ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 337
Скачиваний: 1
11
d)
0
,
,...
0
,
0
,
1
,...,
1
>
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
α
α
α
43
42
1
n
n
n
n
x
.
3.
Сходятся
ли
в
]
1
,
0
[
],
1
,
0
[
1
C
C
последовательности
a)
2
1
)
(
2
1
+
−
+
=
+
+
n
t
n
t
t
x
n
n
n
; b)
)
sin(
sin
)
(
n
t
t
t
x
n
−
=
.
4.
Сходится
ли
в
]
1
,
0
[
1
L
последовательность
?
1
)
(
2
2
t
n
t
t
x
n
+
=
5.
Привести
пример
последовательности
,
которая
принадлежала
бы
каждой
из
рассматриваемой
пары
пространств
и
:
a)
сходилась
бы
в
m
,
но
не
сходилась
в
1
l
;
b)
с
сходилась
бы
в
m
,
но
не
сходилась
в
2
l
;
c)
ходилась
бы
в
2
l
,
но
не
сходилась
в
1
l
.
3.
Открытые
и
замкнутые
множества
Пусть
X
-
нормированное
пространство
.
Открытым
шаром
с
центром
в
точке
0
x
и
радиуса
0
>
r
называется
множество
{
}
r
x
x
X
x
r
x
B
<
−
∈
=
0
0
:
)
,
(
.
Замкнутым
шаром
с
центром
в
точке
0
x
и
радиуса
0
>
r
называется
множество
{
}
r
x
x
r
x
B
≤
−
=
0
0
]
,
[
.
Сферой
с
центром
в
точке
0
x
и
радиуса
0
>
r
называется
множество
{
}
r
x
x
X
x
r
x
S
=
−
∈
=
0
0
:
)
,
(
.
Под
окрестностью
точки
0
x
понимается
любой
открытый
шар
с
центром
в
этой
точке
.
Множество
X
M
⊂
называется
ограниченным
,
если
его
можно
заключить
в
некоторый
шар
(
открытый
или
замкнутый
)
конечного
радиуса
.
Множество
M
называется
открытым
,
если
любая
его
точка
является
внутренней
,
т
.
е
.
для
любого
M
x
∈
0
существует
такое
0
>
r
,
что
M
r
x
B
⊂
)
,
(
0
.
Точка
X
x
∈
0
называется
предельной
точкой
множества
M
,
если
существует
последовательность
точек
M
x
n
∈
,
отличных
от
0
x
,
такая
что
0
0
→
−
x
x
n
при
∞
→
n
.
Множество
M
называется
замкнутым
,
если
оно
содержит
все
свои
предельные
точки
.
Свойства
открытых
и
замкнутых
множеств
1.
Пространство
X
открыто
и
замкнуто
одновременно
.
12
2.
Множество
X
M
⊂
замкнуто
тогда
и
только
тогда
,
когда
его
дополнение
M
X
CM
\
=
открыто
.
3.
Пересечение
конечного
числа
и
объединение
любого
числа
открытых
множеств
открыто
.
4.
Объединение
конечного
числа
и
пересечение
любого
числа
замкнутых
множеств
замкнуто
.
Пример
1.
Описать
]
,
[
)
,
(
0
b
a
C
r
x
B
∈
.
Решение
.
Пусть
)
,
(
0
r
x
B
x
∈
.
Это
означает
,
что
r
x
x
C
<
−
0
или
r
t
x
t
x
b
t
a
<
−
≤
≤
)
(
)
(
max
0
.
Отсюда
r
t
x
t
x
r
<
−
<
−
)
(
)
(
0
для
любого
]
,
[
b
a
t
∈
или
r
t
x
t
x
r
t
x
+
<
<
−
)
(
)
(
)
(
0
0
.
Таким
образом
,
шар
)
,
(
0
r
x
B
в
пространстве
]
,
[
b
a
C
представляет
собой
полосу
шириной
r
2
,
получающуюся
сдвигом
графика
функции
)
(
0
t
x
вверх
и
вниз
на
r
.
Пример
2.
Пусть
{ }
{
}
k
x
l
x
x
M
k
k
∀
>
∈
=
=
0
:
2
.
Будет
ли
оно
открытым
,
замкнутым
в
2
l
?
Решение
.
Покажем
,
что
точка
M
x
n
∈
=
,...)
2
1
,...,
2
1
(
0
не
является
внутренней
,
т
.
е
.
в
любой
ее
окрестности
содержатся
точки
,
не
принадлежащие
M
.
Действительно
,
пусть
задано
произвольное
0
>
ε
.
Выберем
n
так
,
чтобы
2
1
2
2
1
ε
<
∑
∞
+
=
n
k
k
,
что
возможно
в
силу
стремления
к
нулю
остатка
сходящегося
ряда
.
Тогда
для
,...)
0
,
0
,
2
1
,...,
2
1
,
2
1
(
2
n
n
x
=
имеем
2
1
2
2
0
2
1
2
ε
<
=
−
∑
∞
+
=
n
k
k
l
n
x
x
,
т
.
е
.
)
,
(
0
ε
x
B
x
n
∈
,
но
M
x
n
∉
,
т
.
е
множество
M
не
является
открытым
.
Заметим
,
что
M
совпадает
с
пересечением
бесконечного
числа
открытых
множеств
{ }
{
}
0
:
2
>
∈
=
=
n
k
n
x
l
x
x
M
,
где
n
фиксировано
.
Покажем
,
что
M
не
является
и
замкнутым
.
Для
этого
рассмотрим
последовательность
точек
M
x
n
n
n
n
∈
=
+
+
,...)
2
1
,
2
1
,
2
1
(
2
1
.
Так
как
13
0
4
3
1
4
1
4
1
2
1
1
0
1
)
1
(
2
2
2
→
⋅
=
=
=
−
∞
=
∞
=
−
+
∑
∑
n
k
k
n
k
k
n
l
n
x
при
∞
→
n
,
то
{ }
0
0
=
x
-
предельная
точка
множества
M
,
но
M
x
∉
0
.
Пример
3.
Показать
,
что
{
}
t
t
x
t
C
t
x
M
+
<
<
∈
=
1
)
(
sin
:
]
1
,
0
[
)
(
-
открытое
множество
в
]
1
,
0
[
C
.
Решение
.
Пусть
M
x
∈
0
.
Так
как
функции
t
t
x
sin
)
(
0
−
и
)
(
1
0
t
x
t
−
+
непрерывны
,
то
они
ограничены
на
]
1
,
0
[
.
Обозначим
0
)
sin
)
(
(
min
0
1
0
>
−
=
≤
≤
t
t
x
t
α
,
0
))
(
1
(
min
0
1
0
>
−
+
=
≤
≤
t
x
t
t
β
и
положим
)
,
(
min
β
α
=
r
.
Тогда
для
)
,
(
0
r
x
B
x
∈
,
с
одной
стороны
,
t
t
x
t
t
x
t
x
r
t
x
t
x
+
=
−
+
+
≤
+
≤
+
<
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
β
,
с
другой
стороны
,
t
t
t
x
t
x
t
x
r
t
x
t
x
sin
sin
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
=
+
−
≥
−
≥
−
>
α
.
Таким
образом
,
M
r
x
B
⊂
)
,
(
0
,
т
.
е
.
M
-
открытое
множество
.
Пример
4.
Показать
,
что
множество
{
}
0
)
0
(
:
]
1
,
0
[
=
∈
=
x
C
x
M
замкнуто
в
]
1
,
0
[
C
.
Решение
.
Пусть
0
x
-
предельная
точка
множества
M
.
Тогда
существует
последовательность
{ }
M
x
n
∈
такая
,
что
0
x
x
n
≠
и
0
0
→
−
C
n
x
x
.
Отсюда
следует
,
что
]
1
,
0
[
0
C
x
∈
как
равномерный
предел
последовательности
непрерывных
функций
.
Так
как
из
сходимости
в
]
1
,
0
[
C
вытекает
поточечная
сходимость
,
то
)
(
)
(
0
t
x
t
x
n
→
для
любого
]
1
,
0
[
∈
t
.
В
частности
,
при
0
=
t
имеем
0
)
0
(
lim
)
0
(
0
=
=
∞
→
n
n
x
x
.
Это
означает
,
что
M
x
∈
0
.
Пример
5.
Пусть
]
,
[
b
a
P
-
множество
всех
алгебраических
полиномов
,
определенных
на
]
,
[
b
a
.
Является
ли
оно
замкнутым
,
открытым
в
]
1
,
0
[
C
?
Решение
.
Рассмотрим
многочлен
]
,
[
!
)
(
0
b
a
P
k
t
t
p
n
k
k
n
∈
=
∑
=
.
Так
как
он
является
отрезком
ряда
Тейлора
для
функции
t
e
t
x
=
)
(
0
,
то
)
(
t
p
n
равномерно
на
]
,
[
b
a
сходится
к
)
(
0
t
x
,
а
значит
последовательность
{ }
n
p
сходится
к
14
0
x
и
по
норме
пространства
]
,
[
b
a
C
.
Таким
образом
,
0
x
-
предельная
точка
множества
]
,
[
b
a
P
,
но
]
,
[
0
b
a
P
x
∉
,
т
.
е
.
множество
]
,
[
b
a
P
не
является
замкнутым
в
]
1
,
0
[
C
.
Покажем
,
что
множество
]
,
[
b
a
P
не
является
и
открытым
в
]
1
,
0
[
C
.
Для
этого
рассмотрим
многочлен
первой
степени
]
,
[
)
(
0
b
a
P
t
t
p
∈
=
.
Пусть
задано
произвольное
0
>
ε
.
Покажем
,
что
в
шаре
)
,
(
0
ε
p
B
содержатся
точки
,
не
являющиеся
полиномами
.
Положим
n
t
t
t
x
sin
)
(
+
=
,
где
ε
<
n
1
.
Тогда
имеем
ε
<
≤
=
−
≤
≤
n
t
n
x
p
b
t
a
C
1
sin
1
max
0
,
т
.
е
.
)
,
(
0
ε
p
B
x
∈
,
но
]
,
[
b
a
P
x
∉
.
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Построить
на
числовой
прямой
:
а
)
последовательность
замкнутых
множеств
,
объединение
которых
не
является
замкнутым
;
б
)
последовательность
открытых
множеств
,
пересечение
которых
не
является
открытым
множеством
.
2.
Изобразить
открытый
единичный
шар
с
центром
в
нуле
в
пространствах
:
а
)
2
∞
R
,
б
)
2
1
R
,
с
)
2
2
R
.
3.
В
пространстве
]
1
,
1
[
−
C
даны
множество
M
и
точка
0
x
.
Проверить
,
что
0
x
является
для
M
внутренней
точкой
:
а
)
{
}
2
)
(
;
sin
)
(
,
1
)
(
:
)
(
0
0
t
t
x
t
t
x
t
x
t
x
M
=
=
≤
=
;
б
)
{
}
1
)
(
,
)
(
:
)
(
0
−
=
<
=
t
t
x
t
t
x
t
x
M
.
4.
Показать
,
что
множество
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
<
<
∈
=
t
t
x
t
b
a
C
x
M
cos
1
)
(
4
:
]
,
[
открыто
в
]
,
[
b
a
C
.
5.
Показать
,
что
множества
{
}
0
)
(
:
]
,
[
1
≤
∈
=
t
x
b
a
C
x
M
,
{
}
2
)
(
1
:
]
,
[
2
≤
≤
∈
=
t
x
b
a
C
x
M
замкнуты
в
]
,
[
b
a
C
.
6.
Доказать
,
что
множество
{
}
1
)
(
:
]
,
[
=
∈
=
a
x
b
a
C
x
M
замкнуто
в
]
,
[
b
a
C
.
7.
Будет
ли
замкнутым
в
]
,
[
b
a
C
множество
многочленов
степени
точно
k
?
15
4.
Принцип
сжимающих
отображений
Теорема
.
Пусть
выполняются
следующие
условия
:
1)
X
-
банахово
пространство
,
Q
-
замкнутое
множество
в
нем
;
2)
Отображение
f
переводит
Q
в
себя
;
3)
Отображение
f
является
сжимающим
,
то
есть
существует
1
0
<
<
q
такое
,
что
для
любых
Q
y
x
∈
,
выполняется
неравенство
.
)
(
)
(
y
x
q
y
f
x
f
−
≤
−
(1)
Тогда
отображение
f
имеет
в
Q
единственную
неподвижную
точку
*
x
,
то
есть
такую
точку
,
что
*
*
)
(
x
x
f
=
.
Эта
точка
может
быть
получена
методом
последовательных
приближений
*
lim
x
x
n
n
=
∞
→
,
где
,...
2
,
1
),
(
1
=
=
−
n
x
f
x
n
n
начиная
с
произвольного
Q
x
∈
0
.
При
этом
справедлива
оценка
погрешности
0
0
*
)
(
1
x
x
f
q
q
x
x
n
n
−
−
≤
−
. (2)
Замечание
.
При
проверке
условия
сжатия
(1)
часто
бывает
удобно
пользоваться
формулой
Лагранжа
конечных
приращений
y
x
y
x
f
y
f
x
f
≤
≤
−
′
=
−
ξ
ξ
),
)(
(
)
(
)
(
. (3)
Пример
1.
Показать
,
что
для
вычисления
a
можно
пользоваться
формулой
)
(
2
1
1
n
n
n
x
a
x
x
+
=
+
,
начиная
с
любого
a
x
≥
0
.
Решение
.
Выберем
замкнутое
в
R
множество
)
,
[
∞
=
a
Q
и
рассмотрим
на
нем
отображение
)
(
2
1
)
(
x
a
x
x
f
+
=
.
Так
как
0
)
1
(
2
1
)
(
2
>
−
=
′
x
a
x
f
,
то
f
монотонно
возрастает
и
,
следовательно
,
a
a
f
x
f
=
≥
)
(
)
(
,
то
есть
f
переводит
Q
в
себя
.
Кроме
того
,
f
-
сжимающее
отображение
,
так
как