ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 951
Скачиваний: 2
13
Билинейные формы. Скалярное произведение
96
13.4
Ортогональность. Ортонормированный базис
Векторы
x
и
y
в евклидовом пространстве
E
со скалярным произведени-
ем
h·
,
·i
называются
ортогональными
, если
h
x, y
i
= 0
.
Ортогональность
векторов
x
и
y
записывается так:
x
⊥
y
. Может показаться, что ортого-
нальность векторов равносильна тому, что угол между ними равен
π/
2
,
но это не так: если один из векторов
x, y
нулевой, то угол не определен, и
в то же время нулевой вектор по определению ортогонален любому век-
тору. В частности,
θ
— единственный в любом линейном пространстве
вектор, который ортогонален сам себе.
Контрольное упражнение 13.7.
Доказать теорему Пифагора в ев-
клидовом пространстве: если
x
⊥
y
, то
k
x
+
y
k
2
=
k
x
k
2
+
k
y
k
2
.
Теорема 13.3.
Любые
k
ненулевых попарно ортогональных векторов
в евклидовом пространстве линейно независимы.
Доказательство.
Пусть
E
— евклидово пространство,
x
1
, . . . , x
k
∈
E
,
h
x
i
, x
j
i
= 0
при
i
6
=
j
. Если
P
k
j
=1
α
j
x
j
=
θ
, то
∀
y
∈
E
h
P
k
j
=1
α
j
x
j
, y
i
=
0
. В частности,
0 =
h
k
X
j
=1
α
j
x
j
, x
l
i
=
k
X
j
=1
α
j
h
x
j
, x
l
i
=
α
l
h
x
l
, x
l
i
=
α
l
k
x
l
k
2
.
Поскольку
k
x
l
k 6
= 0
, обязательно
α
l
= 0
. Это верно для любого
l
=
1
, . . . , k,
поэтому только тривиальная линейная комбинация векторов
x
1
, . . . , x
k
равна
θ
. Теорема доказана.
Следствие.
Любые
n
ненулевых попарно ортогональных векторов в
n
-мерном евклидовом пространстве образуют базис.
Доказательство
очевидно для всякого, кто помнит задачу 9.4.
Можно доказать (мы этого не делаем по причине недостатка време-
ни), что в любом евклидовом пространстве
существует
ортогональный
базис. А если
f
1
, . . . , f
n
— ортогональный базис в евклидовом простран-
стве
E
, то его можно еще улучшить, положив
e
j
=
f
j
/
k
f
j
k
, j
= 1
, . . . , n
.
По построению, все векторы
e
j
нормированы. Они образуют так назы-
ваемый
ортонормированный базис
в пространстве
E
.
Пример.
Стандартный базис в
R
n
является ортонормированным.
Ортонормированный базис хорош тем, что в нем легко вычисляются
координаты любого вектора, как показывает следующая задача.
Задача 13.2.
Если
E
— евклидово пространство,
e
= (
e
1
, . . . , e
n
)
— ор-
тонормированный базис в
E
, то для любого вектора
x
∈
E
координаты
в разложении
x
=
ξ
1
e
1
+
. . .
+
ξ
n
e
n
можно определить по формуле
ξ
j
=
h
x, e
j
i
.
14
Понятие о тензорах
97
14
Понятие о тензорах
Некоторые предметы нам непонятны не оттого,
что наши понятия слабы; но оттого, что сии пред-
меты не входят в круг наших понятий.
К.П. Прутков.
TO APPEAR
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
98
A
Приложение.
Некоторые понятия общей ал-
гебры
Мало кто знает, как много надо знать для того,
чтобы знать, как мало мы знаем...
Академик Г.И. Наан.
A.1
Внутренние операции
Отображение
ϕ
:
M
n
→
M
называется
n
-
местной операцией (внутрен-
ней)
на множестве
M
. Нас будут интересовать
бинарные
(двуместные)
операции. Обычно для обозначения бинарной операции используют ка-
кой-нибудь значок вроде
◦
, и пишут
x
◦
y
вместо
ϕ
(
x, y
)
. Примеры:
+
,
·
(умножение) — бинарные операции на
R
,
Z
,
N
; вычитание — бинарная
операция на
R
и
Z
, но не на
N
(например, разности
1
−
3
в
N
не суще-
ствует). Взятие наибольшего общего делителя — бинарная операция на
N
.
Бинарная операция
◦
на множестве
M
называется:
–
ассоциативной
, если
x
◦
(
y
◦
z
) = (
x
◦
y
)
◦
z
∀
x, y, z
∈
M
;
–
коммутативной
, если
x
◦
y
=
y
◦
x
∀
x, y
∈
M
;
–
идемпотентной
, если
x
◦
x
=
x
∀
x
∈
M
.
Если
◦
— ассоциативная операция, то вместо
x
◦
(
y
◦
z
)
или
(
x
◦
y
)
◦
z
можно писать просто
x
◦
y
◦
z
.
Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны, но не идемпо-
тентны. Вычитание не ассоциативно, не коммутативно и не идемпотент-
но. Взятие наибольшего общего делителя ассоциативно, коммутативно
и идемпотентно.
Элемент
e
∈
M
называется
нейтральным
относительно бинарной
операции
◦
, если
∀
x
∈
M x
◦
e
=
e
◦
x
=
x
. Элемент
y
называет-
ся
обратным
к элементу
x
относительно бинарной операции
◦
, если
x
◦
y
=
y
◦
x
=
e
. Элемент, у которого есть обратный, называется
об-
ратимым
. Примеры:
0
∈
R
— нейтральный элемент относительно сло-
жения (говорят также ”нейтральный элемент по сложению”);
1
∈
R
—
нейтральный элемент по умножению.
∀
x
∈
R
−
x
— обратный элемент
по сложению,
x
−
1
— по умножению, если только
x
6
= 0
.
Теорема A.1.
Если нейтральный элемент относительно бинарной опе-
рации
◦
существует, то он единственен.
Доказательство.
Покажем, что если
e
1
, e
2
— нейтральные элементы,
то
e
1
=
e
2
. Смотри:
e
1
◦
e
2
=
e
2
, поскольку
e
1
— нейтральный элемент;
e
1
◦
e
2
=
e
1
, поскольку
e
2
— нейтральный элемент. Итак,
e
1
=
e
2
.
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
99
Теорема A.2.
Если бинарная операция
◦
ассоциативна, то обратный
элемент единственен.
Доказательство.
Пусть
y
1
, y
2
— обратные к
x
элементы. Тогда
y
1
=
y
1
◦
e
=
y
1
◦
(
x
◦
y
2
) = (
y
1
◦
x
)
◦
y
2
=
e
◦
y
2
=
y
2
.
A.2
Алгебраические структуры. Морфизмы
Если на множестве
M
заданы
n
1
-местная операция
ϕ
1
,
n
2
-местная опе-
рация
ϕ
2
, . . . ,
n
m
-местная операция
ϕ
m
, то мы будем говорить об
алгебраической структуре
на
M
. Набор чисел
n
1
, . . . , n
m
определяет
тип
алгебраической структуры. Алгебраическую структуру обознача-
ют
[
M, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
]
.
Примеры.
[
R
,
+
,
·
]
,
[
Z
,
+
,
·
]
— алгебраические структуры одного
типа.
[
R
,
+]
,
[
R
+
\{
0
}
,
·
]
,
[
Z
,
+]
,
[
R
,
+]
— также однотипные алгеб-
раические структуры (во всех четырех случаях — по одной бинарной
операции).
Пусть
[
M, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
]
,
[
P, ψ
1
, . . . , ψ
m
]
— однотипные структуры. Отоб-
ражение
f
:
M
→
P
называется
морфизмом (гомоморфизмом)
, если
∀
k
= 1
, . . . , m f
(
ϕ
k
(
x
1
, . . . , x
n
k
)) =
ψ
k
(
f
(
x
1
)
, . . . , f
(
x
n
k
))
. Инъективный
морфизм называют
мономорфизмом
, сюръективный —
эпиморфизмом
,
биективный —
изоморфизмом
.
Изоморфизм
f
:
M
→
M
называется
автоморфизмом
множества
M
.
Примеры.
Вложение
j
:
Z
→
R
определяет мономорфизм струк-
тур
[
Z
,
+
,
·
]
→
[
R
,
+
,
·
]
. Отображение
n
7→
2
n
является мономорфизмом
структур
[
Z
,
+]
→
[
Z
,
+]
, но не является морфизмом структур
[
Z
,
·
]
→
[
Z
,
·
]
. Отображение
x
7→
2
x
определяет изоморфизм структур
[
R
,
+]
→
[
R
+
\{
0
}
,
·
]
. Отображение
x
7→ −
x
— автоморфизм
[
R
,
+]
→
[
R
,
+]
, но не
морфизм
[
R
,
+
,
·
]
→
[
R
,
+
,
·
]
.
Теорема A.3.
Если
f
:
M
→
P
— изоморфизм, то
f
−
1
:
P
→
M
—
изоморфизм.
Доказательство.
Для любых
y
1
, . . . , y
n
k
∈
P
обозначим
f
−
1
(
y
j
)
че-
рез
x
j
∈
M
. Имеем
f
(
ϕ
k
(
x
1
, . . . , x
n
k
)) =
ψ
k
(
f
(
x
1
)
, . . . , f
(
x
n
k
))
, то есть
ψ
k
(
y
1
, . . . , y
n
k
) =
f
(
ϕ
k
(
f
−
1
(
y
1
)
, . . . , f
−
1
(
y
n
k
)))
. Следовательно
f
−
1
(
ψ
k
(
y
1
, . . . , y
n
k
)) =
f
−
1
(
f
(
ϕ
k
(
f
−
1
(
y
1
)
, . . . , f
−
1
(
y
n
k
)))) =
=
ϕ
k
(
f
−
1
(
y
1
)
, . . . , f
−
1
(
y
n
k
))
.
A.3
Группы
A.3.1
Определения полугруппы, моноида, группы
Множество с ассоциативной бинарной операцией называется
полугруп-
пой
. Если в полугруппе существует нейтральный элемент, она называет-
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
100
ся
моноидом
. Примеры:
[
N
,
·
]
,
[
Z
,
+]
— моноиды, а
[
N
,
+]
— полугруппа,
но не моноид.
Один важный пример.
Пусть
X
— непустое множество. Через
X
X
обозначается множество всех отображений
X
→
X
6
. Для любых
f, g
∈
X
X
отображение
g
◦
f
:
X
→
X
, определенное формулой
g
◦
f
(
x
) =
g
(
f
(
x
))
, называется
композицией
отображений
f
и
g
. Очевидно,
◦
— ассоциативная бинарная операция (см. рис. 4). Очевидно также,
что
тождественное отображение
Id
X
, оставляющее любой элемент на
месте:
Id
X
(
x
) =
x
∀
x
∈
X
, является нейтральным элементом структуры
[
X
X
,
◦
]
. Поэтому
[
X
X
,
◦
]
— моноид.
Простейший частный случай.
Пусть
X
=
{
a, b
}
. Тогда
X
X
содер-
жит четыре элемента:
e
=
Id
;
f
:
a
7→
b, b
7→
a
;
g
:
a
7→
a, b
7→
a
;
h
:
a
7→
b, b
7→
b
. "Таблица композиции"(по аналогии с таблицей умножения) в
X
X
выглядит так:
e
f
g
h
e
e
f
g
h
f
f
e
g
h
g
g
g
g
g
h
h
h
h
h
Из таблицы видно, что композиция не коммутативна:
g
◦
h
6
=
h
◦
g
.
Элементы
e
и
f
обратимы,
g
и
h
— нет.
Структура
[
G,
·
]
называется
группой
, если
·
— бинарная операция,
удовлетворяющая следующим условиям:
(
G
1
) она ассоциативна;
(
G
2
) в
G
существует нейтральный элемент;
(
G
3
)
∀
g
∈
G
∃
g
−
1
∈
G
.
Свойства (
G
1
−
G
3
) называются
аксиомами группы
. Если групповая
операция обозначается
·
, то она называется
умножением
, а сама группа
—
мультипликативной
. Нейтральный элемент в этом случае обознача-
ется
e
и называется
(групповой) единицей
. Если групповая операция —
сложение, то нейтральный элемент называется
нулем
, а группа —
адди-
тивной
.
Примеры групп:
[
Z
,
+]; [
R
,
+]; [
R
+
\{
0
}
,
·
]
. Две последних груп-
пы изоморфны. Очевидно, что
[
{
1
,
−
1
}
,
·
]
— группа. Элементы
e
и
f
моноида
{
a, b
}
{
a,b
}
(п. 2.3.3) также образуют группу. Отображение
ϕ
:
[
{
1
,
−
1
}
,
·
]
→
[
{
e, f
}
,
◦
]
, ϕ
(1) =
e, ϕ
(
−
1) =
f
, является изоморфизмом
групп.
Теорема A.4.
В группе
(
a
·
b
)
−
1
=
b
−
1
·
a
−
1
;
a
·
b
=
a
·
c
⇒
b
=
c
;
(
a
−
1
)
−
1
=
a.
6
А множество всех отображений
X
→
Y
обозначается
Y
X
.