ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 973

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

1

Множества и отображения

6

1

Множества и отображения

Назвался груздем — полезай в кузов.

Русская пословица.

В этом разделе излагаются элементарные понятия теории мно-
жеств. Данный материал не относится собственно к алгебре, а ско-
рее является общематематическим достоянием; для его освоения,
помимо настоящего пособия, можно обратиться к [1], [23].

1.1

Множества и их элементы

1.1.1

Основные определения

Понятие

множества

в математике не определяется. Оно принадлежит к

числу первичных понятий, через которые уже определяются все осталь-
ные. Обычно говорят, что множество — это набор или совокупность объ-
ектов произвольной природы, называемых

элементами

множества. Это

приблизительно-описательное объяснение, конечно, не является опреде-
лением, так как слова «множество», «набор», «совокупность» суть сино-
нимы, и ни один из них не прибавляет другому смысла. Можно подойти к
понятию множества с другой стороны, сказав, что множество — это

одно

имя для многих объектов

. Это полезная мысль, особенно если ее обра-

тить

1

: где есть единое имя для многих объектов, там есть и множество.

Иными словами, термин или понятие порождает множество. Например,
у нас есть слово «лошадь» — и мы можем рассматривать множество всех
лошадей; есть понятие треугольника, следовательно, определено множе-
ство всех треугольников и т. д. Но «имя», которое объединяет объекты в
множество — это не обязательно слово естественного языка. Имя может
быть любым значком. Чаще всего (хотя это вовсе не жесткое требова-
ние, а лишь дело традиции, удобства и вкуса) множества обозначают
прописными, а их элементы — строчными буквами. Запись

x

M

(1)

означает, что элемент

x

принадлежит

множеству

M

, а

x /

M

(2)

является отрицанием утверждения (1).

Контрольный вопрос 1.1.

Что означает запись

M

x

?

1

То есть рассмотреть обратное утверждение. Если утверждение имеет вид

P

Q

(из

P

следует

Q

), то обратным к нему называется утверждение

Q

P

(из

Q

следует

P

). Есть полезная книжка [22], посвященная обращению утверждений. По

этому вопросу см. также [26], [27], [28].


background image

1

Множества и отображения

7

Главное для множества — чтобы оно было четко определено, т. е.

чтобы для всякого элемента можно было определенно сказать, принад-
лежит он данному множеству или нет. Вот пример: множество чисел,
которые больше единицы, определено, а вот множество чисел, которые

гораздо

больше единицы — не определено, пока мы не дадим точного

определения выражению «гораздо больше».

Чтобы записать множество, пользуются фигурными скобками. Так,

{

a

}

означает множество, состоящее из единственного элемента

a

;

{

1

,

2

,

3

}

— множество, элементами которого являются числа

1

,

2

,

3

.

Некоторые множества имеют стандартные обозначения:

N

=

{

1

,

2

,

3

, . . .

}

— множество

натуральных

чисел;

Z

=

{

. . . ,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

, . . .

}

— множество

целых

чисел;

R

— множество всех

вещественных ( = действительных)

чисел.

1.1.2

Способы задания множеств

Разумеется, не всегда возможно описать множество простым перечисле-
нием его элементов. Рассмотрим другие способы задания множеств.

Характеристическое свойство.

Множество, состоящее из всех

элементов, обладающих свойством

P

, обозначается

{

x

:

P

(

x

)

}

.

Приме-

ры:

{

x

:

a < x < b

}

= (

a, b

)

— открытый интервал на вещественной оси;

{

x

:

a

x

b

}

= [

a, b

]

— отрезок ( = замкнутый интервал) на

вещественной оси;

{

x

:

x

2

1 = 0

}

— множество решений уравнения

x

2

1 = 0

.

Одно и то же множество может быть задано разными способами:

например,

{

x

:

x

2

1 = 0

}

=

{

x

:

|

x

|

= 1

}

=

{−

1

,

1

}

.

Характеристическое свойство может быть сложным, то есть состо-

ять из нескольких свойств. Их можно перечислить через запятую или
с помощью логического значка

(логическое «и», конъюнкция). Так,

например, множество

{

x

:

x >

1

, x

2

<

20

, x

нечетно

}

=

{

x

: (

x >

1)

(

x

2

<

20)

(

x

нечетно

)

}

состоит из элементов, для которых все три указанных условия выпол-
няются одновременно.

Контрольный вопрос 1.2.

Что это за множество?

Вместо

{

x

:

x

M, P

(

x

)

}

обычно пишут

{

x

M

:

P

(

x

)

}

. Например,

{

n

Z

:

n

= 2

p

для некоторого

p

Z

}

— это множество четных чисел.

Логический значок

(логическое «или», дизъюнкция) позволяет со-

бирать в одно множество элементы, обладающие

хотя бы одним

из

нескольких признаков. Примеры:


background image

1

Множества и отображения

8

{

x

: (

x >

1)

(

x <

1)

}

— множество, которое короче записывается

в виде

{

x

:

|

x

|

>

1

}

;

{

x

: (

x >

1)

(

x <

1)

}

=

R

.

Индексированные множества.

Множество всех значений, прини-

маемых выражением

f

(

x

)

, когда переменная

x

, как говорят,

пробегает

множество

A

, обозначается

{

f

(

x

) :

x

A

}

или

{

f

(

x

)

}

x

A

. Примеры:

{

sin

x

:

x

R

}

= [

1

,

1]

;

{

t

2

:

t

(

1

,

1

/

2]

}

= [0

,

1)

;

Q

=

{

m/n

:

m

Z

, n

N

}

— множество

рациональных

чисел

(обозначение

Q

является стандартным).

Часто используется такой вариант обозначения:

{

x

i

:

i

I

}

=

{

x

i

}

i

I

. В этом случае переменную

i

принято называть

индексом

,

I

соответственно, множеством индексов, а само множество

{

x

i

}

можно

назвать индексированным множеством. Пример:

{

1

/n

}

n

N

— множество

чисел, обратных к натуральным.

Контрольное упражнение 1.3.

Найти множества:

а)

{−

x

:

x

[0

,

1]

}

;

б)

{−

x

:

x

[

1

,

1]

}

;

в)

{

t

:

t

∈ {

u

2

:

u

∈ {

α

:

|

α

|

<

1

}}}

.

1.1.3

Подмножества. Пустое множество. Универсум. Провер-
ка равенства множеств

Если все элементы множества

A

являются также элементами множества

B

, то

A

называется

подмножеством

множества

B

. Записывается это

так:

A

B

. В математических обозначениях,

A

B

опр

⇐⇒

x

(

x

A

x

B

)

.

Здесь использован значок

, который называется

квантором общно-

сти

и читается ”для любого”.

Если

A

является подмножеством

B

, то говорят также, что

A

вклю-

чено

в

B

, а

B

содержит

A

.

Контрольный вопрос 1.4.

Какова разница между значками

и

?

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется

пустым

множеством. Оно обозначается

. Пустое множество часто оказывается

результатом выполнения каких-любо операций или решения уравнений:

{

x

: (

x >

1)

(

x <

1)

}

=

,

{

x

:

x

2

+ 1

<

0

}

=

.

В математическом рассуждении обычно подразумевается множество,

которое содержит все рассматриваемые элементы, или, лучше сказать,


background image

1

Множества и отображения

9

все элементы, которые могут быть рассмотрены. Такое множество назы-
вается

универсумом

. Например, если мы занимаемся уравнением

x

2

1 =

0

, то решения будем искать, разумеется, среди вещественных чисел, а не

лягушек или букв русского алфавита. Стало быть, в этом случае уни-
версумом является множество

R

. Вообще, запись

{

x

:

P

(

x

)

}

на самом

деле всегда означает

{

x

∈ U

:

P

(

x

)

}

, где

U

— универсум; также и запись

x

имеет в виду ”для любого

x

из универсума”. Как правило, универсум

именно

подразумевается

: явно его не называют. Но четко представлять

себе, в каком универсуме ты работаешь, необходимо всегда.

Равенство множеств

A

и

B

означает, что они состоят из одних и тех

же элементов:

A

=

B

x

(

x

A

x

B

)

.

При этом множества

A

и

B

одновременно являются подмножествами

друг друга (взгляните еще раз на определение включения):

A

=

B

(

A

B

B

A

)

.

Если множества заданы в виде

A

=

{

x

:

P

(

x

)

}

,

B

=

{

x

:

Q

(

x

)

}

,

то доказательство их равенства сводится к проверке логической эквива-
лентности

P

(

x

)

Q

(

x

)

,

которая распадается на два следствия:

P

(

x

)

Q

(

x

)

и

Q

(

x

)

P

(

x

)

.

1.1.4

Пустое множество является подмножеством любого мно-
жества

Покажем, что для любого множества

M

имеет место включение

M

.

По определению, это означает, что любой элемент множества

должен

быть также элементом множества

M

. Но, поскольку в

вовсе нет эле-

ментов, это утверждение является

заведомо истинным

, точно так же,

как истинным является утверждение ”все люди пятиметрового роста —
математики”, поскольку нет людей пятиметрового роста (утверждение
о пятиметровых математиках — это, конечно, частный случай утвер-
ждения, вынесенного в заголовок настоящего пункта). Скажем о том же
другими словами. Мы должны доказать, что для любого элемента

x

∈ U

(

U

— универсум) из

x

следует, что

x

M

. Но утверждение

x

всегда ложно, а

из ложного утверждения следует все, что угодно:

кто

не знает этого правила математической логики и не умеет его применять,
тому по справедливости полагается двойка по любому математическому
предмету.


background image

1

Множества и отображения

10

1.2

Операции над множествами

1.2.1

Пересечение

Пересечением

множеств

A

и

B

называется множество, обозначаемое

A

B

, которое состоит из элементов, принадлежащих

одновременно

мно-

жествам

A

и

B

:

A

B

:=

{

x

:

x

A

x

B

}

.

Примеры.

1.

{

1

,

2

,

3

,

4

} ∩ {

3

,

4

,

5

}

=

{

3

,

4

}

.

2.

[0

,

1]

(1

,

2) =

.

3.

[0

,

1]

[1

,

2] =

{

1

}

.

4.

(0

,

2)

(1

,

3) = (1

,

2)

.

Если

A

B

=

, то множества

A

и

B

называются

непересекающимися

(что вполне естественно).

1.2.2

Объединение

Объединение

множеств

A

и

B

— это множество, состоящее из объектов,

принадлежащих

по крайней мере

одному из множеств

A, B

. Обознача-

ется это множество

A

B

:

A

B

:=

{

x

:

x

A

x

B

}

.

Примеры.

1.

{

1

,

2

,

3

,

4

} ∪ {

3

,

4

,

5

}

=

{

1

,

2

,

3

,

4

,

5

}

.

2.

[0

,

1]

(1

,

2) = [0

,

2)

.

3.

(0

,

1)

(1

,

2)

— это запись, которую, пожалуй, нельзя упростить:

получившееся множество есть интервал

(0

,

2)

без точки

1

.

1.2.3

Разность. Дополнение

Разностью

множеств

A

и

B

называется множество, состоящее из тех

элементов множества

A

, которые

не принадлежат

множеству

B

. Обо-

значается это множество

A

\

B

:

A

\

B

:=

{

x

:

x

A

x /

B

}

.

Если

B

A

, то разность

A

\

B

может также называться

дополнением

множества

B

в множестве

A

(или дополнением

к

множеству

B

в

A

, или

дополнением

B

до

множества

A

). На этот случай есть и свое обозначение:

A

\

B

=

A

B.

Дополнение множества

B

до универсума обозначается

просто

B

или

B

.