ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 340
Скачиваний: 1
6
4.
Неравенство
Минковского
для
интегралов
p
b
a
p
p
b
a
p
p
b
a
p
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
y
t
x
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∫
∫
∫
,
где
1
≥
p
.
Пример
1.
а
)
если
x
непрерывна
на
отрезке
]
,
[
b
a
,
то
является
ли
нормой
функция
∫
∫
+
−
−
<
+
+
=
1
1
?
)
1
1
(
,
)
(
)
(
a
a
b
b
b
a
dt
t
x
t
x
x
б
)
если
x
непрерывно
дифференцируема
на
отрезке
]
,
[
b
a
,
то
является
ли
нормой
функция
?
)
(
max
)
(
)
(
t
x
a
x
b
x
x
b
t
a
&
≤
≤
+
−
=
Решение
.
В
первом
случае
ответ
отрицательный
,
поскольку
не
выполнена
первая
аксиома
нормы
.
Очевидно
,
что
если
эта
функция
равна
нулю
,
то
]
,
1
[
]
1
,
[
0
)
(
b
b
a
a
t
для
t
x
−
∪
+
∈
=
и
)
(
t
x
может
не
равняться
нулю
на
промежутке
]
1
,
1
[
−
+
b
a
.
Во
втором
случае
заданная
функция
также
не
является
нормой
,
так
как
для
0
)
(
≠
≡
c
t
x
она
обращается
в
ноль
.
Пример
2.
Доказать
,
что
в
пространстве
непрерывно
дифференцируемых
на
]
,
[
b
a
функций
можно
ввести
норму
)
,
max(
1
C
C
C
x
x
x
&
=
,
где
)
(
max
t
y
y
b
t
a
C
≤
≤
=
.
Решение
.
При
проверке
аксиом
нормы
остановимся
лишь
на
третьей
,
так
как
проверка
первых
двух
не
вызывает
затруднения
.
Для
всех
]
,
[
b
a
t
∈
имеет
место
оценка
.
)
,
max(
)
,
max(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
С
С
C
C
C
C
C
C
y
x
y
y
x
x
y
x
t
y
t
x
t
y
t
x
+
=
+
≤
+
≤
+
≤
+
&
&
Так
как
это
неравенство
верно
для
всех
t
,
то
и
1
1
)
(
)
(
max
С
С
b
t
a
y
x
t
y
t
x
+
≤
+
≤
≤
.
7
Аналогично
.
)
(
)
(
max
1
1
С
С
C
C
b
t
a
y
x
y
x
t
y
t
x
+
≤
+
≤
+
≤
≤
&
&
&
&
Отсюда
1
1
1
С
С
C
y
x
y
x
+
≤
+
и
,
)
(
1
1
1
С
С
C
y
x
y
x
&
&
+
≤
+
•
что
влечет
за
собой
справедливость
неравенства
треугольника
.
Пример
3.
Показать
,
что
множество
2
l
числовых
последовательностей
{ }
∞
=
=
1
k
k
x
x
,
удовлетворяющих
условию
∑
∞
=
∞
<
1
2
k
k
x
,
является
нормированным
,
если
в
нем
задать
норму
по
формуле
2
1
1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
∞
=
k
k
x
x
.
Решение
.
Введем
в
2
l
операции
сложения
и
умножения
на
число
по
правилу
{ } { } {
}
{ } { }
.
,
1
1
1
1
1
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
+
=
+
=
+
k
k
k
k
k
k
x
x
x
y
x
y
x
y
x
α
α
α
Из
неравенства
(
)
2
2
2
2
k
k
k
k
y
x
y
x
+
≤
+
и
признака
Вейерштрасса
получаем
,
что
ряд
∑
∞
=
+
1
2
k
k
k
y
x
сходится
.
Следовательно
,
2
l
y
x
∈
+
.
Нетрудно
увидеть
,
что
и
2
l
x
∈
α
.
Аксиомы
линейного
пространства
следуют
из
соответствующих
аксиом
сложения
и
умножения
для
чисел
.
Таким
образом
2
l
-
линейное
пространство
.
Покажем
теперь
,
что
указанная
формула
определяет
в
2
l
норму
.
Для
этого
проверим
требуемые
аксиомы
.
1.
Очевидно
,
что
0
≥
x
.
Если
x
-
нулевой
элемент
,
т
.
е
.
,...)
0
,
0
(
=
Θ
=
x
,
то
0
=
x
.
Обратно
,
если
∑
∞
=
=
1
2
0
k
k
x
,
то
0
=
k
x
для
всех
k
,
т
.
е
.
Θ
=
x
.
2.
Выполнение
второй
аксиомы
следует
из
равенств
x
x
x
x
k
k
k
k
α
α
α
α
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
∑
∞
=
∞
=
2
1
1
2
2
2
1
1
2
.
3.
Неравенство
треугольника
y
x
y
x
y
x
y
x
k
k
k
k
k
k
k
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
8
есть
в
точности
неравенство
Минковского
для
сумм
при
2
=
p
.
Задания
для
самостоятельного
решения
Являются
ли
нормами
следующие
функции
.
1.
2
,
2
1
2
x
x
x
R
x
+
=
∈
;
2.
{
}
2
1
2
1
2
,
2
max
,
x
x
x
x
x
R
x
−
+
=
∈
;
3.
)
(
max
],
,
[
2
t
x
x
b
a
C
x
b
a
t
a
+
≤
≤
=
∈
;
4.
∫
+
=
∈
≤
≤
b
a
b
t
a
ds
s
x
t
x
x
b
a
C
x
2
1
2
1
)
)
(
(
)
(
max
],
,
[
&
;
5.
)
(
max
)
(
)
(
],
,
[
2
t
x
a
x
a
x
x
b
a
C
x
b
t
a
&&
&
≤
≤
+
+
=
∈
;
6.
)
(
max
)
(
)
(
],
,
[
2
t
x
b
x
a
x
x
b
a
C
x
b
t
a
&&
≤
≤
+
+
=
∈
;
7.
)
(
max
)
(
],
,
[
1
t
x
a
x
x
b
a
C
x
b
t
a
&
≤
≤
+
=
∈
;
2.
Сходимость
в
нормированном
пространстве
Пусть
X
-
нормированное
пространство
.
Определение
.
Последовательность
{ }
X
x
n
n
⊂
∞
=
1
сходится
к
элементу
X
x
∈
0
,
если
∞
→
→
−
n
при
x
x
X
n
0
0
.
Приведем
несколько
утверждений
,
которые
очень
полезны
при
решении
задач
.
1.
Сходимость
последовательности
функций
в
]
,
[
b
a
C
эквивалентна
равномерной
сходимости
.
Из
равномерной
сходимости
вытекает
поточечная
сходимость
.
2.
Из
сходимости
последовательности
в
пространстве
m
вытекает
покоординатная
сходимость
.
3.
Из
сходимости
в
p
l
следует
покоординатная
сходимость
.
9
Пример
1.
Сходится
ли
в
]
1
,
0
[
C
последовательность
?
n
n
t
x
=
Решение
.
Предположим
.
что
последовательность
)
(
t
x
n
сходится
в
]
1
,
0
[
C
,
т
.
е
.
существует
такое
]
1
,
0
[
0
C
x
∈
,
что
)
(
)
(
0
t
x
t
x
n
→
для
любого
]
1
,
0
[
∈
t
.
Так
как
поточечно
последовательность
)
(
t
x
n
сходится
к
разрывной
функции
⎩
⎨
⎧
=
<
≤
=
,
1
,
1
,
1
0
,
0
)
(
0
t
t
t
x
которая
не
принадлежит
пространству
]
1
,
0
C
,
то
наше
предположение
неверно
.
Таким
образом
,
последовательность
)
(
t
x
n
не
сходится
в
]
1
,
0
[
C
.
Пример
2.
Будет
ли
сходиться
в
пространстве
]
1
,
0
[
C
последовательность
1
+
−
=
n
n
n
t
t
x
?
Решение
.
Сначала
найдем
элемент
,
подозрительный
на
предельный
.
Предположим
,
что
n
x
сходится
к
0
x
в
смысле
пространства
]
1
,
0
[
C
.
Тогда
последовательность
функций
)
(
t
x
n
сходится
к
)
(
0
t
x
равномерно
,
а
следовательно
,
и
поточечно
.
Так
как
поточечно
)
(
t
x
n
сходится
к
нулевой
функции
,
то
предельным
элементом
может
быть
только
0
)
(
0
≡
t
x
.
Проверим
,
сходится
ли
n
x
к
0
x
в
смысле
пространства
]
1
,
0
[
C
.
Имеем
)
(
max
)
(
max
1
1
0
1
0
]
1
,
0
[
0
+
≤
≤
≤
≤
−
=
=
−
n
n
t
n
t
C
n
t
t
t
x
x
x
.
Для
определения
точки
максимума
приравняем
производную
к
нулю
:
0
)
)
1
(
(
)
1
(
)
(
1
1
=
+
−
=
+
−
=
−
−
t
n
n
t
t
n
t
n
t
x
n
n
n
n
&
.
Нетрудно
увидеть
,
что
0
=
t
есть
точка
минимума
,
а
1
+
=
n
n
t
n
являются
точками
максимума
.
При
этом
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
]
1
,
0
[
=
⋅
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
−
e
n
n
n
n
n
n
x
n
n
C
n
.
Таким
образом
,
последовательность
)
(
t
x
n
сходится
в
]
1
,
0
[
C
к
нулевой
функции
.
Пример
3.
В
каком
из
пространств
m
l
l
,
,
2
1
сходится
последовательность
?
,...)
0
,
0
,
1
,...,
1
(
3
2
1
n
n
n
n
x
=
10
Решение
.
Так
как
покоординатно
данная
последовательность
сходится
к
нулевой
последовательности
,
то
предельным
элементом
во
всех
трех
пространствах
может
быть
только
{
}
,...
0
,
0
0
=
x
.
В
пространстве
1
l
последовательность
{ }
n
x
не
сходится
,
так
как
1
1
1
1
=
⋅
=
=
∑
∞
=
n
n
x
x
k
n
k
l
n
.
В
пространстве
2
l
последовательность
сходится
,
так
как
при
∞
→
n
0
1
1
1
2
2
2
2
→
=
⋅
=
=
∑
∞
=
n
n
n
x
x
k
n
k
l
n
.
В
m
также
есть
сходимость
,
ибо
при
0
1
sup
→
=
=
n
x
x
n
k
k
m
n
.
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Сходятся
ли
в
пространстве
]
1
,
0
[
C
последовательности
:
a)
)
1
(
)
(
nt
n
e
t
t
x
−
+
=
; b)
2
2
1
)
(
t
n
t
t
x
n
+
=
; c)
n
n
t
n
t
x
n
sin
)
(
=
;
d)
2
2
1
2
)
(
t
n
nt
t
x
n
+
=
; e)
2
2
2
2
1
)
2
(
)
(
t
n
t
n
t
t
x
n
+
+
=
; f)
n
n
n
t
t
t
x
2
)
(
−
=
.
2.
Сходятся
ли
в
m
l
l
,
,
2
1
следующие
последовательности
:
a)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
+
−
,...
2
1
,
2
1
,
2
1
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
x
;
b)
0
,
,...
)
1
(
1
,
1
,
0
,...,
0
1
>
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
α
α
α
n
n
x
n
n
3
2
1
;
c)
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
,...
0
,
0
,
1
,
0
,...,
0
,
1
4
3
42
1
n
n
n
x
;