ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 948
Скачиваний: 1
Приложение
А.
Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
Z
+
∞
−∞
δ
(
x
)
f
(
x
) d
x
def
=
f
(0)
.
(А.1)
Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:
Z
δ
(
r
)
f
(
r
) d
r
def
=
f
(0)
.
(А.2)
В декартовых координатах
δ
-функция векторного аргумента связана с
1-мерной
δ
-функцией простым соотношением:
δ
(
r
) =
δ
(
x
)
δ
(
y
)
δ
(
z
)
.
(А.3)
Напомним основные свойства
δ
-функции.
1. Четность
:
δ
(
−
x
) =
δ
(
x
)
.
2.
n
-я производная
δ
-функции
является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
Z
+
∞
−∞
δ
(
n
)
(
x
)
f
(
x
) d
x
= (
−
1)
n
d
n
f
(
x
)
d
x
n
x
=0
.
3. Дифференцируемая функция
g
(
x
)
в аргументе
δ
-функции
:
δ
[
g
(
x
)] =
X
i
δ
(
x
−
x
i
)
d
g
(
x
)
d
x
x
=
x
i
,
где
x
i
—
i
-й нуль функции
g
(
x
)
. В частности,
δ
(
αx
) =
δ
(
x
)
|
α
|
.
(А.4)
101
4. Аналитические представления
δ
-функции
. Известны многочис-
ленные аналитические представления
δ
-функции. Напомним наиболее
распространенные
интегральное
δ
(
x
) =
1
2
π
Z
+
∞
−∞
e
i
xq
d
q
(А.5)
и три
предельных
представления:
δ
(
x
) = lim
a
→
0
1
√
πa
exp
−
x
2
a
2
;
δ
(
x
) = lim
a
→
0
1
π
a
x
2
+
a
2
;
δ
(
x
) = lim
a
→∞
1
π
sin
ax
x
.
Интеграл Фурье (А.5) допускает 3-мерное обобщение:
δ
(
r
)
(А.3)
=
1
(2
π
)
3
Z
e
i
rq
d
3
q
.
(А.6)
Б.
Вырожденная гипергеометрическая функция
Рассмотрим так называемое вырожденное гипергеометрическое
уравнение:
x
d
2
y
d
x
2
+ (
b
−
x
)
d
y
d
x
−
ay
= 0
,
(Б.7)
где
a
и
b
— заданные комплексные параметры. Его
регулярное в ну-
ле
решение называется вырожденной гипергеометрической функцией
1
F
1
(
a, b, x
)
и имеет следующее представление в виде степенного ряда:
y
reg
(
x
) =
1
F
1
(
a, b, x
) = 1 +
a
b
x
1!
+
a
(
a
+ 1)
b
(
b
+ 1)
x
2
2!
+
. . .
(Б.8)
При целых неположительных
a
ряд превращается в полином степени
−
a
.
При
|
x
| → ∞
она имеет следующее асимптотическое представление:
1
F
1
(
a, b, x
)
∼
Γ(
b
)
Γ(
b
−
a
)
(
−
x
)
−
a
2
F
0
(
a, a
−
b
+ 1
,
−
x
−
1
)+
+
Γ(
b
)
Γ(
a
)
e
−
x
x
a
−
b
2
F
0
(
b
−
a,
1
−
a, x
−
1
)
.
102
Здесь
2
F
0
(
a, b, x
) = 1 +
ab
x
1!
+
a
(
a
+ 1)
b
(
b
+ 1)
x
2
2!
+
. . .
Введено стандартное обозначение для
Γ
-функции.
В.
Полиномы Чебышева – Эрмита
Полиномы Чебышева – Эрмита являются регулярными в нуле ре-
шениями дифференциального уравнения
y
00
−
2
xy
0
+ 2
ny
= 0
,
n
= 0
,
1
, . . . ,
где
n
— их порядок.
Дадим здесь несколько различных их представлений:
1) формула Родрига:
H
n
(
x
) = (
−
1)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
;
(В.9)
2) разложение по убывающим степеням
x
:
H
n
(
x
) = (2
x
)
n
−
n
(
n
−
1)
1
(2
x
)
n
−
2
+
n
(
n
−
1)(
n
−
2)(
n
−
3)
1
·
2
(2
x
)
n
−
4
−
. . .
;
3) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
H
2
m
(
x
) = (
−
1)
m
(2
m
)!
m
!
1
F
1
−
m,
1
2
, x
2
;
H
2
m
+1
(
x
) = (
−
1)
m
(2
m
+ 1)!
m
!
2
x
1
F
1
−
m,
3
2
, x
2
;
4) рекуррентная формула:
H
n
+1
(
x
) = 2
xH
n
(
x
)
−
2
nH
n
−
1
(
x
);
H
0
(
x
) = 1;
H
1
(
x
) = 2
x.
(В.10)
Г.
Функции Бесселя
Функциями Бесселя
ν
-го порядка называются регулярные в нуле
решения дифференциального уравнения:
x
2
y
00
+
xy
0
+ (
x
2
−
ν
2
)
y
= 0
.
(Г.11)
Дадим некоторые явные выражения для функций Бесселя:
103
1) разложение в ряд:
J
ν
(
x
) =
x
2
ν
∞
X
k
=0
(
−
x
2
/
2)
k
k
!Γ(
ν
+
k
+ 1)
;
2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
J
ν
(
x
) =
e
−
i
z
Γ(1 +
ν
)
z
2
ν
1
F
1
ν
+
1
2
,
2
ν
+ 1
,
2i
z
.
Сферическая функция Бесселя
j
l
(
x
) =
r
π
2
z
J
l
+
1
2
(
x
)
,
l
= 0
,
1
, . . .
(Г.12)
выражается через элементарные, например,
j
0
(
x
) =
sin
x
x
;
j
1
(
x
) =
sin
x
x
2
−
cos
x
x
;
j
2
(
x
) =
3
x
3
−
1
x
sin
x
−
3
x
2
cos
x.
Функция Эйри Ai
(
x
)
является регулярным решением уравнения
y
00
−
xy
= 0
(Г.13)
и выражается через функции Бесселя порядков
±
1
3
:
Ai
(
x
) =
1
3
√
x
[
I
−
1
/
3
(
ζ
)
−
I
1
/
3
(
ζ
)];
Ai
(
−
x
) =
1
3
√
x
[
J
−
1
/
3
(
ζ
) +
J
1
/
3
(
ζ
)]
,
где
I
ν
(
ζ
) = i
−
ν
J
ν
(i
ζ
)
;
ζ
=
2
3
x
3
/
2
.
Д.
Присоединенные полиномы Лежандра
Присоединенными полиномами Лежандра
P
|
m
|
l
(
x
)
, которые явля-
ются основными элементами сферических функций (см. раздел (2.4)),
называются регулярные в точках
x
=
±
1
решения дифференциального
уравнения
(1
−
x
2
)
y
00
−
2
xy
0
+
l
(
l
+ 1)
−
m
2
1
−
x
2
y
= 0
,
l
= 0
,
1
, . . .
;
m
= 0
,
±
1
, . . . ,
±
l
на отрезке вещественной оси
x
= [
−
1
,
+1]
. При
m
= 0
они совпадают с
обычными полиномами Лежандра.
Формула Родрига:
P
|
m
|
l
(
x
) =
1
2
l
l
!
(1
−
x
2
)
|
m
|
/
2
d
l
+
|
m
|
d
x
l
+
|
m
|
(
x
2
−
1)
l
.
104
Е.
Присоединенные полиномы Лагерра
Присоединенные полиномы Лагерра
L
(
α
)
n
(
x
)
являются регулярными
решениями следующего дифференциального уравнения в области
0
≤
x <
∞
:
xy
00
+ (
α
+ 1
−
x
)
y
0
+
ny
= 0
,
n
= 0
,
1
, . . .
При
α
= 0
они переходят в обычные полиномы Лагерра.
Дадим некоторые явные выражения для присоединенных полино-
мов Лагерра:
1) формула Родрига:
L
(
α
)
n
(
x
) =
1
n
!
x
−
α
e
x
d
n
d
x
n
[
x
n
+
α
e
−
x
];
2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
L
(
α
)
n
(
x
) =
1
n
!
Γ(
n
+
α
+ 1)
Γ(
α
+ 1)
1
F
1
(
−
n, α
+ 1
, x
)
.
105