ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 971
Скачиваний: 2
1
Множества и отображения
6
1
Множества и отображения
Назвался груздем — полезай в кузов.
Русская пословица.
В этом разделе излагаются элементарные понятия теории мно-
жеств. Данный материал не относится собственно к алгебре, а ско-
рее является общематематическим достоянием; для его освоения,
помимо настоящего пособия, можно обратиться к [1], [23].
1.1
Множества и их элементы
1.1.1
Основные определения
Понятие
множества
в математике не определяется. Оно принадлежит к
числу первичных понятий, через которые уже определяются все осталь-
ные. Обычно говорят, что множество — это набор или совокупность объ-
ектов произвольной природы, называемых
элементами
множества. Это
приблизительно-описательное объяснение, конечно, не является опреде-
лением, так как слова «множество», «набор», «совокупность» суть сино-
нимы, и ни один из них не прибавляет другому смысла. Можно подойти к
понятию множества с другой стороны, сказав, что множество — это
одно
имя для многих объектов
. Это полезная мысль, особенно если ее обра-
тить
1
: где есть единое имя для многих объектов, там есть и множество.
Иными словами, термин или понятие порождает множество. Например,
у нас есть слово «лошадь» — и мы можем рассматривать множество всех
лошадей; есть понятие треугольника, следовательно, определено множе-
ство всех треугольников и т. д. Но «имя», которое объединяет объекты в
множество — это не обязательно слово естественного языка. Имя может
быть любым значком. Чаще всего (хотя это вовсе не жесткое требова-
ние, а лишь дело традиции, удобства и вкуса) множества обозначают
прописными, а их элементы — строчными буквами. Запись
x
∈
M
(1)
означает, что элемент
x
принадлежит
множеству
M
, а
x /
∈
M
(2)
является отрицанием утверждения (1).
Контрольный вопрос 1.1.
Что означает запись
M
∈
x
?
1
То есть рассмотреть обратное утверждение. Если утверждение имеет вид
P
⇒
Q
(из
P
следует
Q
), то обратным к нему называется утверждение
Q
⇒
P
(из
Q
следует
P
). Есть полезная книжка [22], посвященная обращению утверждений. По
этому вопросу см. также [26], [27], [28].
1
Множества и отображения
7
Главное для множества — чтобы оно было четко определено, т. е.
чтобы для всякого элемента можно было определенно сказать, принад-
лежит он данному множеству или нет. Вот пример: множество чисел,
которые больше единицы, определено, а вот множество чисел, которые
гораздо
больше единицы — не определено, пока мы не дадим точного
определения выражению «гораздо больше».
Чтобы записать множество, пользуются фигурными скобками. Так,
{
a
}
означает множество, состоящее из единственного элемента
a
;
{
1
,
2
,
3
}
— множество, элементами которого являются числа
1
,
2
,
3
.
Некоторые множества имеют стандартные обозначения:
N
=
{
1
,
2
,
3
, . . .
}
— множество
натуральных
чисел;
Z
=
{
. . . ,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
, . . .
}
— множество
целых
чисел;
R
— множество всех
вещественных ( = действительных)
чисел.
1.1.2
Способы задания множеств
Разумеется, не всегда возможно описать множество простым перечисле-
нием его элементов. Рассмотрим другие способы задания множеств.
Характеристическое свойство.
Множество, состоящее из всех
элементов, обладающих свойством
P
, обозначается
{
x
:
P
(
x
)
}
.
Приме-
ры:
{
x
:
a < x < b
}
= (
a, b
)
— открытый интервал на вещественной оси;
{
x
:
a
≤
x
≤
b
}
= [
a, b
]
— отрезок ( = замкнутый интервал) на
вещественной оси;
{
x
:
x
2
−
1 = 0
}
— множество решений уравнения
x
2
−
1 = 0
.
Одно и то же множество может быть задано разными способами:
например,
{
x
:
x
2
−
1 = 0
}
=
{
x
:
|
x
|
= 1
}
=
{−
1
,
1
}
.
Характеристическое свойство может быть сложным, то есть состо-
ять из нескольких свойств. Их можно перечислить через запятую или
с помощью логического значка
∧
(логическое «и», конъюнкция). Так,
например, множество
{
x
:
x >
1
, x
2
<
20
, x
нечетно
}
=
{
x
: (
x >
1)
∧
(
x
2
<
20)
∧
(
x
нечетно
)
}
состоит из элементов, для которых все три указанных условия выпол-
няются одновременно.
Контрольный вопрос 1.2.
Что это за множество?
Вместо
{
x
:
x
∈
M, P
(
x
)
}
обычно пишут
{
x
∈
M
:
P
(
x
)
}
. Например,
{
n
∈
Z
:
n
= 2
p
для некоторого
p
∈
Z
}
— это множество четных чисел.
Логический значок
∨
(логическое «или», дизъюнкция) позволяет со-
бирать в одно множество элементы, обладающие
хотя бы одним
из
нескольких признаков. Примеры:
1
Множества и отображения
8
{
x
: (
x >
1)
∨
(
x <
−
1)
}
— множество, которое короче записывается
в виде
{
x
:
|
x
|
>
1
}
;
{
x
: (
x >
−
1)
∨
(
x <
1)
}
=
R
.
Индексированные множества.
Множество всех значений, прини-
маемых выражением
f
(
x
)
, когда переменная
x
, как говорят,
пробегает
множество
A
, обозначается
{
f
(
x
) :
x
∈
A
}
или
{
f
(
x
)
}
x
∈
A
. Примеры:
{
sin
x
:
x
∈
R
}
= [
−
1
,
1]
;
{
t
2
:
t
∈
(
−
1
,
1
/
2]
}
= [0
,
1)
;
Q
=
{
m/n
:
m
∈
Z
, n
∈
N
}
— множество
рациональных
чисел
(обозначение
Q
является стандартным).
Часто используется такой вариант обозначения:
{
x
i
:
i
∈
I
}
=
{
x
i
}
i
∈
I
. В этом случае переменную
i
принято называть
индексом
,
I
—
соответственно, множеством индексов, а само множество
{
x
i
}
можно
назвать индексированным множеством. Пример:
{
1
/n
}
n
∈
N
— множество
чисел, обратных к натуральным.
Контрольное упражнение 1.3.
Найти множества:
а)
{−
x
:
x
∈
[0
,
1]
}
;
б)
{−
x
:
x
∈
[
−
1
,
1]
}
;
в)
{
√
t
:
t
∈ {
u
2
:
u
∈ {
α
:
|
α
|
<
1
}}}
.
1.1.3
Подмножества. Пустое множество. Универсум. Провер-
ка равенства множеств
Если все элементы множества
A
являются также элементами множества
B
, то
A
называется
подмножеством
множества
B
. Записывается это
так:
A
⊂
B
. В математических обозначениях,
A
⊂
B
опр
⇐⇒
∀
x
(
x
∈
A
⇒
x
∈
B
)
.
Здесь использован значок
∀
, который называется
квантором общно-
сти
и читается ”для любого”.
Если
A
является подмножеством
B
, то говорят также, что
A
вклю-
чено
в
B
, а
B
содержит
A
.
Контрольный вопрос 1.4.
Какова разница между значками
∈
и
⊂
?
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым
множеством. Оно обозначается
∅
. Пустое множество часто оказывается
результатом выполнения каких-любо операций или решения уравнений:
{
x
: (
x >
1)
∧
(
x <
1)
}
=
∅
,
{
x
:
x
2
+ 1
<
0
}
=
∅
.
В математическом рассуждении обычно подразумевается множество,
которое содержит все рассматриваемые элементы, или, лучше сказать,
1
Множества и отображения
9
все элементы, которые могут быть рассмотрены. Такое множество назы-
вается
универсумом
. Например, если мы занимаемся уравнением
x
2
−
1 =
0
, то решения будем искать, разумеется, среди вещественных чисел, а не
лягушек или букв русского алфавита. Стало быть, в этом случае уни-
версумом является множество
R
. Вообще, запись
{
x
:
P
(
x
)
}
на самом
деле всегда означает
{
x
∈ U
:
P
(
x
)
}
, где
U
— универсум; также и запись
∀
x
имеет в виду ”для любого
x
из универсума”. Как правило, универсум
именно
подразумевается
: явно его не называют. Но четко представлять
себе, в каком универсуме ты работаешь, необходимо всегда.
Равенство множеств
A
и
B
означает, что они состоят из одних и тех
же элементов:
A
=
B
⇔
∀
x
(
x
∈
A
⇔
x
∈
B
)
.
При этом множества
A
и
B
одновременно являются подмножествами
друг друга (взгляните еще раз на определение включения):
A
=
B
⇔
(
A
⊂
B
∧
B
⊂
A
)
.
Если множества заданы в виде
A
=
{
x
:
P
(
x
)
}
,
B
=
{
x
:
Q
(
x
)
}
,
то доказательство их равенства сводится к проверке логической эквива-
лентности
P
(
x
)
⇔
Q
(
x
)
,
которая распадается на два следствия:
P
(
x
)
⇒
Q
(
x
)
и
Q
(
x
)
⇒
P
(
x
)
.
1.1.4
Пустое множество является подмножеством любого мно-
жества
Покажем, что для любого множества
M
имеет место включение
∅
⊂
M
.
По определению, это означает, что любой элемент множества
∅
должен
быть также элементом множества
M
. Но, поскольку в
∅
вовсе нет эле-
ментов, это утверждение является
заведомо истинным
, точно так же,
как истинным является утверждение ”все люди пятиметрового роста —
математики”, поскольку нет людей пятиметрового роста (утверждение
о пятиметровых математиках — это, конечно, частный случай утвер-
ждения, вынесенного в заголовок настоящего пункта). Скажем о том же
другими словами. Мы должны доказать, что для любого элемента
x
∈ U
(
U
— универсум) из
x
∈
∅
следует, что
x
∈
M
. Но утверждение
x
∈
∅
всегда ложно, а
из ложного утверждения следует все, что угодно:
кто
не знает этого правила математической логики и не умеет его применять,
тому по справедливости полагается двойка по любому математическому
предмету.
1
Множества и отображения
10
1.2
Операции над множествами
1.2.1
Пересечение
Пересечением
множеств
A
и
B
называется множество, обозначаемое
A
∩
B
, которое состоит из элементов, принадлежащих
одновременно
мно-
жествам
A
и
B
:
A
∩
B
:=
{
x
:
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
.
Примеры.
1.
{
1
,
2
,
3
,
4
} ∩ {
3
,
4
,
5
}
=
{
3
,
4
}
.
2.
[0
,
1]
∩
(1
,
2) =
∅
.
3.
[0
,
1]
∩
[1
,
2] =
{
1
}
.
4.
(0
,
2)
∩
(1
,
3) = (1
,
2)
.
Если
A
∩
B
=
∅
, то множества
A
и
B
называются
непересекающимися
(что вполне естественно).
1.2.2
Объединение
Объединение
множеств
A
и
B
— это множество, состоящее из объектов,
принадлежащих
по крайней мере
одному из множеств
A, B
. Обознача-
ется это множество
A
∪
B
:
A
∪
B
:=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
.
Примеры.
1.
{
1
,
2
,
3
,
4
} ∪ {
3
,
4
,
5
}
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
.
2.
[0
,
1]
∪
(1
,
2) = [0
,
2)
.
3.
(0
,
1)
∪
(1
,
2)
— это запись, которую, пожалуй, нельзя упростить:
получившееся множество есть интервал
(0
,
2)
без точки
1
.
1.2.3
Разность. Дополнение
Разностью
множеств
A
и
B
называется множество, состоящее из тех
элементов множества
A
, которые
не принадлежат
множеству
B
. Обо-
значается это множество
A
\
B
:
A
\
B
:=
{
x
:
x
∈
A
∧
x /
∈
B
}
.
Если
B
⊂
A
, то разность
A
\
B
может также называться
дополнением
множества
B
в множестве
A
(или дополнением
к
множеству
B
в
A
, или
дополнением
B
до
множества
A
). На этот случай есть и свое обозначение:
A
\
B
=
∁
A
B.
Дополнение множества
B
до универсума обозначается
просто
∁
B
или
B
.