ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 952
Скачиваний: 2
13
Билинейные формы. Скалярное произведение
91
13
Билинейные и квадратичные формы. Скаляр-
ное произведение. Евклидовы пространства
Причина того, что люди так мало за-
поминают из прочитанного, заключа-
ется в том, что они слишком мало ду-
мают сами.
Георг Лихтенберг, немецкий
ученый и писатель.
Как это ни странно, только с помощью вводимого в этом разделе
понятия скалярного произведения в линейной алгебре определяют-
ся такие кажущиеся нам привычными понятия, как длина вектора
и угол между векторами. Параграфы, посвященные рассматривае-
мым нами здесь вопросам, имеются в любом учебнике по линейной
алгебре.
13.1
Билинейные и квадратичные формы
Определение.
Отображение
A
:
E
×
E
→
R
называется
билинейной
формой
на пространстве
E
, если оно является линейным по каждому
аргументу, то есть для любых
x, x
1
, x
2
, y, y
1
, y
2
∈
E
и для любых чисел
λ
1
, λ
2
выполняются равенства
A
(
λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
, y
) =
λ
1
A
(
x
1
, y
) +
λ
2
A
(
x
2
, y
);
A
(
x, λ
1
y
1
+
λ
2
y
2
) =
λ
1
A
(
x, y
1
) +
λ
2
A
(
x, y
2
)
.
Если в пространстве
E
задан базис
e
= (
e
1
, . . . , e
n
)
, так что каждый
вектор
x
∈
E
имеет координатное изображение
x
e
∈
R
n
, то действие
произвольной билинейной формы определяется квадратной матрицей:
∃
A
e
∈
M
(
n
) :
∀
x, y
∈
E
A
(
x, y
) =
x
T
e
A
e
y
e
.
Задача 13.1.
Проверить, что матрица билинейной формы
A
в фикси-
рованном базисе
e
единственна и строится следующим образом:
A
e
=
(
a
ij
)
i,j
=1
,...,n
, a
ij
=
A
(
e
i
, e
j
)
.
Если
∀
x, y
∈
E
выполняется равенство
A
(
x, y
) =
A
(
y, x
)
, то билиней-
ная форма
A
называется
симметричной
.
Примеры.
1.
A
(
x, y
) =
xy
— билинейная форма на
R
.
2.
A
(
x, y
) =
x
1
y
1
−
x
2
y
2
+
x
3
y
3
−
x
4
y
4
— билинейная форма на
R
4
с
матрицей
A
=
diag
(1
,
−
1
,
1
,
−
1)
.
13
Билинейные формы. Скалярное произведение
92
3.
A
(
x, y
) =
x
1
y
3
−
x
3
y
1
— билинейная форма на
R
3
с матрицей
A
=
0
0 1
0
0 0
−
1 0 0
.
4. На любом линейном пространстве можно определить билинейную
форму, тождественно равную нулю.
Билинейная форма
A
называется:
•
неотрицательной
, если
∀
x
∈
E
A
(
x, x
)
≥
0
;
•
положительной (положительно определенной)
, если
∀
x
6
=
θ
A
(
x, x
)
>
0
;
•
неположительной
, если
∀
x
∈
E
A
(
x, x
)
≤
0
;
•
отрицательной (отрицательно определенной)
, если
∀
x
6
=
θ
A
(
x, x
)
<
0
;
•
знаконеопределенной
, если она не является ни неотрицательной, ни
неположительной, то есть существуют векторы
x, y
∈
E
такие, что
A
(
x, x
)
>
0
,
A
(
y, y
)
<
0
.
Примеры.
Рассмотрим билинейные формы на
R
3
:
1)
B
1
(
x, y
)
≡
0;
2)
B
2
(
x, y
) =
x
1
y
1
−
x
1
y
2
+
x
2
y
1
−
x
2
y
2
;
3)
B
3
(
x, y
) =
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
.
Из них
B
1
является одновременно неотрицательной и неположительной,
B
2
знаконеопределена,
B
3
положительна.
Пусть
A
— билинейная форма на пространстве
E
. Отображение
α
:
E
→
R
, α
(
x
) =
A
(
x, x
)
, называется
квадратичной формой
, порожденной
билинейной формой
A
.
Поскольку любая билинейная форма определяется квадратной мат-
рицей (при выбранном базисе), то и квадратичная форма определяется
квадратной матрицей.
Но одна и та же квадратичная форма может порождаться разны-
ми билинейными формами, а значит, и матрица квадратичной формы
однозначно не определена, если только не наложить каких-нибудь огра-
ничений.
Пример.
Билинейные формы на
R
2
A
1
(
x, y
) =
x
1
y
1
+
x
1
y
2
−
x
2
y
1
и
A
2
(
x, y
) =
x
1
y
1
порождают одну и ту же квадратичную форму
x
2
1
.
К математическому счастию нашему, можно добиться все-таки од-
нозначной опрелеленности матрицы квадратичной формы, ограничив
класс порождающих билинейных форм.
13
Билинейные формы. Скалярное произведение
93
Контрольное упражнение 13.1.
Для любой квадратичной формы
α
существует ровно одна симметричная билинейная форма
A
, такая,
что
α
(
x
)
≡ A
(
x, x
)
.
Поэтому единственным образом определена
симметричная
матрица
квадратичной формы.
Следующее важное утверждение мы примем без доказательства.
Теорема 13.1.
Для любой квадратичной формы можно подобрать ба-
зис, в котором матрица этой формы диагональна.
За доказательством можно обратиться к [2], [5].
13.2
Скалярное произведение. Евклидовы пространства
Определение.
Симметричная положительно определенная билиней-
ная форма на линейном пространстве
E
называется
скалярным произ-
ведением
на
E
.
Поскольку понятие скалярного произведения очень важно, опреде-
лим его еще раз, собрав все условия.
Определение.
Скалярным произведением
на линейном простран-
стве
E
называется функция, любой паре векторов
x, y
∈
E
сопоставля-
ющая число
h
x, y
i
, которая обладает следующими свойствами:
1)
h
x, x
i
>
0
∀
x
6
=
θ
;
h
θ, θ
i
= 0
(положительность);
2)
h
x, y
i
=
h
y, x
i ∀
x, y
∈
E
(симметричность);
3)
h
λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
, y
i
=
λ
1
h
x
1
, y
i
+
λ
2
h
x
2
, y
i ∀
x
1
, x
2
, y
∈
E,
∀
λ
1
, λ
2
∈
R
(линейность).
Замечание.
Мы будем обозначать скалярное произведение угловы-
ми скобками:
h·
,
·i
. Другое обычное обозначение — круглые скобки
(
·
,
·
)
.
Контрольное упражнение 13.2.
Доказать равносильность двух опре-
делений скалярного произведения.
Примеры.
1. На пространствах
R
n
при всех
n
∈
N
формулой
h
x, y
i
=
n
X
j
=1
x
j
y
j
(
x
= (
x
1
. . . x
n
)
T
, y
= (
y
1
. . . y
n
)
T
)
определяется так называемое
стандартное
скалярное произведе-
ние.
13
Билинейные формы. Скалярное произведение
94
2. Но скалярное произведение на
R
n
можно задать и другими спосо-
бами. Например, билинейная форма на
R
3
h
x, y
i
=
x
1
y
1
+ 2
x
2
y
2
+ 3
x
3
y
3
тоже является скалярным произведением.
3. А вот билинейная форма на
R
3
h
x, y
i
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
не
является скалярным произведением.
Контрольное упражнение 13.3.
Проверить, что стандартное ска-
лярное произведение на
R
n
и билинейная форма из примера 2 действи-
тельно являются скалярными произведениями. Каким свойством ска-
лярного произведения не обладает билинейная форма из примера 3?
Контрольное упражнение 13.4.
Является ли скалярным произведе-
нием на
R
2
билинейная форма
A
(
x, y
) =
x
1
y
1
+
x
1
y
2
+
x
2
y
1
+ 4
x
2
y
2
?
Линейное пространство с зафиксированным скалярным произведени-
ем на нем называется
евклидовым пространством
. Обратите внимание
на тонкость: на любом линейном пространстве можно многими разными
способами определить скалярное произведение, поэтому из одного ли-
нейного пространства можно получить много разных евклидовых про-
странств. Например,
R
3
со стандартным скалярным произведением и
R
3
со скалярным произведением из примера 2 — это разные евклидовы
пространства.
13.3
Длины и углы
Пусть
E
— евклидово пространство со скалярным произведением
h·
,
·i
.
Определение.
Нормой,
или
длиной
вектора
x
∈
E
называется чис-
ло
k
x
k
=
p
h
x, x
i
.
(46)
Вектор с единичной нормой:
k
x
k
= 1
называется
нормированным
.
Замечание.
Норма в
R
1
,
R
2
,
R
3
, порожденная стандартным ска-
лярным произведением — это “обычная” длина вектора.
Теорема 13.2
(неравенство Коши – Буняковского – Шварца)
.
∀
x, y
∈
E
|h
x, y
i| ≤ k
x
k · k
y
k
.
(47)
13
Билинейные формы. Скалярное произведение
95
Доказательство.
Перепишем неравенство (47) в эквивалентном ви-
де
h
x, y
i
2
≤ h
x, x
ih
y, y
i
.
Определим функцию
p
(
t
) =
h
x
+
t y, x
+
t y
i
. Это — многочлен второй
степени относительно
t
:
p
(
t
) =
h
x
+
t y, x
+
t y
i
=
h
x, x
+
t y
i
+
h
t y, x
+
t y
i
=
=
h
x, x
i
+
h
x, t y
i
+
h
t y, x
i
+
h
t y, t y
i
=
=
h
x, x
i
+ 2
t
h
x, y
i
+
t
2
h
y, y
i
.
При этом, по определению, величина
p
(
t
)
всегда неотрицательна. А зна-
чит, у этого многочлена неположительный дискриминант:
D
4
=
h
x, y
i
2
− h
x, x
ih
y, y
i ≤
0
.
Что и требовалось доказать.
Контрольное упражнение 13.5.
Если ненулевые векторы
x
и
y
ли-
нейно независимы, то неравенство Коши – Буняковского – Шварца для
них выполняется как строгое.
Контрольное упражнение 13.6.
Доказать неравенство треугольни-
ка:
k
x
+
y
k ≤ k
x
k
+
k
y
k ∀
x, y
.
Из неравенство Коши – Буняковского – Шварца следует, что для нену-
левых векторов
x, y
выполняется неравенство
−
1
≤
h
x, y
i
k
x
kk
y
k
≤
1
.
Это позволяет дать следующее определение: величина
arccos
h
x, y
i
k
x
kk
y
k
называется
углом
между векторами
x
и
y
.
Замечание.
Угол в
R
1
,
R
2
,
R
3
, определенный через стандартное
скалярное произведение, совпадает с обычным в нашем понимании уг-
лом.