ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 969
Скачиваний: 2
1
Множества и отображения
11
Примеры.
1.
{
1
,
2
,
3
,
4
} \ {
3
,
4
,
5
}
=
{
1
,
2
}
;
2.
[0
,
1]
\
(1
,
2) = [0
,
1]
;
3.
[0
,
1]
\
[1
,
2] = [0
,
1)
;
4.
[0
,
1]
\
(0
,
1) =
{
0
,
1
}
;
5.
(0
,
1)
\
[0
,
1] =
∅
;
6.
∁
(0
,
+
∞
) = (
−∞
,
0]
(естественным универсумом здесь является
R
).
Контрольное упражнение 1.5.
A
\
B
=
A
∩
∁
B
.
1.2.4
Декартово произведение
Из элементов
a
∈
A
и
b
∈
B
можно образовать новый объект, называе-
мый
упорядоченной двойкой
(или
парой
):
(
a, b
)
. Упорядоченная двойка
(
a, b
)
— совсем не то же самое, что множество
{
a, b
}
: во-первых, она во-
обще не является множеством, а во-вторых,
{
a, b
}
=
{
b, a
}
(о множестве
можно сказать лишь, принадлежит ему данный элемент или нет); но
(
a, b
)
6
= (
b, a
)
, если
a
6
=
b
. Например, координаты точек плоскости — это
упорядоченные двойки: точки с координатами
(0
,
1)
и
(1
,
0)
различны.
Всевозможные упорядоченные двойки
(
a, b
)
, где
a
∈
A, b
∈
B
, обра-
зуют множество
A
×
B
, называемое
декартовым
(или
прямым
)
произ-
ведением
множеств
A
и
B
. Множество
A
×
A
называется
декартовым
квадратом
множества
A
и обозначается
A
2
:
A
×
B
=
{
(
a, b
) :
a
∈
A, b
∈
B
}
,
A
2
=
{
(
a, b
) :
a
∈
A, b
∈
A
}
.
Например, плоскость можно понимать, как
R
2
(декартов квадрат мно-
жества вещественных чисел), а шахматную доску — как прямое произ-
ведение
{
a, b, c, d, e, f, g, h
} × {
1
, . . . ,
8
}
. Если множество
A
состоит из
n
элементов, а множество
B
— из
m
, то
A
×
B
содержит
n
·
m
элементов.
Так, на шахматной доске
8
·
8 = 64
клетки.
Вводя в рассмотрение упорядоченные тройки, четверки,
. . . , n
-ки
элементов
(
a
1
, . . . , a
n
)
, можно образовывать декартовы произведения
A
1
×
· · · ×
A
n
любого числа множеств. Пример: трехмерное пространство как
декартов куб
R
3
вещественной прямой (точка пространства — это три
координаты
x, y, z
).
Контрольный вопрос 1.6.
Верно ли, что
A
×
B
=
B
×
A
?
Контрольный вопрос 1.7.
Верно ли, что
A
2
=
{
(
a, a
) :
a
∈
A
}
?
1
Множества и отображения
12
1.3
Отображения
1.3.1
Определение отображения. Примеры
Под
отображением
, действующим из множества
A
в множество
B
, мы
понимаем любое правило, сопоставляющее каждому элементу
a
∈
A
определенный элемент
f
(
a
)
∈
B
. Пишут
f
:
A
→
B
или
A
f
→
B
(
f
действует из
A
в
B
);
a
7→
f
(
a
)
(элементу
a
сопоставляется элемент
f
(
a
))
.
A
называется
областью определения
, а
B
—
областью значений
отобра-
жения
f
.
Примеры.
1.
f
1
:
R
→
R
, f
1
(
x
) =
x
2
;
2.
f
2
:
R
→
R
, f
2
(
x
) =
x
3
;
3.
f
3
:
N
→
N
, f
3
(
n
) = 2
n
.
1.3.2
Образы и прообразы. Инъекции, сюръекции и биекции
Если
f
:
A
→
B
, и
b
=
f
(
a
)
, то элемент
a
называется
прообразом
элемента
b
, а
b
—
образом
a
. Множество
всех
прообразов элемента
b
называется
полным прообразом
этого элемента:
f
−
1
(
b
) :=
{
a
∈
A
:
f
(
a
) =
b
}
;
прообраз множества
B
0
⊂
B
— это множество
f
−
1
(
B
0
) =
{
a
∈
A
:
f
(
a
)
∈
B
0
}
.
Образ
множества
A
0
⊂
A
определяется как множество образов всех эле-
ментов
A
0
:
f
(
A
0
) :=
{
f
(
a
)
, a
∈
A
0
}
; образ всей области определения,
т. е. множество
f
(
A
)
, называется
образом отображения f
и обозначается
Im f
. Пример: для отображения
f
:
x
7→
x
2
f
−
1
(
y
) =
∅
,
если
y <
0
,
{
0
}
,
если
y
= 0
,
{−
√
y,
√
y
}
,
если
y >
0;
f
−
1
([0
,
4]) = [
−
2
,
2];
f
([
−
1
,
3]) = [0
,
9];
Im f
= [0
,
+
∞
)
.
Отображение
f
:
A
→
B
называется:
1
Множества и отображения
13
•
инъекцией,
если
∀
a
1
, a
2
∈
A a
1
6
=
a
2
⇒
f
(
a
1
)
6
=
f
(
a
2
)
(прообраз
любого элемента
b
∈
B
содержит не более одного элемента);
•
сюръекцией,
если
Im f
=
B
, т. е.
∀
b
∈
B f
−
1
(
b
)
6
=
∅
;
•
биекцией (взаимно однозначным отображением),
если
f
одновре-
менно инъективно и сюръективно. Это означает, что
∀
b
∈
B
прооб-
раз
f
−
1
(
b
)
состоит ровно из одного элемента. Поэтому для биектив-
ного отображения
f
:
A
→
B
естественно определяется
обратное
отображение
f
−
1
:
B
→
A
по следующему правилу: если
f
(
a
) =
b
,
то
f
−
1
(
b
) =
a
. Поэтому
f
−
1
(
f
(
x
)) =
x, f
(
f
−
1
(
y
)) =
y
∀
x
∈
A, y
∈
B
.
'
&
$
%
'
&
$
%
q
-
q
:
q
-
q
q
x
1
x
2
y
A
B
-
f
1
f
1
(
x
1
) =
f
1
(
x
2
) =
y
Отображение
f
1
— НЕ инъекция
'
&
$
%
'
&
$
%
q
-
q
XXXX
XX
z
q
-
q
q
q
q
q
y
1
y
2
A
B
-
f
2
f
−
1
2
(
y
1
) =
f
−
1
2
(
y
2
) =
∅
Отображение
f
2
— НЕ сюръекция
'
&
$
%
'
&
$
%
q
-
q
q
-
q
q
-
q
q
-
q
A
B
-
f
3
f
3
— биекция
рис. 1.1
Контрольный вопрос 1.8.
Какие из отображений, приведенных в
пример в п. 1.3.1, являются инъекциями, сюръекциями, биекциями?
1.3.3
Что еще можно делать с отображениями
Пусть
f
:
A
→
B, A
0
⊂
A
.
Сужением (ограничением)
отображения
f
на
множество
A
0
называется отображение
f
0
:
A
0
→
B, f
0
(
x
) =
f
(
x
)
∀
x
∈
A
0
. Сужение
f
на
A
0
обозначается
f
|
A
0
.
Если
A
0
⊂
A
, то определено отображение
вложения
j
:
A
0
→
A, j
(
x
) =
x
∀
x
. Можно писать:
j
:
A
0
֒
→
A
.
1
Множества и отображения
14
1.3.4
Композиция отображений
Пусть заданы отображения
f
:
A
→
B
и
g
:
B
→
C
.
Композицией
отображений
f
и
g
называется отображение
A
→
C
, обозначаемое
g
◦
f
,
действие которого определяется формулой
g
◦
f
(
x
) =
g
(
f
(
x
))
.
Пример:
зададим отображения
f, g
:
R
→
R
формулами
f
(
x
) =
sin
x, g
(
x
) =
x
2
. Тогда
g
◦
f
(
x
) = sin
2
x
,
f
◦
g
(
x
) = sin(
x
2
)
. (Обратите
внимание на то, что
f
◦
g
6
=
g
◦
f
).
Очевидно, что для любых отображений
f
:
A
→
B
,
g
:
B
→
C
,
h
:
C
→
D
выполняется равенство
h
◦
(
g
◦
f
) = (
h
◦
g
)
◦
f.
2
Полиномы. Комплексные числа
15
2
Полиномы. Комплексные числа
Науку часто смешивают с знанием. Это грубое
недоразумение. Наука есть не только знание, но
и сознание, т. е. уменье пользоваться знанием
как следует.
В. Ключевский.
Теория полиномов ( = многочленов) представляет собой большой
раздел высшей алгебры (достаточно заметить, что одной из тео-
рем этого раздела (теорема 2.4) было в свое время усвоено наиме-
нование основной теоремы алгебры, под которым она известна и
теперь). Более глубоко материал этого раздела изложен в [2].
2.1
Многочлены от одной переменной: основные опреде-
ления
Функция, которая может быть записана в виде
p
(
x
) =
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
· · ·
+
a
n
x
n
=
n
X
k
=0
a
k
x
k
,
(3)
где
a
0
, . . . , a
n
— числа, причем
a
n
6
= 0
, называется
многочленом
(=
по-
линомом
)
степени n
от переменной
x
. Степень многочлена
p
обозна-
чается
deg p
. Если
p
(
x
)
≡
c
6
= 0
, то полагаем
deg p
= 0
;
deg
0 =
−∞
.
Выражение
ax
k
, k
∈
N
∪ {
0
}
, называется
мономом (одночленом)
.
Ясно, что областью определения многочлена является все
R
, и что
сумма и произведение многочленов являются также многочленами, а
частное двух многочленов — это не обязательно многочлен: например,
(
x
2
−
1)
/
(
x
−
1)
можно отождествить с многочленом
x
+ 1
, если пре-
небречь неопределенностью при
x
= 1
, а вот
(
x
+ 1)
/
(
x
−
1)
уже ни с
каким многочленом не отождествишь. Мы будем говорить, что много-
член
p
делится
на многочлен
q
, если существует такой многочлен
m
,
что
p
(
x
)
≡
q
(
x
)
m
(
x
)
.
Множество всех многочленов от переменной
x
обозначается
R
[
x
]
.
Контрольное упражнение 2.1.
∀
p, q
∈
R
[
x
]
deg
(
pq
) =
deg p
+
deg q
;
deg
(
p
+
q
)
≤
max
(
deg p, deg q
)
.
Теорема 2.1
(о делении многочленов с остатком)
.
∀
p, q
∈
R
[
x
]
∃
m, r
∈
R
[
x
]
такие, что
p
=
mq
+
r
и
deg r < deg q
(многочлен
r
называется
остатком
от деления
p
на
q
).
Доказательство
(весьма сложное) можно найти в [2]. Всегда легко
разделить один многочлен на другой
в столбик
.