
y
=
y
⊗
x
–
коммутативность умножения,
(
F
6) (
x
⊗
y
)
⊗
z
=
x
⊗
(
y
⊗
z
)
–
ассоциативность умножения,
(
F
7)
∃
1
6
= 0 : 1
⊗
x
=
x
∀
x
–
существование единицы
(нейтрального по умножению
элемента),
(
F
8)
∀
x
6
= 0
∃
b
x
:
x
⊗
b
x
= 1
–
существование обратного
по умножению элемента,
(
F
9)
x
⊗
(
y
⊕
z
) = (
x
⊗
y
)
⊕
(
x
⊗
z
)
–
дистрибутивность умножения
относительно сложения.
Свойства
F
1
−
F
9
называются
аксиомами поля
.
Примеры полей:
R
,
C
,
Q
.
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
103
A.4.2
Поле
Z
2
Множество
{
0
,
1
}
с операциями
⊕
2
сложения по модулю 2 и обычного
умножения является полем. Доказать это утверждение — значит прове-
рить выполнение всех аксиом поля. В п. A.3.2 мы выяснили, что
[
Z
2
,
⊕
2
]
— абелева группа, то есть выполнены аксиомы
F
1
−
F
4
. Аксиомы
F
5
−
F
9
проверяются легко.
Задача A.3.
Построить поле из трех элементов.
Задача A.4.
Существует ли поле, состоящее из
4
,
5
, . . . , n
элементов?
Задача A.5.
В любом поле выполняются равенства:
0
·
x
=
x
·
0 = 0;
x
·
(
−
y
) = (
−
x
)
·
y
=
−
(
x
·
y
);
(
x
−
y
)
·
z
=
x
·
z
−
y
·
z.
Контрольный вопрос A.4.
Проверьте выполнение аксиом поля
F
5
−
F
9
в
Z
2
.
B
Приложение.
Векторное и смешанное произведения в
R
3
104
B
Приложение.
Векторное и смешанное произ-
ведения в
R
3
Мы определим две весьма употребительные конструкции в евклидовом
пространстве
R
3
со стандартным скалярным произведением.
Поскольку стандартное скалярное произведение в
R
3
определяет “при-
вычную” геометрию с длинами и углами, здесь, в отличие от основ-
ной части пособия, можно без страха пользоваться иллюстрациями: они
адекватно передадут математическую реальность.
Векторное произведение векторов определим сначала геометрически.
Определение.
Пусть
a, b
∈
R
3
.
Векторным произведением
векто-
ров
a
и
b
называется вектор (мы будем обозначать его
a
×
b
, а другое
принятое обозначение векторного произведения таково:
[
a, b
]
), который
обладает следующими свойствами:
1)
k
a
×
b
k
=
k
a
k · k
b
k ·
sin
ϕ
, где
ϕ
— угол между векторами
a
и
b
;
2)
a
×
b
⊥
a
,
a
×
b
⊥
b
;
3) Векторы
a, b, a
×
b
образуют правую тройку.
Поскольку в определении векторного произведения участвует угол
между векторами
a
и
b
, сразу можно сказать, что векторное произведе-
ние не определено, если один из векторов
a, b
нулевой.
Определения такого сорта требуют, разумеется, доказательства кор-
ректности. В данном случае необходимо, во-первых, выяснить условия,
при которых вектор
a
×
b
существует
, а во-вторых, проверить, что если
он существует, то
определен однозначно
. Но мы такую проверку прово-
дить не будем, а сообщим сразу результат: для любых двух ненулевых
векторов
a, b
∈
R
3
вектор
a
×
b
определен единственным образом. Коорди-
наты вектора
a
×
b
, как можно проверить, выражаются через координаты
векторов
a
и
b
следующим образом: если
a
= (
a
1
a
2
a
3
)
T
,
b
= (
b
1
b
2
b
3
)
T
,
то
a
×
b
=
a
2
a
3
b
2
b
3
a
3
a
1
b
3
b
1
a
1
a
2
b
1
b
2
T
.
(48)
Как из данного нами определения, так и из выражения для коор-
динат (48) можно вывести свойства векторного произведения. Из этих
свойств отметим следующие.
1.
b
×
a
=
−
a
×
b
(это свойство можно назвать
антикоммутативно-
стью
);
2.
(
λ a
)
×
b
=
a
×
(
λ b
) =
λ
(
a
×
b
)
;
3.
(
a
1
+
a
2
)
×
b
=
a
1
×
b
+
a
2
×
b, a
×
(
b
1
+
b
2
) =
a
×
b
1
+
a
×
b
2
;
B
Приложение.
Векторное и смешанное произведения в
R
3
105
4.
a
×
a
=
θ
;
a
×
b
=
θ
⇔
векторы
a
и
b
коллинеарны.
Определение.
Векторным произведением
векторов
a, b,
∈
R
3
на-
зывается число
(
a, b, c
) :=
h
a
×
b, c
i
.
(49)
Легко увидеть, что если
a
= (
a
1
a
2
a
3
)
T
, b
= (
b
1
b
2
b
3
)
T
, c
= (
c
1
c
2
c
3
)
T
,
то
(
a, b, c
) =
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
=
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
,
и, стало быть,
(
a, b, c
)
— это объем параллелепипеда, построенного на
векторах
a, b, c
.